高考中圓錐曲線題型的解法探討

1、目 錄1 引言12 文獻綜述12.1 國內外研究現(xiàn)狀12.2 國內外研究現(xiàn)狀評價12.3 提出問題13 近三年高考中圓錐曲線題型所占比重及發(fā)展趨勢14 高考中見的圓錐曲線題型34.1 直線與圓錐曲線結合的題型3求圓錐曲線的軌跡方程3求直線方程、斜率、線段長度相關問題4判斷直線與圓錐曲線的位置關系64.2 圓與圓錐曲線結合的題型74.3 圓錐曲線與圓錐曲線結合的題型74.4 圓錐曲線與向量知識結合的題型85 常考圓錐曲線題型的解題方法分析105.1 解題的通法分析105.2 合理選擇適當方法優(yōu)化解題過程125.3 解題中應避免的誤區(qū)136 結論146.1 主要發(fā)現(xiàn)146.2 啟示和意義146.3

2、 局限性146.4 努力方向14參考文獻15致 謝161 引言高考是當今社會的熱點內容之一，受到了人們的極大關注，更多的人投入了很大的精力對高考進行研究，他們從不同角度對高考進行了分析.圓錐曲線是高中平面幾何中的重點內容，是高考命題的熱點之一.近幾年高考數(shù)學對圓錐曲線的考查一直占有較大的比例，尤其是“向量”和“導數(shù)”進入高中數(shù)學教材以后,更是拓寬了高考在圓錐曲線上的命題空間.文章緊扣高考“脈搏”，對以圓錐曲線內容命題的歷屆高考試題作了一般概述,分析高考中圓錐曲線的題型，找出解題的一般思考方法及技巧，從中歸納出常考圓錐曲線題型的特征，以及對此類題型的解題方法做了分析，并對各類題型加以評析,用一些

3、具體的例題加以說明，這有助于拓寬學生的知識面，更好的應對高考.2 文獻綜述2.1 國內外研究現(xiàn)狀圓錐曲線題型是歷年高考的重點內容之一，所以受到很多人的關注，對這部分的研究也很多.文獻1對直線與圓錐曲線的位置關系做了詳細的說明；文獻2、3中對涉及切點弦的圓錐曲線題型有所介紹；文獻4對圓錐曲線定義有關的問題做了介紹；文獻5對有關焦點弦的問題做了介紹；文獻69對求解圓錐曲線題型的的方法從不同角度做了介紹；文獻10、11對求解圓錐曲線題型時經常出現(xiàn)的誤區(qū)做了詳細介紹；其它一些文獻也介紹了圓錐曲線的相關知識，和解題思想方法.2.2 國內外研究現(xiàn)狀評價目前國內對高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型的研究論述很多，它

4、們從不同的角度對圓錐曲線題型的解法做了闡述，并且取得了一定的成就，對學生學習圓錐曲線這部分知識起到很大作用.2.3 提出問題圓錐曲線題型是高考的重點之一，受到人們極大的關注，很多人從不同角度分析了高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型的解題思想方法.文章主要是系統(tǒng)的闡述高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型及其解題方法分析.3 近三年高考中圓錐曲線題型所占比重及發(fā)展趨勢圓錐曲線是平面解析幾何的核心內容，也是歷年高考數(shù)學命題的重點內容.在近年的高考試題中，有關圓錐曲線的試題所占比重較大，一般都在1622分之間，而且題型、題量、難度保持相對穩(wěn)定，一道選擇題、一道填空題、一道解答題.從近年高考命題趨勢上看，這種情形近幾年還

5、不會被打破，預計今后幾年的命題也將會一直保持現(xiàn)在的難度、量度.表1高考中?？紙A錐曲線題型及所占分值年份選擇題填空題解答題合計2009年全國卷5分12分17芬全國卷5分12分17分上海卷4分16分20分天津卷5分14分19分山東卷5分 14分19分2008年全國卷5分12分17分全國卷5分5分12分22分北京卷5分14分19分四川卷5分12分17分陜西卷5分12分17分2007年全國卷5分12分17分湖南卷5分13分18分天津卷5分15分20分重慶卷4分12分16分福建卷5分12分17分（1）圓錐曲線的考查重點近幾年高考試卷對圓錐曲線的考查主要是：給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡單的幾何性質

6、；或給出曲線滿足的條件，判斷（或求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關系，討論與其有聯(lián)系的有關問題（如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長、曲線中參數(shù)的取值范圍等）；或討論直線與曲線、曲線與曲線的關系；或考查圓錐曲線與其它知識的綜合（如與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、導數(shù)等）等.（2）圓錐曲線試題的特點突出重點知識的考查.直線與圓的方程、圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是圓錐曲線命題的根本.在對圓錐曲線的考查中，直線與圓錐曲線的位置關系仍然是重點.注重數(shù)學思想與方法的考查.融合代數(shù)、三角、不等式、排列組合、向量和幾何等知識，在知識網(wǎng)絡的交匯點處設計問題是近年高考的一大特點由于向量具有代數(shù)和幾

7、何的雙重身份，使得圓錐曲線與平面向量的整合交匯成為近幾年高考命題的熱點，導數(shù)知識的引入為我們解決圓錐曲線的最值問題和切線問題提供了新的視角和方法.命題重點趨勢：直線與圓錐曲線（或圓與圓錐曲線）2010高考圓錐曲線內容重點仍然是直線與圓錐曲線（或圓與圓錐曲線），熱點主要體現(xiàn)在：直線與圓錐曲線的基礎題；軌跡問題；范圍與位置問題；最值問題；存在性問題；與平面向量或導數(shù)相結合的問題.4 高考中見的圓錐曲線題型直線與圓錐曲線的題型涉及函數(shù)的與方程數(shù)形結合，分類討論，化歸等重要的數(shù)學思想方法，是高考必考內容之一，這類題型運算量比較大，思維層次較高，對學生的能力要求也相對較高，是每年高考中平面幾何部分出題的

8、重點內容.4.1 直線與圓錐曲線結合的題型 求圓錐曲線的軌跡方程這類題主要考查學生對圓錐曲線的標準方程及其相關性質，要求較低，一是出現(xiàn)在選擇題，填空題或者解答題的第一問，較容易.例1（2008年重慶卷） 已知雙曲線（a0,b0）的一條漸近，線的方，程為（k.o） ，離心率 ，則雙曲線的方程為（）A B C D 分析：本題主要是考查學生對雙曲線的離心率、漸近線的相關知識的掌握，并且結合雙曲線的性質，求出兩者之間的關系，繼而得出正確的結論.依題意有，又因雙曲線的漸近線方程為，所以，所以得出，故選C.求直線方程、斜率、線段長度相關問題 此類題目一般比較困難，不僅考查學生對圓錐曲線相關知識的掌握，而且

9、還考查學生的綜合處理問題的能力，還要求學生有較強的推算能力.這類題目容易與向量、數(shù)列、三角函數(shù)等知識相結合，學生在解題時，可能會因為抓不住解題要領而放棄.例2 (2009年四川卷) 已知橢圓（ab0）的左右焦點，離心率，有準線方程為.（1） 求橢圓的標準方程.（2） 過點的直線與橢圓交于，M、N兩點，且|，求直線的方程分析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理運算能力.第一問較簡單，容易得分，求橢圓的標準方程，它的形式是，所以我們只要求出的值就可以了.依題意離心率，橢圓的有準線方程為，又因為，根據(jù)這三個條件，就可以求出，就得出橢圓的標準方程為，這樣就獲

10、得4分.第二問，一看題目給人的第一感覺就是難，在高考中由于時間等因素，很多學生就不去做，就算有有時間也不去考慮，這里我們首先要克服這種恐懼思想.認真讀懂題意，抓住與解題有關的要點，利用所學的知識，仔細分析.首先，要求過點直線方程，我們就考慮直線的斜率，應用點斜式來求，這樣順理成章我們就要考慮直線的斜率存不存在的問題.所以接下來我們就來考慮特殊情況，斜率不存在的問題.解： 假設直線的斜率不存在時，有第一步知，直線過，所以直線方程為，將代入橢圓標準方程得： ，接來我們不妨設， ，所以， =+=（-4，0），這與題設矛盾，所以直線的斜率存在，下面我們設直線的斜率為k,則直線的方程為，設點.連立方程

11、，消y得 由根與系數(shù)的關系可知，又因為 ，所以 ，即 =化簡得 ，解得 （舍去），所以，所以所求直線方程為.這樣這道題就完成了. 判斷直線與圓錐曲線的位置關系 直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何的重點內容之一可從代數(shù)與幾何兩個角度考慮，從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程，代入圓錐曲線的方程消元后所得的情況來判斷，但要注意的是：對于橢圓方程來講，所得一元方程必是一元二次方程，而對雙曲線方程來講未必.例如：將代入中消y后整理得：，當時，該方程為一次方程，此時直線與雙曲線的漸近線平行，當時，該方程為二次方程，這時可以用判別式來判斷直線與雙曲線的位置關系從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公

12、共點及兩個相異的公共點，具體如下：直線與圓錐曲線的相離關系，常通過求二次曲線上的點到已知直線的距離的最大值或最小值來解決.直線與圓錐曲線僅有一個公共點，對于橢圓，表示直線與其相切；對于雙曲線，表示與其相切或與雙曲線的漸近線平行，對于拋物線，表示直線與其相切或直線與其對稱軸平行.直線與圓錐曲線有兩個相異的公共點，表示直線與圓錐曲線相割，此時直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦.例3 已知雙曲線C: 與點P(1,2).求經過點P(1,2)的直線L的斜率的取值范圍，使L與C沒有交點，有一個交點，兩個交點？分析:本題主要考察直線與雙曲線的交點的個數(shù)，歸結為方程組解的問題.解: 當直線的斜率不存在時

13、，直線L的方程為x=1，與曲線c有一個交點，當斜率存在時，設直線的方程為y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得（1）當=0，即時，方程（1）有一個根，L與C有一個交點.當0，即時，=16(3-2k)當=0，即3-2k=0,即時，方程（1）有一個實根，L與C有一個交點.當0，即k時，又，故當或或時方程（1）有兩個實根，L與C有兩個交點.當時，方程（1）無實根，L與C沒有交點.4.2 圓與圓錐曲線結合的題型這類題目要求學生對圓錐曲線、圓以及直線的知識非常熟悉，并有較強的綜合能力.例4 （2008年湖北卷） 在以點O為直徑的半圓ADB中，ODAB,P是半圓弧上一點，曲線C是滿足|MA|-|MB

14、| |為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P. 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求曲線C的方程.分析：本題主要是考查直線、圓、平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合問題的能力.解：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸y軸，建立直角坐標系，則A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(,1), 依題意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=|AB|=4所以曲線C是與原點為中心，A，B為焦點的雙曲線.設實半軸長為a，半軸長為b，半焦距為c，則曲線C的方程為4.3 圓錐曲線與圓錐曲線結合的題型 這類題目在高考中并不是?？碱}型，但也是一個命題熱點.題目中經常涉及兩種圓錐曲線，對

15、這部份知識要求較高，必須熟練掌握才能進行解題，還有這類題目看起來比較復雜，容易使人產生退卻之心，所以面對這種題型，我們要克服心理的恐懼，認真分析題意，結合學過的知識來解題.例（2008年廣東卷） 設b0橢圓方程為，拋物線方程，如下圖所示，過點做x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點.（1） 求滿足條件的橢圓方程及拋物線的方程.（2）設A 、B分別是橢圓的長軸的左右端點，是探究在拋物線上是否存在點使得ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由.分析：本題主要考查橢圓、拋物線、圓、直線、函數(shù)導數(shù)、直角三角形的知識和數(shù)學探究，考查數(shù)形結

16、合.分類與整合，函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、應算能力與創(chuàng)新意識.解(1) 設橢圓的右焦點的坐標為（c,0），則.由題設點F的坐標為，則點G的坐標為（4,b+2）.因為拋物線在G的切線l的斜率k=1,切線l的方程為y=x+b-2.切線經過橢圓的右焦點（b,0）,由0=b+b-2解得b=1,故滿足條件的橢圓方程為，拋物線方程為.解（2） 拋物線上存在點P，使得ABP為直角三角形出共有幾個這樣的點.分別過A,B作x軸的垂線，與拋物線分別交與兩點則三角形,都是直角三角形.以原點為中心，|AB|=為半徑作圓周，由于圓周半徑大于橢圓的半短軸長1，且橢圓與拋物線僅僅交于一點，所以上述圓周必于

17、拋物線相交與,兩點，則則三角形,都是直角三角形，因為與圓相切與點A，而在圓周上，所以, 不重合，同理,不重合.所以這樣的點共有四個.4.4 圓錐曲線與向量知識結合的題型在解決解析幾何問題時，平面向量的出現(xiàn)不僅可以很明確地反映幾何特征，而且又方便計算，把解析幾何與平面向量綜合在一起進行測試，可以有效地考查考生的數(shù)形結合思想.因此許多解析幾何問題均可與向量知識進行綜合.高考對解析幾何與向量綜合考查，采取了新舊結合，以舊帶新，使新的內容和舊的內容有機地結合在一起設問，就形成了新的高考命題的熱點.例6 已知常數(shù)m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經過點A(m, 0)，以為方向

18、向量的直線與經過點B(- m, 0)，以b-為方向向量的直線交于點P，其中R(1) 求點P的軌跡E；(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問是否存在實數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說明理由分析 本題是一量與解析幾何的綜合題，且直線是由含參數(shù)的兩個復合向量為方向向量所確定直線 (直線的點斜式方程)，顯示出向量法的特征，深刻地揭示出向量與解析幾何的內在聯(lián)系與共同本質用代數(shù)的方法研究和解決幾何問題.另外，本題的第(2)問以存在性問題呈現(xiàn)，強化了求解過程中的探究性，對抽象思維能力有很高的要求.解(1) = (

19、 m, )， 直線AP方程為；（2）又b-=( m, - 4), 直線NP方程為；（3）由(2)、(3)消去得，即故當m = 2時，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：；當m 2時，軌跡E是以原點為中心，以為焦點的橢圓：當0 m 0方程（6）有兩個不等實根直線L與橢圓C相交直線與橢圓C有兩個不同的公共點.若=0方程（6）有兩個相等的實根直線L與橢圓C相切直線與橢圓C只有一個公共點.若方程=0方程（6）有兩個不等實根直線L與雙曲線C相交直線與雙曲線C有兩個不同的公共點.若=0方程（6）有兩個相等的實根直線L與雙曲線C相切直線與雙曲線C只有一個公共點.若=0方程（6）有兩個不等實根直線L

20、與拋物線C相交直線與拋物線C有兩個不同的公共點.若=0方程（6）有兩個相等的實根直線L與拋物線C相切直線與拋物線C只有一個公共點.若=0方程（6）無實根直線L與拋物線C相離直線與拋物線C無公共點.注意當直線L與拋物線的對稱軸平行時，直線L與拋物線C只有一個公共點，此時直線L與拋物線C相交，故直線L與拋物線C只有一個公共點時可能相交也可能相切.系統(tǒng)掌握求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動點轉移法、參數(shù)法等）;掌握綜合運用直線的基礎知識和圓的性質，解答直線與圓的位置關系的思想方法;熟練掌握圓錐曲線的標準方程、幾何性質及其應用.掌握與圓錐曲線有關的參數(shù)討論問題的解法.掌握解答

21、解析幾何綜合問題的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.5.2 合理選擇適當方法優(yōu)化解題過程數(shù)學的解題過程一般是由理解問題開始，經過探討思路，轉化問題直至解決問題題目的意思至為重要，然后我們才能分解問題，把一個復雜的問題轉化成幾個簡單的熟悉的問題，通過逐步分解，進而解決問題.所以在解題前，首先我們應該從全方位、多角度的分析問題，根據(jù)自己的知識經驗，適時的調整分析問題的角度，再充分回憶與之相關的知識點把陌生的問題轉化為一些熟悉的題型，找到一個正確的簡便的解題方法.合理選擇方法，提高運算能力.解析幾何問題的一般思路易于尋找，但運算量大，所以合理選擇運算方法可以優(yōu)化解題過程、減少運算量.通常減少運

22、算量的方法有合理建立坐標系；充分利用定義；充分利用平面幾何知識；整體消元法等.對圓錐曲線的基礎知識首先要扎實，關于解題技巧可以考慮下面幾點： 某些問題要注意運用圓錐曲線定義來解題； 與弦有關問題多數(shù)要用韋達定理； 與中點有關問題多數(shù)要用“點差法”； 計算能力一定要過硬，要有“不怕麻煩的勁頭”； 與角度，垂直有關問題，要恰當運用“向量”的知識；直線和圓錐曲線的問題是解析幾何中的典型問題，也是考試中容易出大題的考點.解決這類問題的關鍵就是要明白直線和圓錐曲線問題的本質.直線截圓錐曲線就會在曲線內形成弦，這是一個最大的出題點，根據(jù)弦就可以涉及到弦長；另外直線和圓錐曲線有交點，涉及到交點就會涉及到坐標

23、的一些問題，若是再和交點、原點等一些特殊點構成一些關系還會涉及到角度問題.解析幾何就是利用代數(shù)方法解決幾何問題，因此這些幾何上的角度，弦長等一些關系都要轉化成坐標，以及方程的形式.但是問題的本質還是幾何問題，因此更多的利用圓錐曲線的幾何性質可以化簡計算.比如，在坐標法中向量是和幾何問題結合最緊密的方法，因此涉及到角度等一些問題可以用向量去做，這樣會比直接利用直線的夾角公式計算要稍簡單一些. 還有一種方法是點差法.這種方法是將兩個交點的坐標先帶入圓錐曲線方程，然后進行做差，這樣就會出現(xiàn)平方相減或相加的項，方便轉化和化簡，這里在化簡和轉化的過程中主要利用的是直線方程，因此大部分題的參數(shù)都在直線中.

24、 這類題的計算量一般會比較大，在解題時可以使用一些小技巧簡化計算.比如涉及到焦點的問題看看可不可以用圓錐曲線的第二定義轉化.利用第二定義就可以將點到點之間的距離轉化為點到直線之間的距離，而且一般情況下直線還是垂直于x軸或y軸的，這樣直接就和坐標聯(lián)系上了，這種方法在圓錐曲線中含有參數(shù)的時候還是挺好使的，一般在答題中應用不多，小題中會有不少應用，因此還是要掌握好第二定義.5.3 解題中應避免的誤區(qū)在“圓錐曲線”內容中，為了研究曲線與方程之間之間的各種關系，引進了一些基本概念和數(shù)學方法，例如“圓錐曲線”，“曲線的方程”等概念，函數(shù)與方程的數(shù)學思想、數(shù)形結合思想、回歸定義等方法，對于這類特定的概念理解

25、不準確，對這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時就容易進入誤區(qū).對圓錐曲線的兩個定義在第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于，定義中的“絕對值”與，則軌跡不存在.若去掉定義中的絕對值則軌跡僅示雙曲線的一支第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率.圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化在求解橢圓、雙曲

26、線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a、b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向.判斷直線與圓錐曲線的位置關系時應該注意：直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交.如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點.6 結論 6.1 主要發(fā)現(xiàn)高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型一般都有固定的解題思路，這就是文章所提到的通法，這些思想方法大多比較簡單明了，但是這些方法有一個弊端，那就是應算非常復雜，對學生的應算能力要求比較高.不過對這類問題也有一個相對較簡單的解法，它要求學生有較強的數(shù)學應用能力、歸納總結的能力.6.2 啟示和意義文章對高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型及其解題思想方法做了一個系統(tǒng)的概述，對即將高考的學生對這部分知識的復習有一定的意義，并能使他們對這部分知識有一個總體的認識.6.3 局限性高考中對圓錐曲線題型的考查內容廣泛、題型較多，文章不能完全說明，如對含參數(shù)的問題、與數(shù)列、三角函數(shù)結合的問題未能說明；文章中的一些解題思想方法未能詳細說明.6.4 努力方向將來在教學實踐中，盡可能的詳細的對高考中常出現(xiàn)的圓錐曲線題型及