求函數(shù)解析式的方法練習題

1、求函數(shù)解析式的方法、代入法1、已知函數(shù) f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x 2-6x+2，其中 x R,a,b 為常 數(shù)，貝U f(ax+b尸2、已知 a,b 為常 f(x)=x 2 4x 3, f (ax b) x2 10x 24,則5a b 二、換元法1、f(l) x2 2,求f(x)的解析式 x三、待定系數(shù)法設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且圖像在y軸上的截距為1,被x軸截得的線段長為2 2求f(x)的解析式。四、配方(湊)法已知f(X+ 1)x2 4 ,求f(x)的解析式 X X五、構(gòu)造法1、定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f(-x)

2、=lg (x+1)則f(x)的解析式為 12、已知函數(shù)f(x)+3f( 1)=3xa#0)求£儀)的解析式x3、已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且滿足f(x)+g(x)=x 2 +2x, 分別求f(x)、g(x)的解析式4、已知函數(shù) f(x)=x 2 (a 1)x Iga 2(a R,a 2)若f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)的和，求g(x)和h(x) 的解析式.5、若函數(shù)f(x),g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足 f(x)- g(x)=ex,則有A、f(2)<f(3)<g(0) B、g(0)<f(3)<f(2) C

3、、f(2)<g(0)<f(3) D、 g(0)<f(2)<f(3)六、由已知對稱軸、周期、已知區(qū)間上的解析式，求其他區(qū)間上的解 析式1、設(shè)直線x=1是函數(shù)f(x)的圖像的一條對稱軸，對于任意x6R,f(x+2)= f(x),當-1 w xw 1 時，f(x)=x 3證明：f(x)是奇函數(shù)當x 3,7時，求函數(shù)f(x)的解析式2、函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線 x=2對稱，且 當x6 (-2,2)時，f(x)= x2 1,則當x ( 6, 2)時,求f(x)的表達式.3、已知函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)h(x)=x - 2的圖像關(guān)于點A (0,1) x對稱。

4、(1 )求函數(shù)f ( X)的解析式。(2)若 g (x) = f (x) + 且 g (x)在區(qū)間(0 , 2 上 x為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。5 .已知f(x)的定義域為1,3,求f(x 1), f(x2)的定義域。6 .已知y f(x 1)的定義域為1,2,求f(x) , f(x 3)的定義域。f(x2 1)的定義域;7 .已知函數(shù)f(x)的定義域為0,5,求函數(shù)f (x 2), f(x2 2x 3)的定 義域；8 .已知函數(shù)f (x 3)的定義域為4,5),求f(2x 3),求動點的軌跡方程(例題，習題與答案)在中學數(shù)學教學和高考數(shù)學考試中，求動點軌跡的方程和曲線的方程是一個難 點和

5、重點內(nèi)容(求軌跡方程和求曲線方程的區(qū)別主要在于：求軌跡方程時，題目中 沒有直接告知軌跡的形狀類型；而求曲線的方程時，題目中明確告知動點軌跡的形 狀類型)。求動點軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程常用“待定系數(shù)法”。求動點軌跡的常用方法動點P的軌跡方程是指點 P的坐標(x, y)滿足的關(guān)系式。1 .直接法(1)依題意，列出動點滿足的幾何等量關(guān)系；(2)將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標滿足的代數(shù)方程。例題 已知直角坐標平面上點 Q(2, 0)和圓C： x2 y2 1,動點M到圓C的切線長等與 MQ , 求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.解：設(shè)動點 M(

6、x,y),直線MNW圓C于No一、 一22依題意：MQ MN ,即MQ MN一222而MN MO NO ，所以一 2一2MQ MO 1(x-2) 2 +y 2 =x 2 +y 2 -1化簡彳導(dǎo):x=4。動點M的軌跡是一條直線。2.定義法分析圖形的幾何性質(zhì)得出動點所滿足的幾何條件，由動點滿足的幾何條件可以判斷出動點 的軌跡滿足圓(或橢圓、雙曲線、拋物線)的定義。依題意求出曲線的相關(guān)參數(shù)，進一步寫出 軌跡方程。例題：動圓M過定點P (4, 0),且與圓C： x2 y2 8x 0相切，求動圓圓心 M的軌跡 方程。解：設(shè)M(x,y),動圓M的半徑為 r。若圓M與圓C相外切，則有 I MCI =r +

7、4若圓M與圓C相內(nèi)切，則有 I MCI =r-4而I M P I =r,所以1 MCI - I MP I =± 4動點M到兩定點P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對值為4,所以動點M的軌跡為雙曲線。其中a=2,c=4。動點的軌跡方程為：2 2二 L 14123.相關(guān)點法若動點P(x, y)隨已知曲線上的點Q(x0, y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則 將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點 P的軌跡方程。這種方法稱為相關(guān)點法。依題意有:解：設(shè) M(x,y), A( xa, yB),例題：已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓C：(x 1)2 y2

8、4上運動，求線段AB 的中點4 xa3 y ax- 2 , 二 222則：xA=2x-4, y a =2y-3,因為點 A( xa , yB )在圓 C : (x 1) y 4 上，所以_2_ 2(2x 4)(2y 3)4點M的軌跡方程為：(x 2)2(y D2 1動點M的軌跡為以(2,f )為圓心，1為半徑的圓。4.參數(shù)法例題：已知定點A (-3,0), M、N分別為x軸、y軸上的動點(M、N不重合)，且AN MN ,點P在直線MN上，NP jMP o求動點P的軌跡C的方程。解：設(shè) N(0,t), P(x,y)直線AN的斜率kAM3,因為ANMN ,所以直線MN的斜率kMN直線MN的方程為y

9、-t=NP(x,y t), mp3x,令 y=0 得 x=t t3(x (y)，所以點M( t- ,0)3由NP fMP,得3,t23x=2(x 3-), y-t=2 yx t2，則y 2t所以動點P的軌跡方程為：y2 4x5.交軌法例題：如圖，在矩形 ABCD中，AB 8,BC 4,E,F,G,H分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設(shè)OP OF,CQ CF( 0)。求直線EP與GQ的交點M的軌跡 的方程。則直線EP的方程為y,0), Q(4,2 2 ),x 一2 ,直線GQ的方程為2即 y+2= xy-2=-2兩式相乘，消去即得M2的軌跡的方程為161(x練習與答案1 .設(shè)圓C與圓x2+ (y

10、.3) 2=1外切，與直線y =0相切，則C的圓心軌跡為AA.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓,_22_22、2 .已知圓Mi：(x 4) y 25,圓M2：(x 4) y 1, 一動圓與這兩個圓外 切，求動圓圓心 P的軌跡方程。121(x>0)3 .過點A(4 , 0)作圓O ： x2+y2=4的割線，求割線被圓 O截得弦的中點的軌跡。(x-2) 2+y 2 =4 (0<x<1)224 .已知圓C： (x 3) +(y-4) =1,動點P是圓外一點，過 P作圓C的切線，切點為 M, 且I PM| = | PO| (O為坐標原點)。求動點P的軌跡方程。，一 .，,2, 2

11、2.提不：I PO| = I PM| = PC 13x+4y-12=0 22225 .已知圓C1：(x 4) y 1,圓C2：x (y 2)1 ,動點P到圓C1, C2 P的軌跡方程。解：動點P到圓C1的最短距離為I PC1 | -1,動點P到圓C2的最短距離為I PC2 | -1,依題意有：I PC1 | -1= I PC2 | -1,即I PC1| = I PC 2 |所以動點P的軌跡為線段 C1c2的中垂線。所以動點P的軌跡方程為：2x+y-5=0 2 x 26 .已知雙曲線 y 1的左、右頂點分別為 A3A2,點P (x,y2), Q (x1，以)是雙曲線上不同的兩個動點。求直線AP與

12、A2Q交點的軌跡e的方程。y17=(x 揚,兩式相乘 y2 x1,22六( 2),解：由A,A2為雙曲線的左右頂點知，A(亞,0), A2(我,0),AP：yy1 l(x 匹，A2Q： yx1* 22因為點P(x1,y1)在雙曲線上，所以 y222必x；2，故 y22；(x2 2)，2所以y2221,即直線 AP與A2Q交點的軌跡E的方程為 y2 122 .7 .已知曲線C : y x與直線l:x y 2 0交于兩點A(xa, Ya)和B(xb , yB),且xa xb .記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D .設(shè)點P(s,t) 是L上的任一點，且點P與點A

13、和點B均不重合.若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程。解：(1 )聯(lián)立yx2與y x2得Xa一，1 51,Xb 2,則AB中點Q(,),設(shè)線段PQ的中2 2點M坐標為1(x, y),則 x -s-yr c 1-即 s 2x -,t 2y 25一,又點P在曲線C上,22y1 2 , 曰(2x -)化簡可得又點P是L上的任一點，且不與點A和點B重合，1 c1 2x - 22中點M的軌跡方程為115一)48.已知點C(1, 0),點 A、B 是。O: x9上任意兩個不同的點，且滿足ACBC0,設(shè)P為弦AB的中點。求點P的軌跡T的方程。2_ 2_2|OP | |AP| |OA|即 |

14、OP |2設(shè)點P (x化簡，得到|CP|2 9y),有(x29.設(shè)橢圓x22x x2y41 JOP (OA2y2) (x 1)2 y24。過點M (0,1)的直線lOB),當l繞著M旋轉(zhuǎn)時,解：直線l過點M (0,1),設(shè)其斜率為k,記人丫力，B(x2, y2),由題設(shè)可得點交橢圓于A、B, O為坐標原點，點求動點 P的軌跡方程。則直線l的方程為y kx 1,A、B 的坐標(Xi, y1)(X2, y2)P滿足y kx 1是方程組2 y2的解，其方程組中消取 y得（4 k2）x2 2kx 3 0x 14xix22k4 k2yiy284 k21 OP (OA OB)2，點P的坐標為（丁，?。?)

15、, 2 4 k2k 即：點P為（kk設(shè)點P為（x,y）,則P點的軌跡參數(shù)方程為4 k4 k2（k為參數(shù)）4消去參數(shù)k得：4x2 y2 y 0當斜率k不存在時，A B的中為原點（0故：動點P的軌跡方程為4x2 y2 y 0。10.設(shè)圓 C 與兩圓（x J5）2 y2 4,（ x J5）2 的圓心軌跡L的方程。4 k2,0）也滿足上述方程，2y 4中的一個內(nèi)切，另一個外切。求圓 C解：兩圓半徑都為 2,設(shè)圓C的半徑為R兩圓心為F1（ J5, 0）、F2（J5, 0）,由題意得 R |CF1 | 2 |CF2| 2 或 R |CF2| 2 |CF1 | 2,IICF1 | El 4 275 |0,2

16、2x y可知圓心C的軌跡是以F1, F2為焦點的雙曲線，設(shè)方程為1,則a b22a 4, a 2, c 75, b2 c2 a2 1,b 1 ,所以軌跡L的方程為上 y2 1 .411.如圖所示，已知 P （4, 0）是圓x2 y2 36內(nèi)的一點。A、B是圓上兩動點，且滿足 APB 900,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設(shè) R(x,y),依題意，有I OR I 2 + I RA| 2 =36，而 | RA | = | RP | ,所以I OR I 2+ I RF31 2=36,即2222”x y (x 4) y 36化簡彳導(dǎo):(x 2)2 y214設(shè)Q(X, Y),因為R(x,y)是Q

17、P的中點，所以有4 X x=2,y= -2，故4 X(-22 Y 22)(2)14化簡得:X2 Y25612.在平面直角坐標系 xOy中，直線l:x 2交x軸于點A,設(shè)P是l上一點，M是線段OP 的垂直平分線上一點，且滿足 /MPO=/AOP。當點P在l上運動時，求點 M的軌跡E的方 程。解：叫圖1,設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交 OP于點Q,: MPQ AOP, MP I,且 |MO|MP|.因此&/ |x 2|,即y2 4(x 1)(x1).另一種情況，見圖 2 (即點M和A位于直線OP的同側(cè))。1=-2圖圖2:MQ為線段OP的垂直平分線，“MPQMOQ.MPQ AOP, MOQ AOP.因此M在x軸上，此時，記 M的坐標為(x,0).為分析M (x,0)中x的變化范圍，設(shè) P( 2,a)為I上任意點(a R). 由|MO | |MP |(即 |x| ：(x 2)2 a2 )得，x 1 1a21.4故M (x,0)的軌跡方程為y 0,x1綜合和得，點24(xy0,1),xM軌跡E的方程為1,1.213.點M是橢圓1上的動點。如圖，點A的坐標為（1,0）, B是圓x2N是點M在x軸上的射影，點 Q滿足條件：OQ OMON , QA BA =0,y2 1上的點,求線段QB的中點P的軌跡方程;解:僅 M( xm , ym), B(xb，yB)Q(x