直線與方程習(xí)提綱例習(xí)題(含答案)

1、直線與方程提綱1斜率及斜率公式：傾斜角：傾斜角與斜率的關(guān)系：2直線方程的五種形式點(diǎn)斜式：斜截式：兩點(diǎn)式：截距式：一般式：3兩直線平行與垂直4方程組的解與交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系直線系方程：5兩點(diǎn)間距離公式：中點(diǎn)公式：點(diǎn)到直線的距離公式：直線與方程（含答案）例1：已知直線l1的傾斜角1300，直線l2l1，求l1、l2的斜率例2：一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(2，3)，傾斜角45°，求這條直線方程，并畫出圖形.例3：三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求這個三角形三邊所在直線的方程例4：已知直線m的傾斜角的余弦值等于，在y軸上的截距為2，求直線方程例5：求過點(diǎn)P（5，4），且與y軸夾角

2、為 的直線方程 例6：一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，求這直線的方程例7：求通過點(diǎn)P（2，3），并在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程例8：求斜率為k且被兩坐標(biāo)軸截得線段為定長m的直線方程例9：已知直線l在x軸上的截距比y軸上的截距大6，且過點(diǎn)（4，4），求其直線方程例10：已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4),斜率為,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.例11：把直線l的方程x2y60化成斜截式，求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫圖.例12：直線l過P（3，2）且與l：x3y9 = 0及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，求直線l的方程例13：已知點(diǎn)P（6，4）和直線l1

3、：y = 4x，求過P點(diǎn)的直線l，使它與直線l1以及x軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小例14：若一直線l被直線l1：4xy6 = 0和l2：3x5y6 = 0截得的線段的中點(diǎn)恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線方程例15：已知直線方程l1：2x4y70，l2：x2y50，證明l1l2 例16：求過點(diǎn)A（1，-4）且與直線平行的直線的方程.例17：求與直線l1：AxByC = 0平行的直線方程例18：求和直線2x6y11=0平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6的直線方程例19：ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直線lAC,且l平分ABC的面積，求l 的方程例20：求過點(diǎn)A(2,1),

4、且與直線垂直的直線的方程.例21：已知三角形兩頂點(diǎn)是A(10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三個頂點(diǎn)C的坐標(biāo)例22：求經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過以下兩條直線的交點(diǎn)的直線的方程:例23：已知兩條直線l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，當(dāng)m為何值時，l1與l2（1）相交（2）平行（3）重合例24：已知兩條直線l1：xm 2y6=0，l2：（m2）x3my2m=0，問當(dāng)m為何值時，l1與l2 （1）平行（2）重合（3）相交例25：求點(diǎn)P0（-1，2）到下列直線的距離：（1）例26：求平行線和的距離.例27：已知l1：AxByC10，l2：AxByC20，求l1與l2間的距離例28：求

5、與直線3x7y5 = 0的距離為2的直線方程例29：求兩直線l1：xy2 = 0，l2：7xy4 = 0所成角的平分線方程例30：求過點(diǎn)P（1，2）且與兩點(diǎn)A（2，3），B（4，5）距離相等的直線l的方程例31：求過點(diǎn)P（1，1）且被兩平行直線3x4y13 = 0與3x4y7 = 0截得線段的長為4的直線方程例32：求經(jīng)過兩已知直線l1：x3y5 = 0和l2：x2y7 = 0的交點(diǎn)及點(diǎn)A（2，1）的直線l的方程例33：設(shè)直線方程為（2m1）x（3m2）y18m5 = 0，求證：不論m為何值時，所給的直線經(jīng)過一定點(diǎn)直線與方程教案例1：已知直線l1的傾斜角1300，直線l2l1，求l1、l2的斜

6、率解：l1的斜率k1tan1tan300l2的傾斜角29003001200，l2的斜率k2tan2tan1200tan600例2：一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(2，3)，傾斜角45°，求這條直線方程，并畫出圖形.解：這條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(2，3)，斜率是 ktan4501.代入點(diǎn)斜式方程，得y3x2，即xy50這就是所求的直線方程，圖形略例3：三角形的頂點(diǎn)是A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求這個三角形三邊所在直線的方程解：直線AB過A(5，0)、B（3，3）兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得整理得：3x8y150，即直線AB的方程.直線BC過C(0，2)，斜率是k,由點(diǎn)斜式得: y3（x0）整理得: 5

7、x3y60，即直線BC的方程.直線AC過A(5，0)，C(0，2)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得: 整理得：2x5y100，即直線AC的方程.例4：已知直線m的傾斜角的余弦值等于 ，在y軸上的截距為2，求直線方程解：cos ，0k tan，得y x2例5：求過點(diǎn)P（5，4），且與y軸夾角為 的直線方程 xy54= 0 或 xy54= 0例6：一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，求這直線的方程解法一：設(shè)直線方程為 = 1，則有： 解得a = 1，b = 2 或 a = 2，b = 1直線方程為 = 1或 = 1解法二：令y2 = k（x2）從y = 0得x = 2從x = 0得y

8、= 2k2（2）（2k2）1得k = 或k = 2例7：求通過點(diǎn)P（2，3），并在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程解：設(shè)直線方程為 = 1，則有： = 1 得a = 5 直線方程為 = 1 又：直線過原點(diǎn) k = y = x例8：求斜率為k且被兩坐標(biāo)軸截得線段為定長m的直線方程解：設(shè)直線方程為y = kxb，則有： b2= m2 即 b = ± y = kx±例9：已知直線l在x軸上的截距比y軸上的截距大6，且過點(diǎn)（4，4），求其直線方程解：設(shè)直線方程為y4 = k（x4），則： （4，0），（0，44k） 4= 44k6 得k = 2或k = 即y4 = 2（x4）或y4 =

9、 （x4）例10：已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6,-4),斜率為,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.解：經(jīng)過點(diǎn)A(6，4)并且斜率等于的直線方程的點(diǎn)斜式是:y4（x6）化成一般式，得4x3y120.例11：把直線l的方程x2y60化成斜截式，求出直線l的斜率和它在x軸與y軸上的截距，并畫圖.解：將原方程移項,得2yx6兩邊除以2，得斜截式y(tǒng)x3因此，直線l的斜率k，它在y軸上的截距是3，在上面的方程中令y0，可得x6，即直線l在x軸上的截距是6.由上述內(nèi)容可得直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)為A（6，0）、B（0，3），過點(diǎn)A、B作直線，就得直線l.（如右圖）. 例12：直線l過P（3，2）且與l：x3y9 = 0及

10、x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，求直線l的方程解法一：求k解法二：求l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)例13：已知點(diǎn)P（6，4）和直線l1：y = 4x，求過P點(diǎn)的直線l，使它與直線l1以及x軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小解：設(shè)l與l1的交點(diǎn)為Q（x1，4x1）（x11），則直線l的方程為y4 = (x6) l與x軸的交點(diǎn)為R（，0） S 10x12Sx1S = 0由0,得：S40當(dāng)S40時，x12，此時：xy10 = 0例14：若一直線l被直線l1：4xy6 = 0和l2：3x5y6 = 0截得的線段的中點(diǎn)恰好在坐標(biāo)原點(diǎn)，求這條直線方程解：設(shè)l：y = kx由 得x = 由 得x = = 0 k =

11、 得l：x6y = 0例15：已知直線方程l1：2x4y70，l2：x2y50，證明l1l2 證明:把l1、l2的方程寫成斜截式l1：yx，l2：yx例16：求過點(diǎn)A（1，-4）且與直線平行的直線的方程.解:已知直線的斜率是,因為所求直線與已知直線平行,因此它的斜率也是.根據(jù)點(diǎn)斜式,得到所求直線的方程是:即.例17：求與直線l1：AxByC = 0平行的直線方程解:所求直線l的斜率k所求直線方程為：y = xb即：AxByBb = 0也就是AxByb= 0例18：求和直線2x6y11=0平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6的直線方程解: 設(shè)所求直線方程為 2x6yb=0則有：（0，）,（,0）

12、S = = 6b2 = 144 b = ±12 即：2x6y12=0或2x6y12=0例19：ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直線lAC,且l平分ABC的面積，求l 的方程解:kAC= = 設(shè)l：y =xb 且交AB于Dl平分ABC的面積= = = 1D點(diǎn)坐標(biāo)：x =,y = 則：= b得 b = l：x2y135= 0例20：求過點(diǎn)A(2,1),且與直線垂直的直線的方程.解:直線的斜率是-2,因為直線與已知直線垂直,所以它的斜率為:根據(jù)點(diǎn)斜式,得到的方程:即.解法二: 設(shè)所求直線方程為 x2yb = 0 則：22×1b = 0 得b = 0 l：例21

13、：已知三角形兩頂點(diǎn)是A(10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三個頂點(diǎn)C的坐標(biāo)解:kBH = 2 kAC = lAC：y2 = （x10）又 BCy軸 C（6，6）解法二:kAB = kCH = 8 又H（5，2）lCH：y2 = 8（x5）又BCy軸 C（6，6）例22：求經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過以下兩條直線的交點(diǎn)的直線的方程:解:解方程組所以, l1與l2的交點(diǎn)是(2,2).設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程為,把點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入以上方程,得,所以所求直線方程為例23：已知兩條直線l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，當(dāng)m為何值時，l1與l2（1）相交（2）平行（3）重合解: 當(dāng)=

14、時，= ，解得m = 1或m = 3 當(dāng)= 時，= ，解得m = 3 （1）當(dāng)m1且m3時，l1與l2相交（2）當(dāng)m =1時，l1l2（3）當(dāng)m = 3時，l1與l2重合例24：已知兩條直線l1：xm 2y6=0，l2：（m2）x3my2m=0，問當(dāng)m為何值時，l1與l2 （1）平行（2）重合（3）相交解: 當(dāng)m = 0時，l1：x6 = 0，l2： x = 0，此時l1l2 當(dāng)m0時，= 得m = 3或m = 1 = 得m = 3 （1）當(dāng)m = 0或m = 1時，l1l2 （2）當(dāng)m = 3時，l1與l2重合（3）當(dāng)m0，m1且m3時，l1與l2相交例25：求點(diǎn)P0（-1，2）到下列直線的

15、距離：（1）解：（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得（2）因為直線平行于y軸，所以例26：求平行線和的距離.解:在直線上任取一點(diǎn),例如取P(3,0),則點(diǎn)P(3,0)到直線的距離就是兩平行線間的距離.因此:.例27：已知l1：AxByC10，l2：AxByC20，求l1與l2間的距離略解：（0，）l1 d =A·0B×()C 2/=C 2C 1/例28：求與直線3x7y5 = 0的距離為2的直線方程解：設(shè)P（x，y）是所求直線上一點(diǎn)，則：= 2 3x7y5= 2 3x7y5±2= 0例29：求兩直線l1：xy2 = 0，l2：7xy4 = 0所成角的平分線方程解一：設(shè)P

16、（x,y）是角平分線上任意一點(diǎn)，則：= 得 5（xy2）±（7xy4）即：x3y7 = 0（舍）或 6x2y3 = 0解二：k1= 1，k2= 7 得 k = （舍）或 k = 3例30：求過點(diǎn)P（1，2）且與兩點(diǎn)A（2，3），B（4，5）距離相等的直線l的方程解：l與x軸不垂直可設(shè)l的方程為：y2 = k (x1) 即：kxy2k = 0得：= k = 或 k = 4所求直線方程為：4xy6 = 0 或 3x2y7 = 0例31：求過點(diǎn)P（1，1）且被兩平行直線3x4y13 = 0與3x4y7 = 0截得線段的長為4的直線方程解：兩平行線間的距離為：= 4所求直線與平行線的夾角為45 0，設(shè)其斜率為k，