二重積分的應(yīng)用之曲面面積課件

1、二重積分的應(yīng)用之曲面面積一、平面方程平面方程三、曲面面積三、曲面面積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲面面積的計(jì)算 二、曲面的切平面與法線平面與法線二重積分的應(yīng)用之曲面面積zyxo0Mn（一）平面的（一）平面的點(diǎn)法式點(diǎn)法式方程方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱上式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,則該平面的方程為：法向量.量, ),(CBAn 的為平面稱n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、平面方程一、平面方程二重積分的應(yīng)用之曲面面積1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz過三點(diǎn)(,) (1,2

2、,3)kkkkMxyzk 的平面方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）平面的（二）平面的三點(diǎn)式三點(diǎn)式方程方程二重積分的應(yīng)用之曲面面積當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cba平面方程為 PozyxRQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （三）平面的（三）平面的截距式截距式方程方程二重積分的應(yīng)用之曲面面積（四）平面的（四）平面的一般一般方程方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程

3、的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的應(yīng)用之曲面面積外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA補(bǔ)：補(bǔ)： 設(shè)222000CBADzCyBxAd是平面到平面的距離d .0P(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的應(yīng)用之曲面面積:( , , )0F x y z二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面000(,)M xyz為其上定點(diǎn)。MT機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

4、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面，此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面.二重積分的應(yīng)用之曲面面積曲面 在點(diǎn) M 的法向量法向量法線方程法線方程000 xxyyzz0000(,)()xF xyzxx0000(,)()yF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz切平面方程切平面方程000(,)xF xyz000(,)yF xyz000(,)zF xyzMTn000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz復(fù)習(xí) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的應(yīng)用之曲面面積空間光滑曲面:( , )zf x y切平面方程切平面方程法線方程法線

5、方程 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦法向量法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (,1)xynff ,:為法線與各坐標(biāo)軸的夾角,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2211cosyxff)( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx二重積分的應(yīng)用之曲面面積MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 DyxyxfzS),( , ),(:),(z

6、yxMxyzSoMndAdcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx二重積分的應(yīng)用之曲面面積故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygxzyzxyxAdd)()(122zyD二重積分的應(yīng)用之曲面面積若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),( , ),(xzDxzxzhyxzxyzyAdd)()(122,0),(zyxF且0,zF yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDzzyxFFFF222yxddzxD二重積分的應(yīng)用之曲面面積例例. 計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解解: : 曲面在 xoy