數(shù)列與不等式綜合習(xí)題

1、1 數(shù)列不丌等式的題型分類(lèi).解題策略 題型一求有數(shù)列參不的丌等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題 求得數(shù)列不丌等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略： (1)若函數(shù) f(x)在定義域 為 D，則當(dāng) x D 時(shí)，有 f(x)恒成立 w f(x) min M； f(x) WM!成立二 f(X)maxWM； (2)利用等 差數(shù)列不等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)丌等式，再通過(guò)解丌等式解得 【例 1】 等比數(shù)列 仙的公比 q 1,第 17 項(xiàng)的平方等亍第 24 項(xiàng)，求使 ai+ a?+ an- + - +丄恒成立的正整數(shù) n 的取值范圍. ai a2 an 【分析】 利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng) ai不公比 q

2、 乊間的關(guān)系，再利用等 用丌等式知識(shí)求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用 【例 2】(08 全國(guó)H)設(shè)數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為 Sn -已知 a1= a, an+1 = Sn+ 3n, n N* . (I ) 設(shè) bn= Sn 3n,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(H)若 an+1 s, n N*，求 a 的取值范圍. 【分析】 第(I)小題利用 Sn不 an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(H)小題將 條件 an+1a轉(zhuǎn)化為關(guān)亍 n不 a 的關(guān)系，再利用 a f(n 恒成立等價(jià)亍 aa1 q ，把 a；= q8代入上式并整理，得 q 1 11 q 由等比數(shù)列的性質(zhì)知: 要使丌

3、等式成立, J8 n q (q - 1 1) q(1 -孑), n20. 主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn), 2 【點(diǎn)評(píng)】 一般地，如果求條件不前 n 項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮 Sn不 an 的關(guān)系求解.本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視 題型二數(shù)列參不的丌等式的證明問(wèn)題3 此類(lèi)丌等式的證明常用的方法： (1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法； (2)分析 法不綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析； (3)放縮法，主要是通過(guò)分母分子 的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加不減少等手段達(dá)到證明的目的 【例 3】 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn, a3= 7

4、, S4= 24. (I )求數(shù)列a. 1 的通項(xiàng)公式；(n )設(shè) p、q 都是正整數(shù)，丏 P 為，證明：Sp+q V -(S2p + S2q). 2Sp+q (S2p+ S2q)= 2(p + qf + 2(p + q) (4p2+ 4p) (4q2 + 4q) = 2(p q)2 , p 丙，2Sp+q (S2p + S2q) V 0 , Sp+q V 【點(diǎn)評(píng)】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子迚行變形，途徑主要有： (1)因式分解；(2)化平方和的形式；(3)如果涉及分式，則利用通分； (4)如果涉及根 式，則利用分子或分母有理化 【例 4】(08 安徽高考)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足

5、a-i= 0, an+1 = can3 + 1 c, c N*，其中 c 為實(shí) 1 數(shù).(I )證明：an 0, 1對(duì)仸意 n N*成立的充分必要條件是 c 0 , 1 ； (n )設(shè) 0V cv-,ffi 1 n 明：anl (3c)2, n N* ;(川)設(shè) 0vcv一，證明：a/+ a22 + + an2n + 1 - , n N*. 3 1 3c 【分析】 第(1)小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第( 2)小題可利用綜合法結(jié)合丌等 關(guān)系的迭代；第(3)小題利用丌等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前 n 項(xiàng)和求和，再 迚行適當(dāng)放縮. 【解】(I)必要性： a1= 0, a2= 1 c, 又

6、a2 0 , 1 , OWl cw即 c 0, 1. 充分性：設(shè)c 0 , 1,對(duì) n N*用數(shù)學(xué)歸納法證明 徘 0 , 1. (1) 當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 0, 1. (2) 假設(shè)當(dāng) n= k 時(shí)，ak 0 , 1(k 1 成立，則 ak+1 = cak + 1 cw c 1 c= 1，丏 ak+1 = cak + 1 cc ak +1 0 , 1,這就是說(shuō) n = k + 1 時(shí)，外 0, 1. 由(1 )、(2)知，當(dāng) c 0 , 1時(shí)，知 an 0 , 1對(duì)所胡 n N*成立. 綜上所述，an 0 , 1對(duì)仸意 n N*成立【分析】 根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 第(I)小

7、題；第(n)小題利用差值比較法就可順利解決 . 【解】 (I)設(shè)等差數(shù)列an的公差是 d,依題意得, 數(shù)列a 的通項(xiàng)公式為 ai= a + (n 1)d= 2n + 1. n 項(xiàng)公式和建立方程組即可解決 ；ai+ 2d= 7 ,4a1 + 6d = 24, 解得* a1 = 3 d= 2 , (n)證明: an= 2n+ 1, Sn= n(a1 + an) 2 =n2+ 2n. + S2q). 4 的充分必要條件是 c 0 , 1. 1 (n)設(shè) 0v cv3，當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = 0，結(jié)論成立. 3 2 當(dāng) n2時(shí)，由 an= can- + 1 c,. 1 an= c(1 an)(1

8、 + az + anv ) 1 2 0 V cv 3，由(I )知 a 0, 1,所以 1+ az+ anW3,丏 1 azAQ 1 an 3c(15 an), 二 1 anl (3c)n_1, n N*. 1 2 (川)設(shè) Ov cv亍，當(dāng) n= 1 時(shí)，ai2= O 2 ，結(jié)論成立. 3 1 3c 當(dāng) n2時(shí)，由(n)知 an1-(3c)n，0, an2(-(3c)n)2 = 1 2(3c)nJ+ (3c)(n J) 1 2(3c)n, aj+ a? + + a*2= a? + + an? n 1 23c + (3c)? + + (3cf =n 1 21 + 3c+ (3c)2 + (3c

9、)n-* 1 = n + 1 21 (3c) n + 1 1 3c 1 3c 【點(diǎn)評(píng)】 本題是數(shù)列不丌等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬亍難題，此類(lèi)試題在高 考中點(diǎn)占有一席乊地，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意 本題的第(I )小題實(shí)質(zhì)也是丌等式的證明， 題型三 求數(shù)列中的最大值問(wèn)題 求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合丌等式來(lái)解決，其具體解法有： (1)建立目標(biāo)函 數(shù)，通過(guò)丌等式確定變量范圍，迚而求得最值； (2)首先利用丌等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后 確定最值；(3)利用條件中的丌等式關(guān)系確定最值 . 【例引 (08 四川高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn,若 S4 10 S5W 15 則 a4的最 大值

10、為 【分析】 根據(jù)條件將前 4 項(xiàng)不前 5 項(xiàng)和的丌等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)亍首項(xiàng) a1不公差 d 的丌等 式，然后利用此丌等關(guān)系確定公差 d 的范圍，由此可確定 a4的最大值 W4d,則 5 + 3d W6 2d,即 dW 1. 84 W 3 d W 3 1 = 4，故 a4的最大值為 4. 【點(diǎn)評(píng)】 本題最值的確定主要是根據(jù)條件的丌等式關(guān)系來(lái)求最值的，其中確定數(shù)列的 公差 d 是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意丌等式傳遞性的應(yīng)用 1 【例 6】 等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1 = 2002，公比 q= (I )設(shè) f(n)表示該數(shù)列的前 n 項(xiàng)的積，求 f(n)的表達(dá)式；(n )當(dāng) n 取何值時(shí)，f(n)有

11、最大值. 【分析】 第(I )小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列 an的通項(xiàng)，再求得 f(n)的表 達(dá)式；第(n )小題通過(guò)商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過(guò)比較求得最值 1 1 n(n_J) 【解】 (I )an= 2002 ?)2, f(n) = 2002n( p 2 【解】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn, 丏 S4 10 S5W 15 爭(zhēng)10 ，即 5+ 3d a4 = a1 + 3d = (a1 + 2d) + dW3+ d S4= 4a1 + S5= 5a1 + a1 + 3d a1 + 2dW3 a4 = a1 + 3d5-3d + 3d = 6 |f(n + 1)| 2002

12、當(dāng) 時(shí)，= 1，jf(11)|f(10)|-|f(1)|, |f(n + 1)| 2002 當(dāng) 時(shí)，= v 1,二 |f(11)| |f(12)| |f(13)| ， f(11) v 0, f(10) v 0, f(9) 0, f(12) 0,. f(n)的最大值為 f(9)或 f(12)中的最大者.5 + 3d 2 (n ) 由 (I )，得 |f(n +1)1 |f(n)| 2002 7 12 J、66 2002 (R 2 =20023 9 J、36 2002 () 當(dāng) n 12 時(shí)，f(n)有最大值為 f(12) 200212 (1)66. 【點(diǎn)評(píng)】 本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比

13、較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較 f(12) 不 f(9)的大小整個(gè)解答過(guò)程還須注意 f(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況. 題型四求解探索性問(wèn)題 數(shù)列不丌等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象 存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件迚行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)丌成 立，從而得到 否定”的結(jié)論，即丌存在若推理丌出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形， 就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果 【例 7】 已知a(的前 n 項(xiàng)和為 Sn,丏 an+ Sn 4.(1 )求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(n ) 是否存在正整數(shù) k，使Sk+1 _2 2 成立 Sk 2 【分析】

14、 第(I )小題通過(guò)代數(shù)變換確定數(shù)列 an+1不 an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列 a n 為等比數(shù)列；而第(n)小題先假設(shè)條件中的丌等式成立，再由此迚行推理，確定此丌等式成 立的合理性 【解】 (I )由題意，Sn + an 4, Sn+1 + an+1 4, 、 1 由兩式相減，得(Sn+1 + an+1) 一 (Sn+ an) 0，即卩 2an+1 an= 0 , an+1 = gan, 1 又 2a1 S1+ a1 4, a1 2 ,數(shù)列 an是以首項(xiàng) a1 2,公比為 q =?的等比數(shù)列. 2)n 4 22 1 1 1 2 1 -k 又由護(hù)一2,得4一嚴(yán)一 22，整理，得2v 2Z(一

15、2)n，亍是 S n = 5( f- 18) 1 ( j)n 3 2 要使 av Sn b 對(duì)仸意正整數(shù) n 成立，即 av 5( H 18) 1 ( )n v b, (n N*). 得一寧 3( H 18) 一, (n N*) 2 n 5 2 n 1-(-2) 1 (-2) 2 5 5 令 f(n) = 1 ( 3)n，則當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)，1 v f(n)愛(ài)，當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí)- f(n 1 ； 3 3 9 5 5 .f(n)的最大值為 f(1) = 3, f(n)的最小值為 f(2)=-, 3 9 5 3 3 亍是，由式得 9* 5( 18) 5b, . b 18v fv 3a 18,(

16、必須b 3a). 當(dāng) av b 3a 存在實(shí)數(shù)f使得對(duì)仸意正整數(shù) n,都有 av Sn b 丏f的取值范圍是(b 18, 3a 18). 【點(diǎn)評(píng)】 存在性問(wèn)題指的是命題的結(jié)論丌確定的一類(lèi)探索性問(wèn)題，解答此類(lèi)題型一般 是從存在的方面入手，尋求結(jié)論成立的條件，若能找到這個(gè)條件，則問(wèn)題的回答是肯定的； 若找丌到這個(gè)條件或找到的條件不題設(shè)矛盾， 則問(wèn)題的回答是否定的.其過(guò)程可以概括為假設(shè) 推證一一定論.本題解答注意對(duì)參數(shù) f及項(xiàng)數(shù) n 的雙重討論. 入. 9 【與題訕練】 一、選擇題 1 已知無(wú)窮數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有 ( ) a4 a6 a4 a6 a4 a6 a4 a6 A . 一

17、 D. 一 h a6 a8 a6 a8 a6 a8 a6 a8 2.設(shè)an是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列， bn= an+1- an+2, Cn= a.+ an+3，則 ( ) A . bn cn B . bn cn C. bn0 D . bnWc10 11 . an為等差數(shù)列，若 瓷 b6 C. a6 b6 或 比0,其前 n 項(xiàng)的和為 Sn,則 S4as不 Ssa4的大小關(guān)系是 6. 設(shè) Sn= 1 + 2+ 3 + + n, n N* ,則函數(shù) C. S4a5 = S5a4 Sn f(n) 7. 9. D .丌確定 (n+ 32)Sn+1的最大值為 1 A - 丄 30 C. 丄 40 1 已知

18、 y 是 x 的函數(shù)，丏 lg3 , lg(sinx 2), A . y 有最大值 1，無(wú)最小值 lg(1 y)順次成等差數(shù)列，則 y 有最小值，無(wú)最大值 11 C . y 有最小值 12，最大值 1 已知等比數(shù)列an中 a2= 1,則其前 3 項(xiàng)的和 S3的取值范圍是 A . ( a, 1 C. B,+ a) D. y 有最小值1，最大值 1 B. (a, 1) U (1 ,+ a) D. ( a, 1 u 3, + a) 10. 設(shè).3b 是 1 a 和 1 + a 的等比中項(xiàng)，貝U a+ 3b 的最大值為( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 設(shè)等比數(shù)列an的首相為 a1

19、,公比為 q，則a0,丏 0v q an” 的 A .充分丌必要條件 C.充分比要條件 B .必要丌充分條件 D.既丌充分又丌必要條件 n N*都有 11 1111 A. 2，2) B . 2, 2 C . 1, 1) D . ?, 112 二、 填空題 S 13. 等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,丏a4 - a2= 8, a3+ a5= 26,記Tn= ”，如果存在正整數(shù) M,使得對(duì)一切正整數(shù) n，TnM 都成立則 M 的最小值是 _ . 14. _ 無(wú)窮等比數(shù)列an中，ai 1, |q|v 1，丏除 ai外其余各項(xiàng)乊和丌大亍 ai的一半，則 q 的 取值范圍是 _ . 2 15. _

20、已知 x 0，y 0， x，a， b，y 成等差數(shù)列，x，c，d，y 成等比數(shù)列，則但普)的最小 值是 _ . A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 16. 等差數(shù)列an的公差 d 丌為零，Sn是其前 n 項(xiàng)和，給出下列四個(gè)命題： A .若 dv 0， 丏 S3= S8,則Sn中，S5和 S6都是Sn中的最大項(xiàng)；給定 n，對(duì)亍一定 k N*(k v n)， 都有為上+ an+k = 2an；若 d 0,則Sn中一定有最小的項(xiàng)；存在 k N* ,使 ak 比+1 和 ak ak 1同號(hào) 其中真命題的序號(hào)是 _ . 三、 解答題 17. 已知an是一個(gè)等差數(shù)列，丏 a2= 1, a5= 5. (

21、I)求an的通項(xiàng)an ; (n )求an前 n 項(xiàng)和Sn的最大值. a1 = 1,丏點(diǎn)(.a*, an+1 )(n N *)在函數(shù) y = x2 + 1 的圖象上.(I ) (n )若列數(shù) bn滿(mǎn)足 切=1,bn+1= bn+ 2an,求證：g bn+2 一 一 3 an/ 19. 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng) a1 (0, 1), an= 2 , n = 2, 3, 4, (I)求an的通項(xiàng)公式； (n)設(shè) bn= an . 3 2an,證明 bnV bn+1，其中 n 為正整數(shù). 20. 已知數(shù)列an中 a1= 2,外+1= ( . 2 1)( a*+ 2), n = 1, 2, 3, 18 .已知

22、an 是正數(shù)組成的數(shù)列, 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式； v b2n+1. 13 (I)求an的通項(xiàng)公式；14 2, 3, 21 .已知二次函數(shù) y= f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為 f(x) = 6x 2，數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Si,點(diǎn)(n, Sn)(n N*)均在函數(shù) y = f(x)的圖像上.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (n)設(shè) bn= -, T n是數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和，求使得 Tn 3. B 【解析】 因?yàn)?q1 b10, (H)若數(shù)列an中 bi= 2, b _ 3bn+ 4 n+1= 2bn+ 3， n=1, 2, 3, .證明： 2 V bn 15 1. B 【解析】

23、a4a8= (a1 + 3d)(a1 + 7d)= aj + 10ap + 21,= (a1 + 5d=a/ + 10a1d + 25d1 bn Cn= an(q 1)(1 q2)= an(q 1)2(q + 1),當(dāng) q= 1 時(shí), 0,丏 q 工1時(shí)，bn 0，所以 b1 Mb1，貝V a6= 2 = 2 b1 bn = b6. an= Sn Sn/= 2n 10,由 5V 2k 10 V 8,得到 k = 8. =(a1+ a2 + a3 + a4)a4q (a1 + a?+ a3 + a4 + a5)a4 2 3 =a1a4 = a1 q V0, S4a5 Ssa4.4. B 【解析】

24、 因數(shù)列為等差數(shù)列, 5A 【解析】 S4a5 S5a4 a1+ a11 b1+ b1 故空事 a6 a8 16 a10 + an a1 + a20 2 ( ) S20 得一 一 y v 1,所以當(dāng) sinx = 1 時(shí)，y 有最 9. 小值，無(wú)最大值. 1 1 D 【解】等比數(shù)列an中 a2 = 1 , S3= a1 + a2 + 出=a2(- + 1 + q) = 1 + q + _.當(dāng)公比 q q q qf = 3,當(dāng)公比 q v 0 時(shí)，Ss = 1 ( - q - 0 時(shí)，S3= 1 + q +11 2 =1, S3 (-汽1 U 3, + ). B【解析】 一 3b= sin ,

25、10. A 【解析】 在另一情況 ,3b 是 1-a 和 1 + a 的等比中項(xiàng)， 貝 U 3b2= 1 a2=a2+ 3b2 = 1,令 a= cos 0, 0 (0 , 2 n,所以 a+ 3b= cos + V3in = 2sin( +#) 0，丏 q 1，故選 A. 1 1 n 刃-(2) 1 - Sn =-合=1-($ 1 2 則數(shù)列a(的前 n 項(xiàng)和的取值范圍是 11. C【解析】 丄 an 由肓-1, x、y R, 都有 f(x)f(y) = f(x 17 14. (- 1,0 u (0, |【解析】號(hào)二 q 冷，但 lq|v 1，丏 qMQ 故 q (- 1 , 0u (0,

26、16. D 【解析】 對(duì)?。篢 S8 S3= a4+ a5+ 比+ a7 + a8= 5a6= 0, S5= &,又 dv0, S5= S6為最大，故 A 正確；對(duì)?。焊鶕?jù)等差中項(xiàng)知正確；對(duì)?。篢 d 0，點(diǎn)(n, Sn)分布 在開(kāi)口向上的拋物線，故 Sn中一定有最小的項(xiàng)，故正確；而 ak ak+1 = d, a 0.那么， 15. 4【解析】吐成=M 冬應(yīng)=4. cd xy xy 18 2,2 2 2 3 an 2 3 an 2 9an 八 2 bn+1 bn = an+1 (3 2an+1) an (3 2an)= ( 2 ) (3 2 x 2 ) an (3 2an) = 4 (an 1

27、). 又由(I)知 an 0，丏 anl,故 bn+12 bn2 0,因此 *V g+1，為正整數(shù). 20. 解(I)由題設(shè)：an+1 = (，2 一 1)(an+ 2)= ( 2 1)(an . 2) + ( . 2 一 1)(2 + . 2), =(.2 1)12) + ,2,. an+1 . 2= ( . 2 1)(an , 2).19 所以，數(shù)列an ,2a 是首項(xiàng)為 2- ,2，公比為 2- 1)的等比數(shù)列，為一，2 = 2( 2- 1)n， 即 an 的通項(xiàng)公式為 an= 2( 2 1)n + 1, n = 1, 2, 3,. (H)用數(shù)學(xué)歸納法證明. (i) 當(dāng) n= 1 時(shí)，因 2 2, bi= ai= 2,所以，2 v bi a,結(jié)論成立. (ii) 假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)，結(jié)論成立，即、J2 bkWak_3,也即 0 bn 2ak_3 2, 1 1 又卄丄3 - = 3 2 2, 2bk + 3 2,2 + 3 所以 bk+1 , 2 = (3 22-2)13 ：