第2章 2.4 二項(xiàng)分布

1、教育精選2.4二項(xiàng)分布1理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布(重點(diǎn))2能利用二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理二項(xiàng)分布閱讀教材P63P64“例1”以上部分，完成下列問題1n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(1)定義：一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對(duì)立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)p>0.我們將這樣的試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn)(2)概率計(jì)算：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，如果每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為p(0<p<1)，那么在這n次試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.2二項(xiàng)分

2、布若隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是_(填序號(hào))每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是相同；每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的【解析】由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義知正確【答案】2一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為_【解析】拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，由于每次試驗(yàn)的結(jié)果不受影響，故由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可知，所求概率為PC2.【答案】3已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，XB，則P(X2)等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440050】【解析】P(X2)

3、C42.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率問題(1)某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標(biāo)之間沒有影響，有下列結(jié)論：他三次都擊中目標(biāo)的概率是0.93；他第三次擊中目標(biāo)的概率是0.9；他恰好2次擊中目標(biāo)的概率是2×0.92×0.1；他恰好2次未擊中目標(biāo)的概率是3×0.9×0.12.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)(2)某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到

4、小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率【精彩點(diǎn)撥】先判斷“射擊手連續(xù)射擊3次”能否看成，“一次射擊”試驗(yàn)重復(fù)做了三次，同樣，氣象站5次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確與否也可看成是5次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，結(jié)合二項(xiàng)分布求概率【自主解答】(1)三次射擊是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】(2)記預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確為事件A，則P(A)0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，2次準(zhǔn)確的概率為PC×0.82×0.230.051 20.05，因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”

5、的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為PC×(0.2)5C×0.8×0.240.006 720.01.所以所求概率為1P10.010.99.所以5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.說明第1,2,4,5次中恰有1次準(zhǔn)確所以概率為PC×0.8×0.23×0.80.02 0480.02，所以恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率約為0.02.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟1判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)2分拆：判斷所求事件是否需要分拆3計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

6、公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算再練一題1(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為，沒有平局若進(jìn)行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為_(2)在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為_【解析】(1)“甲獲勝”分兩類：甲連勝兩局；前兩局中甲勝一局，并勝最后一局即P2C×××.(2)由題意知，Cp0(1p)41，p.【答案】(1)(2)二項(xiàng)分布一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的

7、次數(shù)的分布列；(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)的分布列【精彩點(diǎn)撥】(1)首先判斷是否服從二項(xiàng)分布，再求分布列(2)注意“首次遇到”“或到達(dá)”的含義，并明確的取值再求取各值的概率【自主解答】(1)B，的分布列為P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.(2)的分布列為P(k)P(前k個(gè)是綠燈，第k1個(gè)是紅燈)k·，k0,1,2,3,4；P(5)P(5個(gè)均為綠燈)5.故的分布列為012345P1本例屬于二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清XB(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)對(duì)于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,

8、1,2，n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式(2)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次再練一題2在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為名，求的分布列【解】(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“AB”，且事件A，B相互獨(dú)立

9、P(AB)P(A)P(B)P()P()××.(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B.P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)隨機(jī)變量的分布列為01234P探究共研型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布綜合應(yīng)用探究1王明在做一道單選題時(shí)，從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案，他做對(duì)的結(jié)果數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布有何關(guān)系？【提示】做一道題就是做一次試驗(yàn)，做對(duì)的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布就是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n1的二項(xiàng)分布探究2王明做5道單選題，每道題都隨機(jī)選一個(gè)答案，那么他做對(duì)的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？為什么？【提示】服從二項(xiàng)分布因?yàn)槊康李}

10、都是隨機(jī)選一個(gè)答案，結(jié)果只有兩個(gè)：對(duì)與錯(cuò)，并且每道題做對(duì)的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對(duì)的道數(shù)就是5次試驗(yàn)中“做對(duì)”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對(duì)的“道數(shù)”服從二項(xiàng)分布探究3王明做5道單選題，其中2道會(huì)做，其余3道均隨機(jī)選一個(gè)答案，他做對(duì)的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？如何判斷一隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布？【提示】不服從二項(xiàng)分布因?yàn)闀?huì)做的兩道題做對(duì)的概率與隨機(jī)選取一個(gè)答案做對(duì)的概率不同，不符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分

11、布甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊(duì)的總得分(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB)【精彩點(diǎn)撥】(1)由于甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率相同，且正確與否沒有影響，所以服從二項(xiàng)分布，其中n3，p；(2)AB表示事件A、B同時(shí)發(fā)生，即甲、乙兩隊(duì)總得分之和為3且甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分【自主解答】(1)由題意知，的可能取值為0,1,2,3，且p(0)C3，P(

12、1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以的分布列為0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)C2，P(D)C3，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).對(duì)于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解.再練一題3為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長，某市決定

13、新建一批重點(diǎn)工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的，.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；(2)記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列【解】記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，用P(Ai)，P(Bj)，P(Ck).(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互

14、不相同的概率P3! P(A1B2C3)6P(A1)P(B2)P(C3)6×××.(2)法一：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知，B，且3，所以P(0)P(3)C3，P(1)P(2)C2，P(2)P(1)C2，P(3)P(0)C3.故的分布列是0123p法二：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci)，所以B，即P(k)Ck3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123p構(gòu)建·體系1已知YB，則P(Y4)_.【解析】由YB可

15、知，P(Y4)C4×2.【答案】2小王通過英語聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是_【解析】P(X1)C12.【答案】3下列說法正確的是_(填序號(hào))某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XB(10,0.6)；某福彩的中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了8張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且XB(8，p)；從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且XB.【解析】顯然滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，而雖然是有放回地摸球，但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹?，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項(xiàng)分布的定義【答案】4設(shè)XB(4，p)，且P(X2)，那么一次試驗(yàn)成功的概率p等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440051】【解析】P(X2)Cp2(1p)2，即p2(1p)22·2，解得p或p.【答案】或5甲、乙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰