內(nèi)切球和外接球例題.

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、直接法 (公式法 )1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例 1 若棱長為3 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_ . 27.例 2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24 ，則該球的體積為 _. 4 3 .2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例 3 （ 2007 年天津高考題）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球的表面積為.14 .例 4、（ 2006 年全國卷 I ）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為 16，則這個(gè)球的表面積為（）.C.A. 16B. 20C. 24D. 323

2、.求多面體的外接球的有關(guān)問題例 5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的9頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8 ，底面周長為，則這個(gè)球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長為x ，高為 h ，則有6x3,x1,932h,216xr84h3正六棱柱的底面圓的半徑2 ，球心到底面的距離 d3V42 .外接球的半徑 Rr 2d 21.球3 .二、構(gòu)造法 (補(bǔ)形法 )1、構(gòu)造正方體例 5 （ 2008 年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ，則其外接球的表面積是 _.解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為3 的正方體，于

3、是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球2R23339 R29222的半徑為 R ，則有.4 .故其外接球的表面積 S4 R29 .小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、 b、 c ，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R ，則有 2Ra2b2c2.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！纠}】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長所以：四面體外接球的直徑為的長即：所以球的表面積

4、為例 6.一個(gè)四面體的所有棱長都為2 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上， 則此球的表面積為（）A.3B.4C.33D.6解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑 .在此，由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長相等的四面體，四面體ABDE 滿足條件，即AB=AD=AE=BD=DEBE2 ，由此可求得正方體的棱長為1，體對(duì)角線為 3 ，從而外接球的直徑也為3 ，所以此球的表面積便可求得，故選A.例 7在等腰梯形ABCD 中， AB=2DC=2 ，DAB=60 0， E為 AB 的中點(diǎn)，將 ADE 與 BEC 分布沿 ED 、 E

5、C 向上折起，使 A 、 B 重合于點(diǎn) P ，則三棱錐 P-DCE 的外接球的體積為（） .43666A. 27B.2C.8D.24解析： 因?yàn)?AE=EB=DC=1，DAB=CBE=DEA=60 0，所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱錐 P-DCE 為正四面體，至此，這與例 6 就完全相同了，故選C.例 8 .已知球 O 的面上四點(diǎn) A 、B、 C、 D， DA平面 ABC ， ABBC ，DA=AB=BC=3 ，則球 O 的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA 平面 ABC ， ABBC ，聯(lián)

6、想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系， 構(gòu)造長方體， 又因?yàn)?DA=AB=BC=3 ，則此長方體為正方體，所以 CD 長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球 O 的體積等9于 2 .2、構(gòu)造長方體例 9.已知點(diǎn) A、B、C 、D 在同一個(gè)球面上，AB平面 BCD ， BC DC ，若 AB 6,AC=213,AD=8 ，則球的體積是.解析：首先可聯(lián)想到例 8，構(gòu)造下面的長方體，于是AD 為球的直徑， O 為球心， OB=OC=4 為半徑，要求B、 C 兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC 即可，在 Rt ABC 中，求出 BC =4 ，所以 BOC=60 0，故 B、 C 兩點(diǎn)間的球面距4離是

7、3 .三 .多面體幾何性質(zhì)法例 1 0.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. 16B. 20C. 24D. 32解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為x ，外接球的半徑為R ，則有 4x216 ，解得x 2 . 2R2222422 6,R6 .這個(gè)球的表面積是4 R224.選 C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的 .四 .尋求軸截面圓半徑法例 11.正四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為2 ，點(diǎn)S、 A、 B、 C、 D 都在同一球面上，則此球的體積為.S解 設(shè)正四棱錐的底面中心為O1 ，外接球的球心為O，如圖

8、 1D所示 .由球的截面的性質(zhì)，可得OO1平面 ABCD .AO1B圖 3又 SO1平面 ABCD ，球心 O 必在 SO1 所在的直線上 . ASC 的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓， 外接圓的半徑就是外接球的半徑 .在 ASC 中，由 SA SC2，AC2 ，得 SA2SC2AC 2.ACASC是以 AC為斜邊的 Rt .12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.125125125125A. 12B. 9C. 6D. 3解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O ，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OAOBOCOD .點(diǎn) O 到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、 B、 C、 D 的距離相等，5即點(diǎn) O 為四面體的外接球的球心，外接球的半徑R OA2 .故V 球4R312536.選C.C【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，,因?yàn)樗灾运钥傻脠D形為：V 球4在中斜邊為,在,在中斜邊