數(shù)值線性代數(shù)第二版徐樹方高立張平文上機(jī)習(xí)題試驗(yàn)報(bào)告

1、第三章上機(jī)習(xí)題用你所熟悉的的計(jì)算機(jī)語言編制利用QR 分解求解線性方程組和線性最小二乘問題的通用子程序，并用你編制的子程序完成下面的計(jì)算任務(wù)：（1 ）求解第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組， 并將所得的計(jì)算結(jié)果與前面的結(jié)果相比較，說明各方法的優(yōu)劣；（2）求一個(gè)二次多項(xiàng)式y(tǒng)二at2+bt+c，使得在殘向量的 2 范數(shù)下最小的意義下擬合表3.2中的數(shù)據(jù)；表 3.2ti-i-0.75-0.500.250.50.75yii0.8i250.75ii.3i25i.752.3i25（3 ）在房產(chǎn)估價(jià)的線性模型中，ai,a2, ,aii分別表示稅、浴室數(shù)目、占地面積、車庫數(shù)目、房屋數(shù)目居室數(shù)目、房齡、建筑類型、戶

2、型及壁爐數(shù)目，y代表房屋價(jià)格?，F(xiàn)根據(jù)表3.3 和表 3.4 給出的 28 組數(shù)據(jù)，求出模型中參數(shù)的最小二乘結(jié)果。（表 3.3 和表 3.4 見課本 P99-i00）解分析：（i ）計(jì)算一個(gè) Householder 變換 H：由于H I2WWTIvvT，則計(jì)算一個(gè) Householder 變換 H 等價(jià)于計(jì)算相應(yīng)的、v。其中v x |x|2,2/（vTv）。在實(shí)際計(jì)算中，為避免出現(xiàn)兩個(gè)相近的數(shù)出現(xiàn)的情形，當(dāng)x10時(shí)，令v1血 鏡；Xi|x|2為便于儲(chǔ)存，將v規(guī)格化為v v/vi，相應(yīng)的，變?yōu)?v：/（vTv）為防止溢出現(xiàn)象，用x/|x|代替（2） QR 分解：利用 Householder 變換逐

3、步將Am n,m n轉(zhuǎn)化為上三角矩陣HnHniHiA，則有y xoaiXia2X2aiiXiiRA Q0R，其中Q H1H2Hn，R在實(shí)際計(jì)算中，從j 1:n，若j m，依次計(jì)算x A(j:m, j)對(duì)應(yīng)的(Hj)(mk1)(mk1)即對(duì)應(yīng)的Vj,j，將Vj(2:m j 1)儲(chǔ)存到A(j 1: m, j),j儲(chǔ)存到d(j)，迭代結(jié)束Ij 10后再次計(jì)算Q，有Hj，Q H,H2Hn(n m時(shí)Q H,H2Hn-1)0 Hj(3 )求解線性方程組Ax b或最小二乘問題的步驟為i計(jì)算A的 QR 分解；ii計(jì)算c1Q1Tb，其中Q1Q(:,1:n)iii利用回代法求解上三角方程組Rx c1(4)對(duì)第一章

4、第一個(gè)線性方程組，由于 R 的結(jié)果最后一行為零，故使用前代法時(shí)不計(jì) 最后一行，而用運(yùn)行結(jié)果計(jì)算x84。運(yùn)算 matlab 程序?yàn)? 計(jì)算 Householder 變換v,belta二hOUSe(x)function v,belta=house(x)n=length(x); x=x/norm(x,inf); sigma=x(2:n)*x(2:n);v=zeros(n,1);v(2:n,1)=x(2:n); if sigma=0 belta=0;else alpha=sqrt(x(1)A2+sigma);if x(1)=0v(1)=x(1)-alpha;else v(1)=-sigma/(x(1)

5、+alpha); end belta=2*v(1)A2/(sigma+v(1)A2); v=v/v(1,1);endend2 計(jì)算A的 QR 分解Q,R=QRfenjie(A)function Q,R=QRfenjie(A)m,n=size(A);Q=eye(m);for j=1:nif jmv,belta=house(A(j:m,j);H=eye(m-j+1)-belta*v*v;A(j:m,j:n)=H*A(j:m,j:n);d(j)=belta;A(j+1:m,j)=v(2:m-j+1);endendR=triu(A(1:n,:);for j=1:n(1:n,:)。if jmH=eye(

6、m);temp=1;A(j+1:m,j);H(j:m,j:m)=H(j:m,j:m)-d(j)*temp*temp;Q=Q*H;endendend3 解下三角形方程組的前代法x=qiandaifa(L,b)function x=qiandaifa(L,b)n=length(b);for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);x=b;end4求解第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組 ex3_1clear;clc;%第一題A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1

7、)+diag(ones(1,83),1); b=7;15*ones(82,1);14;n=length(A);%0 分解Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x1=huidaifa(R(1:n-1,1:n-1),c(1:n-1);x1(n)=c(n)-R(n,1:n-1)*x1;%不選主元 Gauss 消去法L,U=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法L,U,P=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比較figure(1);subplot(1,3,1);plot(1:n,x1);title(subp

8、lot(1,3,2);plot(1:84,x1_1);title(subplot(1,3,3);plot(1:84,x1_2);title( %第二題第一問A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1);n=length(A);%0 分解tic;Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x2=huidaifa(R,c);toc;%不選主元 Gauss 消去法tic;L,U=GaussLA(A); x2_1=Gauss(A,b,L,U);toc;%列主元 Gauss 消去法tic;L,U,

9、P=GaussCol(A);x2_2=Gauss(A,b,L,U,P);toc; %平方根法tic;L=Cholesky(A);x2_3=Gauss(A,b,L,L);toc; %改進(jìn)的平方根法 tic;L,D=LDLt(A);x2_4=Gauss(A,b,L,D*L);toc; %解的比較figure(2);subplot(1,5,1);plot(1:n,x2);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x2_1);title(subplot(1,5,3);plot(1:n,x2_2);title(subplot(1,5,4);plot(1:n,x2_3);title(su

10、bplot(1,5,5);plot(1:n,x2_4);title( %第二題第二問QR 分解);Gauss );PGauss );QR 分解);Gauss );PGauss ); 平方根法 ); 改進(jìn)的平方根法 );A=hilb(40);b=sum(A);b=b;n=length(A);Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x3=huidaifa(R,c);%不選主元 Gauss 消去法L,U=GaussLA(A);x3_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法L,U,P=GaussCol(A);x3_2=Gauss(A,b,L,U,P); %平方根法L=Chol

11、esky(A);x3_3=Gauss(A,b,L,L); %改進(jìn)的平方根法 L,D=LDLt(A); x3_4=Gauss(A,b,L,D*L);%解的比較figure(3);subplot(1,5,1);plot(1:n,x3);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x3_1);title( subplot(1,5,3);plot(1:n,x3_2);title( subplot(1,5,4);plot(1:n,x3_3);title( subplot(1,5,5);plot(1:n,x3_4);title(5求解二次多項(xiàng)式 ex3_2clear;clc;t=-1 -0

12、.75 -0.5 0 0.25 0.5 0.75; y=1 0.8125 0.75 1 1.3125 1.75 2.3125;A=ones(7,3);A(:,1)=t2;A(:,2)=t;Q,R=QRfenjie(A);Q1=Q(:,1:3);c=Q1*y;x=huidaifa(R,c)6求解房產(chǎn)估價(jià)的線性模型clear;clc;ex3_3A=xlsread(y=xlsread(專業(yè)課 數(shù)值代數(shù) cha3_3_4.xls , A2:L29 ); 專業(yè)課 數(shù)值代數(shù) cha3_3_4.xls, M2:M29 );Q,R=QRfenjie(A);QR 分解);Gauss );PGauss ); 平方

13、根法 ); 改進(jìn)的平方根法 );Q1= Q(：,1：12); c=Q1*y; x=huidaifa(R,c); x=X計(jì)算結(jié)果為(1)第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組結(jié)果對(duì)比圖依次為以第二個(gè)線性方程組為例，比較各方法的運(yùn)行速度。依次為QR 分解，不選主元的 Gauss 消去法，列主元 Gauss 消去法，平方根法，改進(jìn)的平方根法。Elapsed time is 0.034588 sec on ds.Elapsed time is 0.006237 sec on ds.Elapsed time is 0.009689 sec on ds.Elapsed time is 0.030862 sec

14、on ds.Elapsed time is 0.007622 sec on ds.（2）二次多項(xiàng)式的系數(shù)為x =1.00001.00001.0000（3）房產(chǎn)估價(jià)的線性模型的系數(shù)為x =Colu mns 1 through 62.0775 0.7189 9.6802 0.1535 13.6796 1.9868Columns 7 through 12-0.9582 -0.4840 -0.0736 1.0187 1.4435 2.9028結(jié)果分析對(duì)第一章上機(jī)習(xí)題中的第二個(gè)線性方程組利用五種求解方法求解所需時(shí)間可知，不 選 主元 的Gauss 消去法，列主元 Gauss 消去法，改進(jìn)的平方根法較快，所需時(shí)間大致 在一個(gè)數(shù)量級(jí)，QR 分解，平方根法，所需時(shí)間較慢，所需時(shí)間在一個(gè)數(shù)量級(jí)上。25002000-J1500（-1000