曲線上機(jī)指導(dǎo)

1、第五章 曲線曲面工業(yè)設(shè)計(jì)中經(jīng)常繪制各種曲線曲面，曲線分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線，曲面也相應(yīng)分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。規(guī)則曲線有圓錐曲線、圓柱曲線、漸開(kāi)線等，這些曲線都可以用函數(shù)或參數(shù)方程表示；不規(guī)則曲線則是根據(jù)給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)用曲線擬合逼近得到，常見(jiàn)的有參數(shù)樣條曲線、Bezier曲線、B樣條曲線等，這些曲線一般采用分段的參數(shù)方程表示。規(guī)則的曲面有柱面、錐面、球面等，可以用函數(shù)或參數(shù)方程表示；常見(jiàn)的不規(guī)則曲面有Bezier曲面、B樣條曲面等，這些曲面采用分片的參數(shù)方程表示。本章包含了三次樣條曲線，Bezier曲線和B樣條曲線。實(shí)驗(yàn)一 二次插值樣條曲線實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆斩尾逯禈訔l曲線的生成算法，掌握對(duì)

2、數(shù)學(xué)曲線采樣，用折線近似顯示曲線的原理。 實(shí)驗(yàn)要求：要求在給定插值點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下。采用二次拋物線插值方式生成曲線，為保證曲線的光滑性，采用加權(quán)合成方法。對(duì)于第一段和最后一段曲線舍棄。要求插值點(diǎn)用鼠標(biāo)交互輸入。實(shí)驗(yàn)原理：二次插值樣條曲線主要采用拋物線插值方法生成二次樣條曲線，即由給定的3個(gè)點(diǎn)定義一條拋物線。采樣矢量表達(dá)式表示該參數(shù)化二次曲線，可以表示為： P(t)=A1+A2·t +A3·t2要確定該系數(shù)，需要三個(gè)獨(dú)立的條件。設(shè)三個(gè)條件為：（1） 當(dāng)參數(shù)變量t=0時(shí)，曲線經(jīng)過(guò)p1點(diǎn)（2） 當(dāng)t=1時(shí)，曲線經(jīng)過(guò)p3點(diǎn)（3） 當(dāng)t=0.5時(shí)，曲線經(jīng)過(guò)p2點(diǎn)考慮到曲線的光滑性，可以

3、按上述條件每相鄰三個(gè)點(diǎn)生成一段拋物線，則n個(gè)插值點(diǎn)可以生成n1段拋物線，對(duì)相鄰兩段拋物線，例如，Pi 、Pi+1 、Pi+2 、Pi+3， 由Pi 、Pi+1 、Pi+2生成的曲線段Si和由Pi+1 、Pi+2 、Pi+3生成的曲線段Si+1在Pi+1 、Pi+2 共有區(qū)間， 而兩段拋物線是不可能重合的，所以要將這個(gè)區(qū)間的兩段曲線進(jìn)行加權(quán)合成。采用以下方程 Pi+1(t) = f(T)·Si (ti)+g(T)·Si+1 (ti+1) 其中f(T)=1-T，g(T)=T，T=2t，得到二次插值樣條曲線公式： Pi+1(t)=(-4t3+4t2-t) Pi +(13t3-10

4、t2+1) Pi+1 +(-12t3+8t2+t) Pi+2 +(4t3-2t2) Pi+3實(shí)驗(yàn)步驟：（1） 設(shè)置插值點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)置采樣精度（2） 鼠標(biāo)交互輸入插值點(diǎn)，并顯示由插值點(diǎn)構(gòu)成的折線（3） 根據(jù)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)n生成n-3段曲線，對(duì)每一段曲線，根據(jù)采樣精度對(duì)t進(jìn)行離散化，計(jì)算出相應(yīng)的離散點(diǎn)，連接相鄰的離散點(diǎn)，用折線近似顯示曲線。實(shí)驗(yàn)效果：程序?qū)崿F(xiàn)：1）定義變量int m_ptN, inputN; /插值點(diǎn)個(gè)數(shù)和輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)POINT *pts; /插值點(diǎn)指針2）對(duì)變量進(jìn)行初始化m_ptN=6; /設(shè)置插值點(diǎn)個(gè)數(shù)inputN=0; /初始化輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)pts=new POINTm_ptN; /給插

5、值點(diǎn)分別內(nèi)存3）輸入并繪制插值點(diǎn)折線/鼠標(biāo)左鍵按下事件函數(shù)void CChaZhi2QuXianView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO: Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<m_ptN) /獲取插值點(diǎn)并繪制插值點(diǎn)折線ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elseDr

6、awMyLine(); /調(diào)用插值曲線生成函數(shù)CView:OnLButtonDown(nFlags, point);4）生成二次插值曲線/生成二次插值曲線void CChaZhi2QuXianView:DrawMyLine()CClientDC dc(this);CPen *pOld,pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,i,j,k=10;double dt,t1,t2,t3 ,a,b,c,d;dt=0.5/k; dc.MoveTo (pts1);for(i=1;i<m_ptN-2;i+)

7、/處理每一段插值曲線t1=0;for(j=1;j<=k;j+)/處理每一個(gè)采樣點(diǎn)t1=t1+dt; t2=t1*t1; t3=t2*t1;a=-4*t3+4*t2-t1; b=12*t3-10*t2+1; c=-12*t3+8*t2+t1; d=4*t3-2*t2;x=a*ptsi-1.x+b*ptsi.x+c*ptsi+1.x+d*ptsi+2.x;y=a*ptsi-1.y+b*ptsi.y+c*ptsi+1.y+d*ptsi+2.y ;dc.LineTo(x,y);dc.SelectObject (pOld);實(shí)驗(yàn)二Bezier曲線實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆誃ezier曲線的生成算法，掌握應(yīng)用調(diào)

8、和函數(shù)生成曲線的方法，掌握3次Bezier曲線的性質(zhì)。 實(shí)驗(yàn)要求：用鼠標(biāo)交互輸入控制點(diǎn)，繪制控制折線，生成并顯示3次Bezier曲線。實(shí)驗(yàn)原理：Bezier曲線的形狀是通過(guò)一組多邊折線的各項(xiàng)唯一定義出來(lái)的。在該多邊折線的各頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)是在曲線上，其余的頂點(diǎn)則用來(lái)定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。第一條邊和最后一條邊則表示了曲線在起點(diǎn)處和終點(diǎn)處的切線方向，即第一條邊和最后一條邊分別和曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)相切。曲線的形狀趨于控制折線的形狀，改變控制點(diǎn)的位置和曲線的形狀變化有著直觀的聯(lián)系。Bezier曲線是由多項(xiàng)式調(diào)和函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的，通常n+1個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式，三次Bezier曲線需要

9、四個(gè)頂點(diǎn)來(lái)定義。此時(shí)，調(diào)和函數(shù)分別為： B0,3(t)=-t3+3t2-3t+1B1,3(t)=3t3-6t2+3tB2,3(t)=-3t3+3t2B3,3(t)=t3實(shí)驗(yàn)步驟：（1） 鼠標(biāo)交互輸入控制點(diǎn)，并繪制控制折線（2） 根據(jù)采樣精度對(duì)t進(jìn)行離散化，根據(jù)三次Bezier曲線公式，計(jì)算出相應(yīng)的離散點(diǎn)，連接相鄰的離散點(diǎn)，用折線近似顯示曲線。實(shí)驗(yàn)效果：程序?qū)崿F(xiàn)：1）定義變量int inputN; /輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)POINT *pts; /控制點(diǎn)指針2）對(duì)變量進(jìn)行初始化inputN=0; /初始化輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)pts=new POINT4; /給控制點(diǎn)分別內(nèi)存3）輸入并繪制控制折線void CBezie

10、rView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO: Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<4) /獲取控制點(diǎn)并繪制控制折線ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elsemyBezierLine(); /調(diào)用Bezier曲線生成函數(shù)CView:OnLButtonDown(nFl

11、ags, point);4）生成并繪制Bezier曲線/繪制Bezier曲線void CBezierView:myBezierLine()CClientDC dc(this);CPen *pOld,pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,i,k=20; double dt,t1,t2,t3,a,b,c,d;dt=1.0/k; t1=0; /設(shè)置采樣間距，設(shè)置t的初值dc.MoveTo (pts0); for(i=1;i<=k;i+) /計(jì)算每一個(gè)采樣點(diǎn)并用折線近似曲線t1=t1+dt; t2=

12、t1*t1; t3=t2*t1;a=-t3+3*t2-3*t1+1; b=3*t3-6*t2+3*t1; c=-3*t3+3*t2; d=t3;x=a*pts0.x+b*pts1.x+c*pts2.x+d*pts3.x;y=a*pts0.y+b*pts1.y+c*pts2.y+d*pts3.y;dc.LineTo (x,y);dc.SelectObject (pOld);實(shí)驗(yàn)三 三次B樣條曲線實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆杖蜝樣條曲線的生成算法，掌握三次B樣條曲線與控制折線的幾何關(guān)系。 實(shí)驗(yàn)要求：要求根據(jù)給定的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，用鼠標(biāo)輸入控制點(diǎn)并繪制控制折線，生成并顯示由給定控制折線確定的三次B樣條曲線。實(shí)驗(yàn)原理

13、：Bezier曲線存在著幾個(gè)明顯的不足，如控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定了曲線的階次，并且當(dāng)控制點(diǎn)較多時(shí)，控制折線對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱，以及改變曲線的任意控制點(diǎn)都會(huì)影響到整個(gè)曲線的形狀等問(wèn)題，B樣條曲線很好的解決了這些問(wèn)題，并且它還具有對(duì)控制折線更逼近、多項(xiàng)式階次較低等優(yōu)點(diǎn)。通常給定m+n+1個(gè)控制點(diǎn)，可以定義m+1段n次的參數(shù)曲線，其公式為： 其中，Pk,n(t)為第k段n次B樣條曲線段，F(xiàn)i,n(t)為n次B樣條基函數(shù)，也稱為B樣條分段混合函數(shù)，其形式為 連接全部曲線段所組成的整條曲線稱為n次B樣條曲線。實(shí)驗(yàn)步驟：（1） 設(shè)置控制點(diǎn)個(gè)數(shù)（2） 鼠標(biāo)交互輸入控制點(diǎn)，并繪制控制折線（3） 根據(jù)根據(jù)控制

14、點(diǎn)個(gè)數(shù)ptN生成ptN-3段三次B樣條曲線，對(duì)每一段曲線，根據(jù)采樣精度對(duì)t進(jìn)行離散化，計(jì)算出相應(yīng)的離散點(diǎn)，連接相鄰的離散點(diǎn)，用折線近似顯示曲線。實(shí)驗(yàn)效果：程序?qū)崿F(xiàn)：1）定義變量int m_ptN,inputN; /控制點(diǎn)個(gè)數(shù)和輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)POINT *pts; /控制點(diǎn)指針2）對(duì)變量進(jìn)行初始化m_ptN=8; /設(shè)置控制點(diǎn)個(gè)數(shù)inputN=0; /初始化輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)pts=new POINTm_ptN; /給控制點(diǎn)分別內(nèi)存3）輸入并繪制控制折線/鼠標(biāo)左鍵按下事件函數(shù)void CBSplineView:OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) / TODO:

15、Add your message handler code here and/or call defaultCClientDC dc(this);if(inputN<m_ptN) /獲取插值點(diǎn)并繪制插值點(diǎn)折線ptsinputN=point;if(inputN>0)dc.MoveTo (ptsinputN-1); dc.LineTo(ptsinputN);inputN+;elsemyBSpline(); /調(diào)用插值曲線生成函數(shù)CView:OnLButtonDown(nFlags, point);4）生成并繪制B樣條曲線/B樣條曲線函數(shù)void CBSplineView:myBSpli

16、ne()CClientDC dc(this);CPen *pOld, pen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0);pOld=dc.SelectObject (&pen);int x,y,m=m_ptN-3,k=20; /設(shè)置采樣精度，計(jì)算曲線段個(gè)數(shù)float t1,t2,t3,a,b,c,d,dt;dt=1.0/k; /設(shè)置采樣間隔for(int i=0; i<m; i+)/處理每一段曲線t1=0;for(int j=0; j<=k; j+) /對(duì)當(dāng)前曲線進(jìn)行采樣并顯示t2=t1*t1; t3=t2*t1;a=-t3+3*t2-3*t1+1; b=3*t3-6*t2+4;c=-3*t3+3*t2+3*t1+1; d=t3;a=a/6; b=b/6; c=c/6; d=d/6;x=a*ptsi.x+b*ptsi+1.x+c*ptsi+2.x+d*ptsi+3.x;y=a*ptsi.y+b*ptsi+1.y+c*ptsi+