物理競賽復(fù)賽模擬卷及答案

1、3.一個處于基態(tài)的氫原子與另一個靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問可能發(fā)生非彈性碰撞的 最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。問_27這種光的頻率與簡正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為1.67x10_kg,電離能E =13.6eV =2.18 1O_18J。172.在用質(zhì)子（1P）轟擊固定鋰（3山）靶的核反應(yīng)中， （1）計算放出a粒子的反應(yīng)能。 （2）如果質(zhì)子能量為 1 兆電子伏特，問在垂直質(zhì)子束的方向觀測到a粒子的能量有多大？有關(guān)原 子核的質(zhì)量如下：1H, 1.007825;2He, 4.002603;3Li, 7.015999.4.如圖 11-136 所示，光滑無

2、底圓筒重 W，內(nèi)放兩個重量均為 G 的光滑球，圓筒半徑 為 R,球半徑為 r,且 rR2r，試求圓筒發(fā)生傾倒的條件。圖 51-21圖 11-136物理競賽復(fù)賽模擬卷1.試證明：物體的相對論能量 E 與相對論動量 P 的量值之間有如下關(guān)系:2 2 2 2E p c Eo5.兩個完全相同的木板，長均為 L,重力均為 G 彼此以光滑鉸鏈 A 相連，并通過光滑 鉸鏈與豎直墻相連，如圖（甲）所示。為使兩木板達水平狀態(tài)保持平衡，問應(yīng)在何處施加外 力？所施加的最小外力為多大？7. 一平直的傳送帶以速度 v=2m/s 勻速運行，傳送帶把 A 點處的零件運送到 B 點處，A、 B兩點之間相距 L=10m，從 A

3、 點把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過時間 t=6s，能送到 B 點, 如果提高傳送帶的運動速率，零件能較快地傳送到B 點，要讓零件用最短的時間從 A 點傳送到 B 點處，說明并計算傳送帶的運動速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍， 則零件傳送時間為多少（g0m/s2）?6.如圖 11-505 所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無重桿絞接而成，各絞接點依次為1、29,其中絞接點& 2、5、7、9 位于同一水平直線上，且 9 可以無摩擦地水平滑動。各 絞接點間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點 3承受有豎直向下的 壓力 P/2,點 1承受有豎直向下的壓力 P,求絞接點

4、3和 4間桿的內(nèi)力（甲）（乙）aF4 20 日_纟AiF1G（丙）& 一物體以某一初速度 vo開始做勻減速直線運動直至停止，其總位移為 s,當其位移為2/3s 時，所用時間為 t1;當其速度為 1/3vo時，所用時間為 t2,則如 t2有什么樣的關(guān)系？圖12-31O圖 11-50512. （ 1）用折射率為 2 的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑分別為 a b 的空心球，b 遠大 于 a,內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)。問當一束平行光射向此球時被吸收掉的光束橫截面積 為多大？（注意：被吸收掉的光束的橫截面積，指的是原來光束的橫截面積，不考慮透明物 質(zhì)的吸收和外表面的反射。）圖 33-114 所示

5、是經(jīng)過球心的截面圖。（2）如果外半徑 b 趨于 a 時，第（1）問中的答案還能成立？為什么？10. 靜止的原子核衰變成質(zhì)量為 m1,m2,m3的三個裂片，它們的質(zhì)量損為 m。若三裂片 中每兩片之間速度方向的夾角都是 120,求每個裂片能量。11. 玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點都可以成為綠色光源。 已知玻璃對綠光的折射率為 n1,液體對綠光的折射率為 n2。當容器壁的內(nèi)、外半徑之比 r:R 為多少時，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？13. 真空中有一個半徑為 R 的均勻透明球， 今有兩束相距為 2d （dwR） 對稱地 （即兩光束 與

6、球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率 n 的取值范圍進行討 論（1） n 取何值時兩束光一定在球內(nèi)相交？（2） n 取何值時兩束光一定在球外相交？（3） 如果 n、d、R 均已給定，如何判斷此時兩束光的交點是在球內(nèi)還是在球外。9一根長為 1m 具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后, 把玻璃管提升起來并取出水面。問玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。1.試證明：物體的相對論能量 E 與相對論動量 P 的量值之間有如下關(guān)系:2 2 2 2Ep cE022 22 22證明：E - p c =：mc - m c2 22 2 22mC22二 m c c2c -1

7、2c2 4m0c/ 2 21-2 2c-v - c2 42二mc二EE2二p2c2E2讀者可試為之，從E2-Eo入手證明它等于 P2c2。172.在用質(zhì)子（1P）轟擊固定鋰（3山）靶的核反應(yīng)中，（1）計算放出a粒子的反應(yīng)能。（2） 如果質(zhì)子能量為 1 兆電子伏特，問在垂直質(zhì)子束的方向觀測到a粒子的能量有多大？有關(guān)原Q = (E2E3)-(E。EJ二(MoMJ-(M2M3)c2-(7.0 1 5 9 99.0 0 78 2-52 4.0 0 2 6 P 39 3 .15= 17.35(兆電子伏特)其中：1uC2= (1.66 10 千克)(2.997925 108米 /秒)214. 一點電荷+q

8、 和半徑為 a 的接地導(dǎo)體的球心相距為 h,求空間的電勢分布15.電荷 q 均勻分布在半球面 ACB 上，球面的半徑為 R, CD 為通過半球頂點 C 與球心 O 的軸線，如圖 41-91。P、Q 為 CDtt線上在 0 點兩側(cè)，離 0 點距離相等的兩點，已知 P 點的 電勢為 UP，試求 Q 點的電勢 UQ。子核的質(zhì)量如下：1H，1.007825;4He4.002603;3Li，7.015999.P2解：（1） 核反應(yīng)方程如下：/Li+1PT4He +4He靜質(zhì)量M0M1M3M2動能E0E1E3E2P3圖 51-21由總質(zhì)量和總能量守恒:M+與 +cM1 +E2c=M2+與+M3+與cc由反

9、應(yīng)能 Q 的定義得：= 931.5 10兆電子伏特=931.5 兆電子伏特(2)設(shè)鋰靶是靜止的，根據(jù)動量守恒，可知，反應(yīng)所產(chǎn)生的兩個相同的a粒子(；He核)，應(yīng)沿入射質(zhì)子的方向?qū)ΨQ分開，如圖 51-21 所示。M2M3M1ZM1M2E1E2.Eic oSM3M3由動量守恒定律有Pl= P2P3矢量pi,p2,p3合成的三角形，兩底角皆為又因M2二M3，因而有E2 =E3已知反應(yīng)能 Q=17.35 兆電子伏特，且Q =E2 E3_巳其中巳=1兆電子伏特，可得1E2二 E3 =(Q E1)21 (17.35 1)=9.175 (兆電子伏特)即反應(yīng)所生成的a粒子其能量為 9.175 兆電子伏特。a粒

10、子飛出方向與入射質(zhì)子的方向之間的夾角為B,因此P2= R2P22- 2 p1p2c o s由于P2=2ME，得：M3E3= M1E1M2E2- 2M1M2E1E2cos代入反應(yīng)能 Q 的定義式：Q = E2E3- E1將上式中質(zhì)量數(shù)改為質(zhì)量比得A3E2 _A3A3其中幾=1，A2二A3 = 4，代入上式:Q=2E2_*1_ Ecoscos =所以32 9.175- 17.35- 1:-4一 - 0.0825.1 9.175由此可知,-85 16在垂直于質(zhì)子束的方向上觀察到2He的能量近似就是 9.175 兆電子伏特。3. 一個處于基態(tài)的氫原子與另一個靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問可能發(fā)生非彈性碰撞的

11、最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。 問這種光的頻率與簡正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為1.67X10-27kg，電離能E =13.6eV =2.18 10一18解：處于基態(tài)的氫原子能量為E_E12，第二激發(fā)能量為E2八E22.被氫原子吸收的最小能量子為E = E2一 日=El-11-21-4?1.16 1T8J我們必須求出在碰撞中能量損失為以上數(shù)值的最小速度。如果碰撞是完全非彈性的，則 解：根據(jù)物體平衡條件，列出以下方程:m22m（ 2）m222- 4這個值應(yīng)等于最小的能量子：E因此4：Em26 104 ms在非彈性碰撞后，兩個原子的速度為3.13 1

12、04m2s本題第二間的解答與多普勒效應(yīng)有聯(lián)系。對于比光速小很多的速度，相對速度之比給出頻率相對變化的極好近似。故有48-46.26 10 :3 10 =2.09 10兩束光的頻率按此比率稍小于或稍大于簡正頻率4.如圖 11-136 所示，光滑無底圓筒重 W，內(nèi)放兩個重量 均為G的光滑球，圓筒半徑為 R,球半徑為 r,且 rR2r，試 求圓筒發(fā)生傾倒的條件。分析：如果對兩個小球和無底圓筒分別隔離分析受力再列選擇兩個小球作為研究對象，則在豎直方向上有N-2G=0（1）以整體為研究對象，若翻倒必以 A 為軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在臨界態(tài)下對 A 的力矩和為 零。此時，系統(tǒng)受力情況為：兩物體的重力，桌面對球

13、支持力 N，筒的重力 W，它們對 A 的力矩不為零，桌面對筒的支持力過 A 點，力矩為零，故有MA= N 2R- r - Gr- G 2R- r -WR_ 0（2）將 1 式代入 2 式有2G 2R- r _ WRgW 2 R- rG R若該圓筒傾倒必須有W 2R-r。討論：（1）從答案中可以看出，當 G 大 W 小，r 與 R 很接近，就容易傾倒，這也符合 重心高、支面小穩(wěn)度就小的結(jié)論。（2）如果是一個有底圓筒，則在沒有其他力推它的情況下，就絕不會傾倒。請同學(xué)們 想一想，這是為什么？5.兩個完全相同的木板，長均為 L，重力均為 G,彼此以光滑鉸鏈 A 相連，并通過光滑 鉸鏈與豎直墻相連，如圖

14、 11-245 （甲）所示。為使兩木板達水平狀態(tài)保持平衡，問應(yīng)在何 處施加外力？所施加的最小外力為多大？分析：要使兩板均處于平衡狀態(tài)，外力只能作用在板 2 上，作用點應(yīng)位于鉸鏈 A 與板 2碰撞中能量損失最大，碰撞后的速度將是2.初動能和末動能之差為= 2.09 10圖 11-136方程組，較復(fù)雜，采取整體法較好的重心之間，以便使板 1 的右端受到向上的作用力，方可使板 1 也處于平衡狀態(tài)。為使作用力最小，外力應(yīng)與木板垂直絞接點間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點 3 承受有豎直向下的解：如圖 11-245 （乙八（丙）所示。為使板 1 達水平平衡狀態(tài)，其右端 A 應(yīng)受到向

15、上壓力 P/2,點 1 承受有豎直向下的壓力 P,求絞接點 3 和 4 間桿的內(nèi)力的F1作用，F(xiàn)1的施力物體是板 2 左端。根據(jù)力矩平衡條件有1FL = G L2解之得12隔離木板 2,其左端受到F1（與F1為作用力的反作用力）及重力 mg 作用，為使板 2 呈水平且平衡，外力 F 的作用點應(yīng)在“和 G2的作用點之間。設(shè) F 作用點距 A 為 x，選 F 作用點 B 為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件有F1X=G1 X12將F1中代入上式得iG“Gix12丿解之得板2所受合力應(yīng)為。，有F=F1iGA 廠F1G（丙）圖 11-245點評：本題著重領(lǐng)會由結(jié)果或效果反推原因的思想方法，F(xiàn)1和 F 的方向及作用

16、點均由此方法推出。本題兩次使用隔離法。6.如圖 11-505 所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無重桿絞接而成，各絞接點依次為1、9,其中絞接點& 2、5、7、9 位于同一水平直線上，且 9 可以無摩擦地水平滑動。各解：由于點 9 可沿水平方向無摩擦滑動，故屋架在點 9 處所受外力只可能沿豎直方向，設(shè)為 N9。由于屋架所受外力 N9、P/2 和 P 均沿豎直方向，則屋架在點 8 所受的外力也只可能沿豎直方向，設(shè)其為 N9。以整個屋架為對象，列各外力對支點8 的力矩平衡方程，有P I尸21二N941 29所以圖 11-506N9的方向豎直向上。又由整個屋架的受力平衡關(guān)系應(yīng)有N8N -P所以N

17、8二P尸 -N9829N8的方向豎直向上。2假設(shè)將絞接點 5、6 7、9 這部分從整個屋架中隔離出來，則這部分受到桿15、桿 47、桿 36 的作用力，這幾個作用力均沿與桿 15 平行的方向，設(shè)其以一個力 T 表示，則這個力 T也必與桿 15 方向平行。此外，這部分還受到桿 25 的作用，設(shè)其為 T25,顯然 T25的方向應(yīng) 沿水平方向；這部分還受到支持力 N9的作用。這樣，這部分就等效為受 T、T25和 N9三個 力的作用而平衡。則表示此三力的矢量構(gòu)成一個封閉三角形，由前述此三力的方向關(guān)系可以 確定，這一三角形只能是如圖 11-506 所示的三角形，由此三角形可見，即桿 24 中的內(nèi)力為張力

18、，其大小為最后以點 4 為研究對象，它受到與之相連的三根桿的三個力的作用。此三力應(yīng)互相平衡?，F(xiàn)以 T42、T47、T43表示這三個力，由于 T42的方向是確定的（桿 42 的內(nèi)力為張力，貝 U T42必沿由點 4 指向點 2 的方向），而 T47、T43又只能沿對應(yīng)桿的方向，則此三力只可能取如圖T25訕9圣2桿 25 對點 5 的作用力方向水平向左，可見桿 25 中的內(nèi)力為張力。又假設(shè)取絞接點 8 為研究對象，它受到支持力 Ns和桿 82 對它的作用力 T82和桿 81 對它的作用力 T81，由于此三力平衡，則 N8與 T82的合力必沿桿 81 的方向，可見應(yīng)有T82二 Z 二P且 T82的方

19、向應(yīng)水平向右，即桿 82 的內(nèi)力為張力。再假設(shè)取絞接點 2 為研究對象，由以上分析知，其左、右兩水平桿對它的作用力均為拉力，其大小分別為 P 和 P/2。而另外只有桿 24 能對點 2 提供水平方向的分力，則為使點 2 在水平方向受力平衡，桿 24 作用于點 2 的力必沿由 2 指向點 4 的方向，進而為使點 2 在豎 直方向上受力平衡，則桿 12 對點 2 的作用力必沿豎直向下的 方向。綜合上述可得點 2 的受力如圖 11-507 所示。由圖知11-508 所示的方向。由點 4 在水平方向的受力平衡，應(yīng)有O0T42cos45 = T47cos45所以T47二T42由點 4 在豎直方向的平衡，

20、應(yīng)有T43=T42Sin45T47si n452T42si n45=P即桿 43 中的內(nèi)力為張力，大小為 P。7. 一平直的傳送帶以速度 v=2m/s 勻速運行，傳送帶把 A 點處的零件運送到 B 點處，A、 B兩點之間相距 L=10m，從 A 點把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過時間 t=6s，能送到 B 點, 如果提高傳送帶的運動速率，零件能較快地傳送到 B 點，要讓零件用最短的時間從 A 點傳 送到 B 點處，說明并計算傳送帶的運動速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍，2則零件傳送時間為多少（gNOm/s）?分析：零件在傳遞帶上加速運動，當零件與傳送帶的速度相等時，就與傳送帶一起作勻運

21、動，這就說明了傳送帶的速度大，它加速的時間長，由于傳送帶的長度一定，只要零件故得T24冷PT24cos45在這有限的長度內(nèi)一直是加速的，在此加速過程中得到的最大速度也就是傳送帶要使零件一速度和加速的距離一定，故運行的時間也就一定了，還是5s。直加速具有的最小速度，若傳送帶的速度再加大，也不能使零件運送的時間變短。反過來看， 若是零件以一定的初速度滑上傳送帶， 它在傳送帶上運動的時間有一個最大值和最小值， 顯 然，最小值就是它在傳送帶一直是加速的，而最大值就是零件在傳送帶上一直是減速的，同 樣地，減速過程中對于傳送帶的速度也有一個臨界值，當傳送帶小于這個臨界值時，零件到 達傳送帶另一端的時間不會

22、變。這兩個臨界值是值得注意的。解：零件的初速度為零，放在傳送帶上，受到傳送帶對它的滑動摩擦力，提供它作加速& 一物體以某一初速度 V0開始做勻減速直線運動直至停止，其總位移為 s，當其位移為2/3s 時，所用時間為 ti;當其速度為 1/3vo時，所用時間為 t2,解法一：設(shè)物體的加速度為 a （大?。縱o“o-at23t22v3a由速度公式得(1)則 ti、t2有什么樣的關(guān)系?運動所需要的外力，即f=mg二ma,a二丿g。若零件一直是加速，到達 B 點的速度為vt，根據(jù)位移公式得VttL =由題意可知2，Vt2L 2 10m/s = 3.6m/ s 2m/ s 6。2vos =2

23、a顯然這是不可能的，當零件與傳送帶的速度相等時，它們之間的滑動摩擦力消失，零件此兩式聯(lián)立得2L 亠 2a與傳送帶一起作勻速運動，由題意可知a v，代入數(shù)據(jù)后解得a =1m/s2。要使零件能較快地從 A 點到達 B 點，則零件在A、B 之間應(yīng)該一直加速，也就是零件2v2at2- 2v0t103avo-v2o到達 B 點時的速度VBmv帶，而解之得ti二vBm=2aL = 2 10m/s = 2(5m/s v帶i-vBm二 2 5m/s。因為該物體運動的總時間a，因此有tT，由此知匕只能取tmin=旦=2；5S故最短的時間VBm若傳送帶的速率提高一倍，則零件傳送的時間不變，這是因為零件一直是加速的

24、，由于加3 -3 voa(2)比較（1）、（2）式可知 b t2PoPL2 L-h(2)解法二：物體在ti時間內(nèi)的位移為2Sis13(3)物體在t2時間內(nèi)的位移為S2二2a4vo 8s9a 9(9)33其中：10kg/m為水的密度。解此方程，得出 h= 0.475m 二 47.5cm.這從物理上看是可 接受的數(shù)值。10.靜止的原子核衰變成質(zhì)量為 m1,m2,m3的三個裂片，它們的質(zhì)量損為 m。若三裂片 中每兩片之間速度方向的夾角都是 120，求每個裂片能量。解：由題建立如下坐標系圖（51-1）2原子核衰變釋放能量：E = .-mc比較（3）、（4）式可知SS2，因而其對應(yīng)的時間應(yīng)滿足tiCt2

25、解法三：根據(jù)題意作出物體的v-t 圖像如圖 12-31 所示，顯然，當經(jīng)過時間t2時，發(fā)生2s的位移早已超過3。原因是，根據(jù)圖中ABC ADO，由此可知，ABC表示的位移為1 8ss9，即在t2時間內(nèi)發(fā)生的位移為9，所以，t1譏2。9.一根長為 1m 具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后，把玻璃管提升起來并取出水面。問玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。解：埋入水中后，玻璃管中水柱為 0.5m。取出水面時，有一小部分水流出。如留下的水柱高度為 h,水管內(nèi)的空氣壓強可用玻意耳-馬略特定律算出：由能量守恒知:由軸方向動量守恒得:P2sim60 - F3sim6O 二 0P2二P3

26、又由 y 軸方向動量守恒得:P2sim30F3sim30 - P)=0P2P3- 2P1X圖 51-12P1 =P2二P3oPVP0L/2 AP0LP一-V1(LhA2(L h)(1)Ek2m式中 L=1mA為玻璃管的截面。玻璃管外的壓強等于玻璃管內(nèi)水柱和空氣的壓強之和2m12m22m3= P12J1)2m12m22m3sin i21sin 90n12：mc2mimbm3mi mt m2m3m-jm322P1Amc m2m3Ek1二2m1m|m2m2m3m1m3P2Amc2m1m3Ek2 =2m2m1m m2m m-m3pjAmc2m1m2Ek3z2m3mm2 + m2m3十 mim3311.

27、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折射率為 ni,液體對綠光的折射率為 n20當容器壁的內(nèi)、外半徑之比 r:R 為多少時，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？分析：所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從 C點處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所描述為折射角為90。的臨界折射，因為題中未給出n1、n2的大小關(guān)系，故需要分別討論。解：(1) 當n1：n2時因為是要求 r :R 的最小值，所以當n1n2時因為n1n2,所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為 90 的臨界折

28、射， 因此當r=r0時，所看到的壁厚不可能為零了，當r r0時，應(yīng)考慮的是圖 33-105 中 ABCD 這樣一種臨界情況，其中 AB 光線的入射角為 90, BC 光線的折射角為r1，此時應(yīng)該有sin90 _ n1sin r1n2在直角三角形 OBE 中有sin r1二 OE/OB因為圖 33-104 和圖 33-105 中的i2角是相同的，所以O(shè)E=r。，即sin90 _ nPl2圖 33-105r/rg時，可看到容器壁厚為零。上面的討論，圖 33-104 和圖 33-105 中 B 點和 C 點的位置都是任意的。故所得條件對眼的12. （ 1）用折射率為 2 的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑

29、分別為 a、b 的空心球，b 遠大于 a,內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)。問當一束平行光射向此 球時被吸收掉的光束橫截面積為多大？（注意：被吸收掉的光 束的橫截面積，指的是原來光束的橫截面積，不考慮透明物質(zhì) 的吸收和外表面的反射。）圖 33-114 所示是經(jīng)過球心的截面 圖。所以R = n bs in ra s i nr = l又因為b，n2所以R = na = . 2a2 2S = : R = 2 a即被吸收掉的光束橫截面積為2二a?（2）在 b 趨于a達到一定程度時，從第（1）問的結(jié)果可知，當 b減小到 b 二 n a 、2a 時,二b2二才a2，即入射到此空心球上的全部光線都將被吸收掉， 此

30、時極限光線的入射角i = 90,，而 R=b，如圖 33-116 所示。如果 b 再減小，則入射到此空心球上的全部光線仍將被吸收掉，而出射光束截面積 S =2。由幾何關(guān)系易知二=2r - r ，ro將ni代入，可得當r / R _ 1/n2由折射定律s i rii = ns i n（2）如果外半徑 b 趨于 a 時，第（1）問中的答案還能成立？為什么？分析：（1）如圖 33-115 所示，不被a球吸收的極限光線是與a球相切的光線 AB，因此被吸收掉的光束橫截面積應(yīng)該是以R 為半徑的一個圓盤，面積為S二二R2。 利用折射定律和相關(guān)幾何關(guān)系式不難求出 R 而得解。（2） 在 b 趨于a的過程中，

31、當 b 減小到一定程度時， 入射 到b 球面上的所有光線折射后可能都會與a球面相交，此時如 果 b再度減小，則依據(jù)第（1）問計算出的結(jié)果就不能成立。F圖 33-115解：（1）如圖 33-115 所示，CO 為穿過球心的光線，與 CO相距為 R 的光線在 b 球面折射后折射光線 AB 恰好與a球相切，則有此時極限入射光線（即入射角，90）的折射線并不與內(nèi)球表面相切，所以被吸收光束截面積為2二a2的結(jié)論不再成立。被吸收光束截面積2 2此時為二b：2”：a，參見圖 33-117 所示。討論：（1）本題第（1）問可以改為求經(jīng)過空心球折射后的光束在球右邊形成的出射光束的截面積大小是多少的問題。從左邊平

32、行入射到空心球的光束只有AE 區(qū)域間的光線經(jīng)外球面折射后能夠從右半球折射出來，如圖33-115 所示。與a球相切的光線 AB 光 b 球于 D，過 E 點的光線入射角為90，因折射率為 2， 所以該折射光線的折射角為45，即折射光線剛好交于 b 球于 F 點。設(shè) DOF，D 到直 線 OF 的距離為R，且 R- bs i n，R = bsi ni圖 33-114圖 33-116、aa=2arcsinarcsin(-n)”r即bb，所以可求出 S。(2)如果把問題改為空心球的內(nèi)表面沒有涂上吸光物質(zhì)，而要求進入球內(nèi)空心部分的光束在球殼外的截面積大小是多少。因為距中心光線 CO 越遠的光線，在兩球面

33、上的入射角越大，因此抓住經(jīng)外球面折射后的光線在內(nèi)球面上的入射角剛好等于光從介質(zhì)進入空氣的臨由上兩式解得系式可得 AD =a，故所求射入球內(nèi)空心部分的光束在球外的截面積S“ =二AD2=二a2d由上式可見，對于某一個確定的比值R，為使兩光線剛好交于球面，球的折射率有一個確定的值 no與之對應(yīng)。這樣，我們可以假想，若球的實際折射率 n 不等于 no時，則兩光線進入球內(nèi)時的情況與前面圖示的情況有所不同，即兩光線不是交于球面上。當n n。時,點評： 從本例的解答中可看出， 正確分析和作出邊界光線是解決問題的關(guān)鍵。 邊界光線是 隨著具體問題的不同而改變的，要注意針對具體問題靈活把握。172 21d2R2

34、13.真空中有一個半徑為 R 的均勻透明球，今有兩束相距為 2d(dwR)對稱地(即兩光束I1n。 = ，2 2. 1 -2 .d2R2又由折射定律有n0s iIT二s in界角這條特殊光線來考慮，如圖33-118 所示。設(shè)：角為光由介質(zhì)射入空氣的臨界角，在 ABO 中，有sin r sin(二-)1abnb，又由 sini 二 nsinr，由圖可知 AD=bsini。利用以上幾個關(guān)n0= 2 c o s又由圖中的幾何關(guān)系可以得到2 2R + PR d2 R . R2_ d2d2RR2- d2與球的一條直徑平行并且分別與其等距離)射到球上，試就球的折射率 n 的取值范圍進行討論(1) n取何值

35、時兩束光一定在球內(nèi)相兩光線將比圖示情況偏折得更厲害(圖中角 r 將更小)，兩光線的交點必在球內(nèi)；當n”no時,兩光線將比圖示情況偏折得少一些(圖中的角r 將大一些)，兩光線的交點必在球外。分析：設(shè)當球的折射率為 no時，兩束光剛好交于球面上，如圖33-123 所示。令光線射入球中時的入射角為 i，折射角為 r，則由圖中的幾何關(guān)系有d若以R作為一個變量來討論上述問題，由于”眷1，故由此確定的 no的范圍是由球面上 U=0，即 r=a 處。U=0，有d解：(1)當 n_ 2 時，對于任何R來說，都有n5。，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球內(nèi)相交。_d_(2)當 n :：: ,

36、2 時，對于任何R來說，都有n:n。，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球外相交。q_ =_ qJa2+ h2- 2r a C 0皓Ja2+ h2- 2ahc o上式含有參量q與 h，因而問題化成能否找到兩個參量能滿足。兩邊平方(3)對于任意給定的 n、R 和 d,貝 U 只需比較 n 與 no.2dn。=十2辛1 -2V R丿的大小即可確定兩光線的交點是在球內(nèi)還是在球外:當n時，兩光線的交點在球內(nèi)；當n =時，兩光線的交點在球面上；當n no時，兩光線的交點在球外；14.一點電荷+q 和半徑為 a 的接地導(dǎo)體的球心相距為 h，求空間的電勢分布。分析：此處是電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷共同作用的情況，此處導(dǎo)體是一導(dǎo)體球，而非平板。我們自然地猜想，球