空間向量坐標(biāo)表示和運(yùn)算(第三課時)課件

1、3.1.4 3.1.4 空間向量的正交空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示分解及其坐標(biāo)表示。，使，實(shí)數(shù)對共面的充要條件是存在與向量不共線，則向量如果兩個向量byaxpyx,p,baba共線向量定理共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 。有向量的一組基底。）叫做表示這一平面內(nèi)所、（。，使，一對實(shí)數(shù)，有且只有任一向量那么對于這一平面內(nèi)的共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoaijaxiy j(1,0),

2、(0,1),0(0,0).ij探究：探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，你能得出類似的，你能得出類似的 結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。空間向量基本定理：空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 空間向量基本定理空間向量基本定理 如果三個向量如果三個向量a、b、c不共面

3、不共面，那么對空間任一向量那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使使p=xa +yb+zc 定理定理其中其中a，b，c叫做空間的一個基底叫做空間的一個基底.（不共面且非零不共面且非零）（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示：特別提示：對于基底對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面，不共面， 還應(yīng)明確：還應(yīng)明確： （2） 由于可視由于可視 為與任意一個非零向量共線，與任為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著意兩個非零向量共面，所以

4、三個向量不共面，就隱含著它們都不是它們都不是 。00（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念。底中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念。推論：推論：設(shè)設(shè)O、A、B、C是不共線的四點(diǎn)，則對空間任一是不共線的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使，使 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時，時，P、A、B、C四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。.OPxOAyOBzOC （1）如何在劇院中尋找自己的座位？(2) 如何確定住戶在小區(qū)中的位置？一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系一般地：在空

5、間取定一點(diǎn)在空間取定一點(diǎn)O從從O出發(fā)引三條出發(fā)引三條兩兩兩兩垂直的射線垂直的射線選定某個長度作為單位長度選定某個長度作為單位長度(原點(diǎn)原點(diǎn))(坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸)Oxyz111右手系XYZxyoz坐標(biāo)軸 原點(diǎn)由坐標(biāo)軸確定的平面叫作坐標(biāo)平面。x，y軸確定的平面記作xOy平面y，z軸確定的平面記作yOz平面x，z軸確定的平面記作xOz平面 在空間直角坐標(biāo)系中，xOy平面把空間分為三個部分：xOy平面、z軸的正半軸所在部分，z軸的負(fù)半軸所在部分.同樣，xOz平面、yOz平面也把空間分別分為三個部分zx面面xy面面yz面面zxyO空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限2、空間直角坐標(biāo)系的劃分P

6、1P2P3yxz11Pxyzo13、空間中點(diǎn)的坐標(biāo)對于空間任意一點(diǎn)P，要求它的坐標(biāo)方法一：過過P P點(diǎn)分別做三個平面垂直于點(diǎn)分別做三個平面垂直于x,y,zx,y,z軸，平面與三個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為軸，平面與三個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為P P1 1、P P2 2、P P3 3，在其相應(yīng)軸上的坐標(biāo)依次為，在其相應(yīng)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,zx,y,z，那么，那么(x,y,z)(x,y,z)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)P P的空間直角的空間直角坐標(biāo)，簡稱為坐標(biāo)，記作坐標(biāo)，簡稱為坐標(biāo)，記作P(x,y,z)P(x,y,z)，三個，三個數(shù)值叫做數(shù)值叫做P P點(diǎn)的點(diǎn)的x x坐標(biāo)坐標(biāo),y,y坐標(biāo)坐標(biāo),z,z坐標(biāo)。坐標(biāo)。P P點(diǎn)坐

7、標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y,z)xyzo111PP0 xyz方法二方法二：過過P P點(diǎn)作點(diǎn)作xyxy面的垂線，垂足為面的垂線，垂足為P P0 0點(diǎn)。點(diǎn)。點(diǎn)點(diǎn)P P0 0在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系xOyxOy中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)x x、y y依次是依次是P P點(diǎn)的點(diǎn)的x x坐坐標(biāo)、標(biāo)、y y坐標(biāo)。再過坐標(biāo)。再過P P點(diǎn)作點(diǎn)作z z軸的垂線，垂足軸的垂線，垂足P P1 1在在z z軸上的坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)z z就是就是P P點(diǎn)的點(diǎn)的z z坐標(biāo)坐標(biāo)。P P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y,z)P1：在建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間在建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中任何一點(diǎn)中任何一點(diǎn)P P就與有序?qū)崝?shù)組就與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)(

8、x,y,z)建立了建立了一一對應(yīng)一一對應(yīng)關(guān)系，關(guān)系，(x,y,z)(x,y,z)就叫做就叫做P P的空間直角坐的空間直角坐標(biāo)，簡稱為標(biāo)，簡稱為坐標(biāo)坐標(biāo)，記作，記作P(x,y,z)P(x,y,z)。三個數(shù)值。三個數(shù)值x x、y y、z z分別叫做分別叫做P P點(diǎn)的點(diǎn)的x x坐標(biāo)坐標(biāo)、y y坐標(biāo)坐標(biāo)、z z坐標(biāo)坐標(biāo)。小提示：坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸上的點(diǎn)至少有兩個上的點(diǎn)至少有兩個坐標(biāo)等于坐標(biāo)等于0；坐標(biāo)面；坐標(biāo)面上的點(diǎn)至少有一個上的點(diǎn)至少有一個坐標(biāo)等于坐標(biāo)等于0。點(diǎn)P的位置原點(diǎn)OX軸上AY軸上BZ軸上C坐標(biāo)形式點(diǎn)P的位置X Y面內(nèi)DY Z面內(nèi)EZ X面內(nèi)F坐標(biāo)形式Oxyz111ADCBEF(0,0,0)(x,

9、0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)4、特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)P所在卦限坐標(biāo)符號點(diǎn)P所在卦限坐標(biāo)符號(+,+,+)5、點(diǎn)P在各卦限中x、y、z坐標(biāo)的符號(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)卦限圖卦限圖卦限圖平面直角坐標(biāo)yxOz111ABCDEF1、在空間直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)，并說、在空間直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)，并說明這些點(diǎn)的位置明這些點(diǎn)的位置A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）A1(1,4,0)A(1,4,1)(2,-2

10、,0) B1 B(2,-2,-1)xOyz111(-1,-3,0) C1(-1,-3,3) C2、在空間直角坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)、在空間直角坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)(1)、A（1,4,1）； (2)、B（2,-2,-1）；(3)、C（-1,-3,3）；.,243四四點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)，寫寫出出，中中，在在長長方方體體BACDDOOCOACBADOABC CDBACOABzyx例例1：如圖：如圖例例2：在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)：在空間直角坐標(biāo)系中標(biāo)出下列各點(diǎn)： A（0，2，4）B（1，0，5） C（0，2，0）D（1，3，4）結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽

11、晶胞示意圖（可看成是八個棱長為鹽晶胞示意圖（可看成是八個棱長為1/2的小正方體堆積成的正方體），其中紅的小正方體堆積成的正方體），其中紅色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子，如色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子，如圖：建立空間直角圖：建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系 后，后，試寫出全部鈉原子試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)。所在位置的坐標(biāo)。xyzO 例例3：yzx練習(xí)練習(xí)1：點(diǎn)點(diǎn)M(x,y,z)是空間直角坐標(biāo)系是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點(diǎn)，寫出滿足中的一點(diǎn)，寫出滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo)(1)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)軸對稱的點(diǎn)(2)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)軸對稱的點(diǎn)(3)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)

12、于關(guān)于z軸對稱的點(diǎn)軸對稱的點(diǎn)(4)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)(5)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于關(guān)于xOy平面對稱的點(diǎn)平面對稱的點(diǎn)(6)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于關(guān)于xOz平面對稱的點(diǎn)平面對稱的點(diǎn)(7)與點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)平面對稱的點(diǎn)(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)關(guān)于誰對稱誰不變，其余都相關(guān)于誰對稱誰不變，其余都相反反練習(xí)練習(xí)2 正四棱錐正四棱錐P-ABCD的底面邊長為的底面邊長為4,側(cè)棱長為側(cè)棱長為10，建立恰當(dāng)?shù)目臻g，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系(1)寫出正四棱錐寫出正四棱錐P-ABCD各

13、頂點(diǎn)坐標(biāo)各頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)寫出棱寫出棱PB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)OABCDPxyz在空間直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)，并指出各點(diǎn)所在的位置：A（0,3,1）, B（0,0,5）, C（0,3,0）在空間直角坐標(biāo)系中作出下列各點(diǎn)：(1)、（ -1,-4,1 ）；(2)、 （ -3,3,4 ）；空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系的建立(三步)2、空間直角坐標(biāo)系的劃分(八個卦限)3、空間中點(diǎn)的坐標(biāo)(一一對應(yīng))4、特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)(表格)5、點(diǎn)P在各卦限中x、y、z坐標(biāo)的符號(表格)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示, 則則設(shè)設(shè)123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /

14、ab ab 112233(,)ab ab ab 112233(,)ab ab ab 123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b 112233,()ab ab abR 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 則則AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空間一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個空間一個向量在直角坐

15、標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). .二、距離與夾角的坐標(biāo)表示二、距離與夾角的坐標(biāo)表示1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。角線的長度。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點(diǎn)

16、間的距離公式）空間兩點(diǎn)間的距離公式2.2.兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時，同向；時，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時，反向；時，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a babF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例1如圖如圖, 在正方體中，在正方體中，求與所成的角的余弦值，求

17、與所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBEDFBEDF 證明證明: 設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為1,1,.DAi DCj DDk 建立如圖的空間直角坐標(biāo)系建立如圖的空間直角坐標(biāo)系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 則則11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)