不等式的性質(zhì)與不等式證明

1、精選ppt精選ppt1不等式的定義：不等式的定義： 若若 baba 0baba 0baba 0；2不等式的性質(zhì)：不等式的性質(zhì)： 推論：若推論：若ab，且，且cd，則，則a+cb+d（同向，可加性）（同向，可加性）（1） （對(duì)稱性）（對(duì)稱性）abba （2） （傳遞性）（傳遞性）cacbba ,（3） （加法不變性）（加法不變性）cbcaba 精選ppt（4） ；bcaccba 0,bcaccba 0,（乘法單調(diào)性）（乘法單調(diào)性）3不等式的證明的方法：不等式的證明的方法：比較法、綜合分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等比較法、綜合分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等推論推論1：若：若ab0，且，且cd0，則，則

2、acbd 推論推論2：若：若ab0，則，則 （ ，且，且 n1） 推論推論3：若：若ab0，則，則 （ ，且，且 n1） NnnN nnab nnab 精選ppt1理解不等式的性質(zhì)，能夠?qū)π再|(zhì)進(jìn)行證明理解不等式的性質(zhì)，能夠?qū)π再|(zhì)進(jìn)行證明4能根據(jù)不等式的性質(zhì)判定一些命題或已知不等式的正確能根據(jù)不等式的性質(zhì)判定一些命題或已知不等式的正確 錯(cuò)誤，能正確使用特殊值法，判斷不等式的正誤錯(cuò)誤，能正確使用特殊值法，判斷不等式的正誤 3掌握證明不等式的幾種基本方法，會(huì)證明一些簡(jiǎn)單的不掌握證明不等式的幾種基本方法，會(huì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式等式2掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)

3、）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它 們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用精選ppt如果如果a、b、c滿足滿足cba且且ac0，那么下列選項(xiàng)，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（中不一定成立的是（ ） 1（04北京）北京）Dac(ac)0Bc(ba)0AabacC22cacb 精選pptc(ba)0正確正確 分析：分析：ac0說明說明a、c異號(hào)，又異號(hào)，又cba a0，c0Abc，a0 abac正確正確Bc0，ba0D中中ac0，ac0 ac(ac) 0正確，只有正確，只有C中中ba，由于，由于b未說明是否大于零未說明是否大于零 不一定成立不一定成立c0，22ab 則則 也

4、不一定成立也不一定成立22cacb 選（選（C） 精選ppt設(shè)設(shè)a0，b0，則下列不等式中不恒成立的是（，則下列不等式中不恒成立的是（ ） 2（04湖南）湖南）2332abba Bbaba22222 Cba|ba| D411)( babaA精選ppta0，b0分析：分析：abba2 abba1211 ， （A）成立）成立 則則412211)( ababbaba又又 aa212 bb212 ，baba22222 （C）成立）成立精選ppt又又 時(shí)，時(shí)， ， ，ba ba baba )(兩邊平方得兩邊平方得 顯然成立顯然成立bab （D）成立）成立在（在（B）中，）中， 0)(0222323 ba

5、babaabbaba若若ab，則，則ab0 應(yīng)恒成立應(yīng)恒成立 022 baba但從上式看出，但從上式看出，a與與b之間尚有制約性之間尚有制約性 選（選（B） 精選ppt3（04湖北）湖北）A1loggl aboba若若 ，則下列不等式中不正確的是（，則下列不等式中不正確的是（ ） ba111 ababbabaloglogloglog D1)l (2 aogbC2logl abogbaB精選ppt分析：分析：ba111 0ba1 ， A，B顯然成立顯然成立 0log, 0l abogbaba1， ，則成立，則成立 )1 , 0(l aogb若令若令 21,41 ab檢驗(yàn)，檢驗(yàn)，D不成立不成立選（

6、選（D） 精選ppt若若 ab0，則下列結(jié)論中正確的命題是（，則下列結(jié)論中正確的命題是（ ） 4（99上海）上海）A 和和 均不能成立均不能成立b1a1 ba11 B 和和 均不能成立均不能成立bba11 ba11 C 和和 均不能成立均不能成立aba11 22)1()1(abba D 和和 均不能成立均不能成立 ba11 22)1()1(abba 精選ppt分析：分析：ab0 b1a10 ，各，各A、B、D中的中的 不能成立不能成立ba11 ba11 又又b0，b0aba 又又ab0， aba11 （C）中）中 不成立不成立 aba11 精選ppt又又ab0，011 ab011 abba則則

7、 成立成立 22)1()1(abba 對(duì)于對(duì)于 若成立，則若成立，則abb0 bba11 a2b0這個(gè)結(jié)論不一定成立，這個(gè)結(jié)論不一定成立，因此，只有（因此，只有（B）中兩個(gè)結(jié)論均不成立）中兩個(gè)結(jié)論均不成立 選（選（B） 精選ppt設(shè)設(shè) a，b為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則 ab0 是是 （）（） 5（01上海春）上海春）A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件D不充分也不必要條件不充分也不必要條件C22ab 22ab 精選ppt分析：分析：有條件有條件ab0，可推出，可推出 ， 22ba 但從但從 不一定能推出不一定能推出ab0，只能是，只能是 22ba ba 條件

8、條件ab0只能定只能定 的充分不必要條件的充分不必要條件 22ba 選（選（A）精選ppt1注意不等式的性質(zhì)中左側(cè)表示實(shí)數(shù)的運(yùn)算注意不等式的性質(zhì)中左側(cè)表示實(shí)數(shù)的運(yùn)算 性質(zhì)，右式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，合性質(zhì)，右式反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，合 起來即為實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的起來即為實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的 關(guān)系這是不等式一章的理論基礎(chǔ)，是不關(guān)系這是不等式一章的理論基礎(chǔ)，是不等等 式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的式性質(zhì)的證明，證明不等式和解不等式的主主 要依據(jù)要依據(jù)2比較兩個(gè)實(shí)數(shù)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與與b的大小，歸結(jié)為判斷它的大小，歸結(jié)為判斷它 們的差們的差ab的符號(hào)，這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù)的符

9、號(hào)，這又必然歸結(jié)到實(shí)數(shù) 運(yùn)算的符號(hào)法則因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)運(yùn)算的符號(hào)法則因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào) 法則是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)法則是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)精選ppt3復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要注意將不等式復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要注意將不等式 的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類比注意它們之的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類比注意它們之 間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在與數(shù)相乘（除）間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在與數(shù)相乘（除） 時(shí)，不等式兩邊所乘（除）的數(shù)的符號(hào)時(shí)，不等式兩邊所乘（除）的數(shù)的符號(hào) 不同，結(jié)論是不同的不同，結(jié)論是不同的4在均值不等式的復(fù)習(xí)中，在均值不等式的復(fù)習(xí)中， 與與 成立的條件是不同的前成立的條件是不同的前 者只要求者只要求a，b為實(shí)數(shù)，而后者要求為

10、實(shí)數(shù)，而后者要求a，b 為正數(shù)，這兩個(gè)公式都是帶有符號(hào)的不為正數(shù)，這兩個(gè)公式都是帶有符號(hào)的不 等式因此對(duì)其中等式因此對(duì)其中“當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取時(shí)取 號(hào)號(hào)”這句話的含義要搞清楚這句話的含義要搞清楚 abba222 abba 2精選ppt5能利用能利用“均值不等式均值不等式”證明的不等式，證明的不等式，用用 其它證明方法一樣可證因此，均值不其它證明方法一樣可證因此，均值不 等式就是利用這些方法證明的，要利用等式就是利用這些方法證明的，要利用 均值不等式求函數(shù)的極值時(shí)，一定要注均值不等式求函數(shù)的極值時(shí)，一定要注 意不等式使用的條件及等號(hào)能否成立，意不等式使用的條件及等號(hào)能否成立， 不可亂用不可亂用

11、6不等式證明的方法很多，要注意恰當(dāng)選不等式證明的方法很多，要注意恰當(dāng)選 擇方法，可使證明簡(jiǎn)化擇方法，可使證明簡(jiǎn)化精選ppt例例1已知已知aDaCaBaAa 11,11,1,1, 02122比較比較A、B、C、D的大小的大小 分析：分析： 本題考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，如果兩個(gè)兩個(gè)相比較，需本題考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，如果兩個(gè)兩個(gè)相比較，需比較比較 次，運(yùn)算量比較大由于給定次，運(yùn)算量比較大由于給定，所以可令，所以可令 采用特殊值辦法，先猜出大小，采用特殊值辦法，先猜出大小，再證再證 624 C021 a41 a精選ppt解：解： ，令令 021 a41 a由此知由此知 54,34,1615,1617 DC

12、BA可猜測(cè)可猜測(cè)CABD a143)21a(aa11aaa)a1(a11AC222 0, 01 aa043)21(2 aCA精選ppt02)1()1(222 aaaBA ABa145)21a(aa1)1aa(aa11a1DB222 021 a01 a BD045)2121(45)21(22 a綜上：綜上：CABD 精選ppt 本題我們采用了賦值法（特本題我們采用了賦值法（特殊值法），先行猜想，使問題得殊值法），先行猜想，使問題得以簡(jiǎn)化、明朗注意賦值法是解以簡(jiǎn)化、明朗注意賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法，選擇題、開放題等常用的方法，它可將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，是我們它可將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，是我們常用

13、的數(shù)學(xué)思想常用的數(shù)學(xué)思想 精選ppt例例2設(shè)設(shè) ，且，且 ，試比較，試比較 與與 的大小的大小 0, 0 baba babaabba分析：分析： 比較兩個(gè)數(shù)的大小，可用比較兩個(gè)數(shù)的大小，可用“作差比較法作差比較法”、“作商比較作商比較法法”前者依靠前者依靠 AB 與與 0 的關(guān)系判斷的關(guān)系判斷 A，B 大小，而后者則靠大小，而后者則靠 （b0）與）與 1 的關(guān)系來確定的關(guān)系來確定 a，b大小，前者適用于多項(xiàng)式型，大小，前者適用于多項(xiàng)式型，后者適合指數(shù)型或?qū)?shù)性此題適合用作商比較，利用同底數(shù)后者適合指數(shù)型或?qū)?shù)性此題適合用作商比較，利用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則冪的運(yùn)算法則 ba精選ppt解：解： ba

14、abbaabbababababa 當(dāng)當(dāng) ab0 時(shí)，時(shí)， ，ab0，1 ba所以所以 abbababa 1baba 則則 ，精選ppt當(dāng)當(dāng) ba0時(shí)，時(shí)， ，ab0，10 ba abbababa 綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù) a、b 都有都有 abbababa 1baba 則仍有則仍有 ， 精選ppt 使用作商比較時(shí)，一定要注使用作商比較時(shí)，一定要注意意a0、b0，解題的關(guān)鍵在，解題的關(guān)鍵在于變形的第二步，得于變形的第二步，得出出 注意討論注意討論ab，還是，還是ba，一，一般說來，變形越徹底越有利于下般說來，變形越徹底越有利于下一步的判斷一步的判斷 baba 精選pp

15、t例例3解答下列各題：解答下列各題： 1已知：已知： ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值 45 x54124 xxy2已知：已知： ，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 0, 0 yx191 yxyx 3已知：已知：a、b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的 最小值最小值 22)()(bxaxy 精選ppt1已知：已知： ，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值 45 x54124 xxy分析：分析：因?yàn)橐驗(yàn)?，所以首先要調(diào)整符號(hào)，又因?yàn)?，所以首先要調(diào)整符號(hào)，又因?yàn)椴皇浅?shù)，所以對(duì)不是常數(shù)，所以對(duì) 要重新要重新“配湊配湊”054 x541)24( xx24 x精選ppt解：解：45 x054 x04

16、5 x 54124 xxy1323)45145( xx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 1)45( ,451452 xxx145 x精選ppt1, 44 , 145 xxx23, 64 , 145 xxx（不滿足（不滿足 條件）條件） 454 xx =1 時(shí)，時(shí)，y 有最大值有最大值 1 精選ppt2已知：已知： ，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 0, 0 yx191 yxyx 分析：分析： 本題的困難在于如何使用條件本題的困難在于如何使用條件 ，如果從中解出，如果從中解出x或或y，再代入，再代入xy轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題顯然是比較復(fù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題顯然是比較復(fù)雜的，這時(shí)我們可以考慮整體使用條件

17、雜的，這時(shí)我們可以考慮整體使用條件 191 yx精選ppt解法一：解法一： 0y, 0 x 191 yx 16106 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，且，且 yxxy9 191 yx即即 x = 4，y = 12 故故 x = 4，y = 12 時(shí)時(shí) 16/ )yx(min 10yx9xy210yx9xy 19() ()xyxyxy 精選ppt解法二：解法二：由由 ，得，得 （定值）（定值） 191 yx9)9)(1( yx又知又知 x1，y9，即即 x = 4，y = 12 時(shí)，時(shí)， 16/ )yx(min 所以當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)且僅當(dāng) x1y93 時(shí)，時(shí)， 精選ppt3已知：已知：a、b為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的

18、為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)的 最小值最小值 22)()(bxaxy 分析：分析： 從函數(shù)的解析式的特點(diǎn)看，本題可以展開解為從函數(shù)的解析式的特點(diǎn)看，本題可以展開解為關(guān)于關(guān)于x的二次函數(shù)，再通過配方求其最小值但若能的二次函數(shù)，再通過配方求其最小值但若能注意到（注意到（xa）（）（bx）為定值，利用變形不等）為定值，利用變形不等式式 即可使本題得解即可使本題得解 222)2(2nmnm 精選ppt解：解： 22)bx()ax(y 222)2xbax()xb()ax( 當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，時(shí)， xbax 2bax 2min()2aby 2()2ab 精選ppt 從以上三個(gè)小題，可知從以上三個(gè)小題，可知“均值均值

19、不等式不等式”的使用，注意了的使用，注意了“和和”“”“積積”的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了“放放縮縮”目的解題時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)應(yīng)用均值目的解題時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號(hào)能夠成立另外的成因在于使等號(hào)能夠成立另外還要注意還要注意“和定積最大，積定和最和定積最大，積定和最小小” 精選pptbnam1 nmba例例4已知已知a、b、m、n均為正數(shù)，且均為正數(shù)，且 ，比較，比較與與 的大小的大小nbma 比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小，注意利用不等式的性質(zhì)，比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小，注意利用不等式

20、的性質(zhì)，靈活應(yīng)用已知條件，本題可采用作差比較法靈活應(yīng)用已知條件，本題可采用作差比較法 分析：分析：精選ppt解：解： )nb(bn)ma(bn)nb(amnbmabnam )nb(bnbmnabnamnabm )()()(nbbnbamnnmab ，且，且a、b、m、n均正均正 1, 1 nmbaab，mn 精選ppt即即 0nm, 0ba 故上式分子中故上式分子中 0)(, 0)( nmabbamn 分子分子0，分母，分母00 nbmabnam則則即即 nbmabnam 精選ppt 現(xiàn)在試題中現(xiàn)在試題中“不等式證明不等式證明”很很少，改為在一定條件下比大小，其少，改為在一定條件下比大小，其解

21、題方法仍同于不等式的證明（只解題方法仍同于不等式的證明（只不過未確定大小）特別注意作差不過未確定大?。┨貏e注意作差比較法中，代數(shù)式的恒等變形分比較法中，代數(shù)式的恒等變形分解因式，乘法公式的運(yùn)用解因式，乘法公式的運(yùn)用 精選ppt例例5設(shè)設(shè)p0，q0 且且 ，則，則pq2 233 qp分析：分析：欲證欲證pq2，可從其反面入手，證明，可從其反面入手，證明pq2是不可能的是不可能的 證：證：設(shè)設(shè)pq2，由，由 33332)(3)( qppqqpqp ， 6)(3 qppq2)( qppq而而 )(22233qpqpqpqp 精選ppt pq2 22qpqppq 即即 0)(2 qp 是不可能的，是不

22、可能的， 0)(2 qppq2也是不可能的，也是不可能的，2 qp則則 解后思考：解后思考：在證明不等式或比大小時(shí)，可以直接證明，也在證明不等式或比大小時(shí)，可以直接證明，也 可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一可以利用間接證明的方法，如反證法，從另一 個(gè)角度考慮，證明有時(shí)可以取得更佳的效果個(gè)角度考慮，證明有時(shí)可以取得更佳的效果 精選ppt例例 6設(shè)設(shè)abc1， ，且，且abc，1222 cba031 c求證：求證： 根據(jù)根據(jù) a、b、c 滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求滿足的條件，聯(lián)想到用方程的判別式求解，因?yàn)榻o了三個(gè)數(shù)的和，三個(gè)數(shù)平方的和，而要證的是解，因?yàn)榻o了三個(gè)數(shù)的和，三個(gè)數(shù)平方的

23、和，而要證的是其中一個(gè)數(shù)的取值范圍，所以可用方程思想求解，想到判其中一個(gè)數(shù)的取值范圍，所以可用方程思想求解，想到判別式別式分析：分析：精選ppt證明：證明：abc1 ab1c 22222211cbacba 平方，得平方，得 ccabba212222 代入代入得得 ccabc212122 ccab 2精選ppt從從ab1c， ，聯(lián)想到，聯(lián)想到a、b為方程為方程ccab 2的兩實(shí)根，又的兩實(shí)根，又abc 0)1(22 ccxcx 設(shè)設(shè) ，ccxcxxf 22)1()( 0)(210cfcc則則即即 0)1(2104)1(2222ccccccccc解出解出 031 c精選ppt 注意不等式與函數(shù)，方

24、程注意不等式與函數(shù)，方程之間的聯(lián)系，把不等式的證明之間的聯(lián)系，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為求一個(gè)字母 c 的取值范的取值范圍，使證明變得更加靈活圍，使證明變得更加靈活 精選ppt1下列命題正確的是（下列命題正確的是（ ）A若若babcac B若若baba 22C若若baba 11D若若 baba 精選ppt2已知已知 ，則，則10 babaaabb1log,log,關(guān)系是（關(guān)系是（ ） 的大小的大小Aaabbbaloglog1 Bbbaaab loglog1Cbababa 1loglogDabababloglog1 精選ppt3不等式不等式 與與 能同時(shí)成立的充要條件是（能同時(shí)成立的充要條件是（ ） ba ba11 A0 baBba 0C011 abD011 ba精選pptD正負(fù)不能確定正負(fù)不能確定C可能是可能是0B一定是負(fù)數(shù)一定是負(fù)數(shù)A一定是正數(shù)一