萬有引力推導開普勒三大定律

1、For pers onal use only in studyand research; not forcommercial use萬有引力推導開普勒定律牛頓萬有引力定律 闡明：任意兩個粒子由通過連線方向的力相互吸引。該引力的的大小與它 們的質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。 由于太陽超重于行星， 我們可以假設太陽 是固定的。用方程式表示，F(xiàn) = -Gf廠 ；這里，是太陽作用於行星的萬有引力、是行星的質(zhì)量、是太陽的質(zhì)量、1是行星相對于太陽的 位移向量、是1的單位向量。牛頓第二定律 聲明：物體受力後所產(chǎn)生的 加速度|，和其所受的淨力F成正比，和其質(zhì)量 成反比。用方程式表示，。合并這兩個方程

2、式,思考位置向量i，隨時間 微分一次可得到速度向量，再微分一次則可得到加速度向量：9T =汪+ rr =rr + r&0,-r =(fr+ rr) +(rOO + r39 + r0G = (r r9)r +(r& + 2r90。在這里，我們用到了單位向量微分方程式：0= 亦。合并方程式（1）與（2），可以得到向量運動方程式:(r -r92)r + (r0 + 2r9)0= 一竽Fr取各個分量，我們得到兩個 常微分方程式，一個是關于徑向加速度， 另一個是關于切向加速 度：導引開普勒第二定律只需切向加速度方程式。試想行星的 的質(zhì)量是常數(shù)，角動量隨時間的導數(shù)為e=mr（2r6+祐）=

3、0角動量也是一個運動常數(shù)，即使距離 與角速度都可能會隨時間變化。r-r護GM角動量= ；F。由于行星從時間 到時間一掃過的區(qū)域丄一1,行星太陽連線掃過的區(qū)域面積相依于間隔時間所以，開普勒第二定律是正確的。求解剩馀的常係數(shù)齊次線性全微分方程式?編輯開普勒第一定律導引1u =設定。這樣，角速度是&0悩“ =2 =-mr- m。隨時間微分與隨角度微分的關系為d ； d （u2d一=Q一 =_j-o!=,隨時間微分徑向距離再微分一次:代入徑向運動方程式（3）將此方程式除以，則可得到一個簡單的常係數(shù)非齊次線性全微分方程式星軌道：tir d1m dG udu21dumu2dOEir dr f =m

4、 d00護df1du m dG md& 廠。dff2弋=-GMu2來描述行求解剩馀的常係數(shù)齊次線性全微分方程式?d2uGMm2 。特征方程式為GMm2其特解方程式為這里，與 都是任意積分常數(shù)。綜合特征方程式與特解方程式,GMm2“U =T5+E COS8 %)_ 1選擇坐標軸，讓一八。代回，1GMm2-= + E COS0rt-。假若，則 所描述的是橢圓軌道。所以，開普勒第一定律是正確的。編輯開普勒第三定律導引在建立牛頓萬有引力定律的概念與數(shù)學架構上，開普勒第三定律是牛頓依據(jù)的重要線索之一。假若我們接受牛頓運動定律。試想一個虛擬行星環(huán)繞著太陽公轉(zhuǎn)，行星的移動軌道恰巧呈圓形，軌道半徑為。

5、那末，太陽作用于行星的萬有引力為2?rr度為。依照開普勒第三定律，這速度與半徑的平方根Foc 萬有引力。猜想這大概是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思路，雖然我們并不能完全 確定，因為我們d2u。行星移動速無法在他的計算本裡，找到任何關于這方面的證據(jù)。u行星環(huán)繞太陽（焦點F1）的橢圓軌道。開普勒第一定律闡明，行星環(huán)繞太陽的軌道是橢圓形的。橢圓的面積是衣？；這里，與分別為橢圓的 半長軸與半短軸。在開普勒第二定律導引里，行星-太陽連線掃過區(qū)域速度dA為dA _ Idt 2m。所以，行星公轉(zhuǎn)周期一為2mTiabT=-。關于此行星環(huán)繞太陽，橢圓的半長軸，半短軸與近拱距.（近拱點A與引力中心之間的距離），遠拱距-

6、（遠拱點B與引力中心之間的距離）的關系分別為a = （rA+ 5）化b=丄 7。如果想要知道半長軸與半短軸，必須先求得近拱距與遠拱距。依據(jù)能量守恒定律,1_91mME = -mrHmr0 G-在近拱點A與遠拱點B,徑向速度都等于零:稍為加以編排，可以得到的一元二次方程式:壽GmMQP+Er 2mE=o代入方程式（6）與（7）,GmJId-二y/amy/GMo代入方程式（5），周期的方程式為所以,e2mr2其兩個根分別為橢圓軌道的近拱距與遠拱距.-OGmME+ mE/2TB=GmMGmMV22 ,+后以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only i

7、n study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasadeiafins commerTO員BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymaiflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下無正文ucno員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe員EX.以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pa