第三章-一維擴散方程(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三章 一維擴散方程 本章討論一維擴散方程。首先，從隨機過程中的一維擴散方程的討論可直接得到擴散方程的解。然后對非齊次和各類邊值問題相應(yīng)的擴散方程作了討論。討論的方程類型（1）直線上的齊次和非齊次擴散方程：；（利用隨機過程的理論得到結(jié)論，再直接驗證）；（算子方法，與常微分方程類比）（2）半直線上的擴散方程；（其它非齊次邊界等） 對擴散方程理論方面的探討：最大（最?。┲翟?。由此證明方程解的唯一性和穩(wěn)定性。§3.1全直線上的擴散方程首先討論隨機過程中的擴散過程。設(shè)想粒子在一維直線上作連續(xù)隨機游動（Brown運動），滿足性質(zhì)：在時間內(nèi)位移轉(zhuǎn)移概率為均值為0，方差

2、為的正態(tài)分布。在時刻處于的概率密度記為。則，或因此，?？梢姡阂痪SBrown運動的狀態(tài)概率密度滿足擴散方程。 從隨機過程的角度，可直接寫出狀態(tài)概率密度：。所以，有如下定理。定理 擴散方程的解為。證 由，易知初始條件成立：。且對函數(shù)，直接計算，有，所以，。即但與只差常數(shù)倍，故?！緀nd】對具有源的擴散方程，可用常微分方程的結(jié)果類比得到。常微分方程的解為。可以把理解為一個算子：把初始函數(shù)變換為一個新的函數(shù)。而齊次方程的解也可這樣理解：，定義了算子。只不過常微分方程中，直接可用一個函數(shù)給出該算子。非齊次常微分方程的解為，這里，為類比得到偏微分方程的結(jié)果，用算子形式表示了結(jié)論。由此得到結(jié)論定理 直線上的

3、非齊次擴散方程的解為。證 直接驗證結(jié)論。前一項顯然滿足齊次方程，即，而后一項，即所以，滿足方程。初始條件顯然也滿足：。因此，定理成立?！緀nd】 該方法是處理非齊次方程的一般方法。這里，來說明如何用于非齊次波動方程的求解。由于波動方程關(guān)于時間是兩次的，所以不能直接用。但是注意到是下面波動方程，的解，故定義算子，那么原來齊次波動方程的解為，則非齊次的波動方程的解為。注意到，即得結(jié)論。§3.3半直線上的擴散方程類似于波動方程，利用延拓方法可討論邊值問題的解。對特殊的Dirichlet問題（邊界是齊次的），可用奇延拓方法來求解。奇延拓后的系統(tǒng)，其中，。該方程的解，因此，原方程的解，【end

4、】對Neumann問題（邊界是齊次的），為保證函數(shù)在原點導(dǎo)數(shù)為零，必須使函數(shù)為偶函數(shù)，所以，采用偶延拓。延拓后的系統(tǒng)，其中，。該方程的解，因此，原方程的解為【end】 對半直線上的非齊次方程（齊次邊界）的Dirichlet問題和Neumann問題，仍可用奇延拓和偶延拓方法分別解決。對非齊次方程，非齊次邊界的Dirichlet問題，則可利用疊加原理和函數(shù)變換方法，把問題分解齊次邊界的相應(yīng)問題求解。作函數(shù)變換：，則問題成為其次邊界問題。對非齊次方程（非齊次邊界）的Neumann問題，則可作變換：，變?yōu)辇R次邊界的Neumann問題，然后再用偶延拓方法求解。§3.2 一維擴散方程最大（最小值

5、）原理和解的唯一性和穩(wěn)定性若函數(shù)滿足齊次擴散方程，那么有下面結(jié)論。定理（最大值原理） 如果，則在矩形時空區(qū)域（）內(nèi)，函數(shù)的最大值只能在，在邊界或上取得。（最小值原理也類似成立）證 這是閉區(qū)域上的二元函數(shù)的極值問題，極值點可能是區(qū)域內(nèi)點，也可能在邊界上。定理結(jié)論是說，極值點在特定的邊界上取到。極值在區(qū)域內(nèi)部取到是有必要條件的，即該點的一階導(dǎo)數(shù)為零，而二階導(dǎo)數(shù)必須是半正定的。用反證法證明在矩形內(nèi)部不能取到極值。若在矩形內(nèi)取到極值，則，。此時，如果，則產(chǎn)生矛盾：。故只要證時，仍會產(chǎn)生矛盾。記邊界上函數(shù)的最大值是。構(gòu)造。下證：（如果證得此結(jié)論，則令即得定理的結(jié)果）。由于在邊界上，所以只要證不能在（1）

6、矩形內(nèi)部；（2）矩形頂部：取得最大值。（1）若在內(nèi)部有最大值，則。但，矛盾。（2）在矩形頂部，則，仍矛盾。所以定理結(jié)論成立?！緀nd】利用上述極值原理，可得到Dirichlet 問題的唯一性和穩(wěn)定性。定理 如果擴散方程解存在，則解必定唯一。證 如果和都是解，則是方程的解。由最大值原理，在矩形內(nèi)，即?！緀nd】 利用該原理還可得到方程解的穩(wěn)定性。定理 如果擴散方程和的解分別為和，則。證 對直接利用極值原理?！緀nd】第三章 習(xí)題1. 對滿足擴散方程的函數(shù)，在矩形區(qū)域找出取到最大值和最小值的點和相應(yīng)的值。解 在上，顯然，處有最大值；而，處有最小值。在上，顯然，處有最大值；而，處有最小值。所以，最大值為，在處；最小值為，在處。2. 求擴散方程的解的解，其中。（用積分形式表示）3. 求擴散方程的解的解，其中。4. 求具有耗散的擴散方程的解，。（提示：作函數(shù)變換）。5. 求具有耗散的擴散