近世代數(shù)課件極大理想課件

1、近世代數(shù)課件極大理想9最大理想最大理想 9.1 定義及等價(jià)條件定義及等價(jià)條件 9.2 基本結(jié)論基本結(jié)論 9.3 進(jìn)一步的結(jié)論進(jìn)一步的結(jié)論近世代數(shù)課件極大理想9.1 定義及等價(jià)條件定義及等價(jià)條件 以下我們要認(rèn)識(shí)兩種由一個(gè)交換環(huán)來得到一個(gè)域的重要方法,第一種就是利用最大理想的方法(本節(jié)內(nèi)容),第二種方法是分式域(下節(jié)內(nèi)容)。一個(gè)基本的模型：/( ), is a prime,0pZZppZaQa bZ bb 定義定義 一個(gè)環(huán) 的一個(gè)不等于的理想 叫做一個(gè)最大理想,假如，除了 同 自己以外，沒有包含 的理想。RIRIA近世代數(shù)課件極大理想最大理想有下面一些等價(jià)表述:(1)一個(gè)環(huán) 的一個(gè)不等于的理想 叫

2、做一個(gè)最大理 想,如果存在理想 滿足: , 那么 或 .(2)一個(gè)環(huán) 的一個(gè)不等于的理想 叫做一個(gè)最大理 想,如果存在理想 滿足: , 那么 .(3)一個(gè)環(huán) 的一個(gè)不等于的理想 叫做一個(gè)最大理 想,如果存在理想 滿足: , 那么 .RIJIJRJIJRRIJIJRJRRIJIJRJI近世代數(shù)課件極大理想 例例1 我們看整數(shù)環(huán) 。我們說，由一個(gè)素?cái)?shù) 所生成的主理想 是一個(gè)最大理想。因?yàn)椋杭俣?是理想，并且: 那么 一定包含一個(gè)不能被 整除的整數(shù) 。由于 是素?cái)?shù)， 與 互素，所以我們可以找到整數(shù)s和t，使得 但 也屬于 ，而且 是理想，所以 Z Zp IpJIJ Z ZJpqpqp1sptqpJJ

3、1JJR ,=近世代數(shù)課件極大理想9.2 基本結(jié)論基本結(jié)論定理定理 假定 是一個(gè)有單位元交換環(huán)， 是R的一個(gè)理想。 是一個(gè)域是 一個(gè)最大理想的時(shí)候。RI/R II 證明證明 ( ) 設(shè) 是一個(gè)最大理想, 我們分兩步證明: (1) 至少有一個(gè)非零元. 那么 . 因此,在商環(huán) 中至少有一個(gè)非零元(?). I/R IIR/ R Ia aR近世代數(shù)課件極大理想 (2) 每一個(gè)非零元可逆. ,我們需要證明 可逆. .構(gòu)造一個(gè)理想 , 那么 (?) (?) 可逆. 是一個(gè)域. / , 0rR I r r 0rrI ( )JIr( )IJIrJRi1( )1(,)1 RIrasr aI sRs r r/R

4、I近世代數(shù)課件極大理想 設(shè) 是一個(gè)域, 理想 滿足: . 我們需要證明 . 取一個(gè) 那么 , 可逆(?). 于是, 存在 使得 證畢.()/R IJIJRJR,aJ aI 0a /bR I 111()1a bababIabi iIJJR 這樣，給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R，我們只要找得到R的一個(gè)最大理想 ，就可以得到一個(gè)域 。AR A 例例2 R是整數(shù)環(huán)， 是由素?cái)?shù) 所生成的主理想。那么由上面例1， 是一個(gè)域。這個(gè)結(jié)果我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)得到過。 pp Rp近世代數(shù)課件極大理想9.3 進(jìn)一步的結(jié)論進(jìn)一步的結(jié)論 給了一個(gè)環(huán)R，我們可以利用R的一個(gè)最大理想來得到一個(gè)商環(huán) ，使得 除了零理想同單位理想以為，

5、沒有其它的理想。RR 引理引理 1 假定 是環(huán)R的理想。剩余類環(huán) 只有零理想同單位理想,當(dāng)而且僅當(dāng) 是最大理想。IR/R II近世代數(shù)課件極大理想證明證明 我們用 來表示R到 的自然同態(tài)滿射。 /R I 充分性充分性. 已知 是最大理想. 設(shè) 是 的理想，并且 那么， 在 這下的逆象 是R的理想， 顯然包含 而且不等于 (?)，所以 =這樣， 只有零理想同單位理想。IJ/RR I0J JJJII,JRJRR近世代數(shù)課件極大理想 必要性必要性. 假定 不是最大的理想, 那么存在 是R的理想,并且： 那么, 在 這下的 的象 是 的理想。由于 ， , 也不會(huì)是 . 不然的話，對(duì)于R的任意元r，可以找到 的元b，使得 由于 是理想，可以得到 ，與假定不合。IJIJR刎JBJRIJ0J JRJRJ ,rbrbIJ JrJJR ,=近世代數(shù)課件極大理想 引理引理 2 若R是有單位元的、可交換的非平凡環(huán)。如果R只有零理想同單位理想，那么R一定是一個(gè)域。 證明證明 我們看R的任意 所生成的主理想 顯然不是零理想,于是由假定, 。因而R的單位 。但 的元都可以寫成 的形式,