281銳角三角函數(shù) (2)

1、意大利比薩爾塔在1350年落成時就已傾斜，其塔頂離中心偏離垂直中心線2.1m，1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立，但塔頂中心點偏離垂直中心線增至5.2m，而且還以每年增加1cm的速度繼續(xù)傾斜，隨時都有倒塌的危險。為此，意大利當局從1990年起對斜塔進行維修糾偏，2001年竣工，使塔頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm。 如果要你根據(jù)上述信息，用“塔身中心線與垂直中心線所成的角（如圖）“來描述比薩斜塔的傾斜程度，你能完成嗎？ 從數(shù)學(xué)角度看，上述問題就是：已知直角三角形的某些邊長，求其銳角的度數(shù)，對于直角三角形，我們知道三邊之間的關(guān)系和兩個

2、銳角之間的關(guān)系，但我們不知道”邊角之間的關(guān)系“，因此，這一問題的解答需要學(xué)習(xí)新的知識。塔身中心線垂直中心線 AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? (3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(2) 和和 , 和和 ,

3、 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形A

4、B1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11AC

5、AB111B CACBCAC 結(jié)論：由相似三角形的性質(zhì)得，只要結(jié)論：由相似三角形的性質(zhì)得，只要A不變，那不變，那么都有：么都有：BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC=ABB1CC1 即在直角三角形中，當銳角即在直角三角形中，當銳角A取一定度數(shù)時，不管三角形的大取一定度數(shù)時，不管三角形的大小如何，小如何，A的對邊與斜邊的比是的對邊與斜邊的比是一個固定值，叫做一個固定值，叫做A的正弦，記的正弦，記作作sinA；鄰邊與斜邊的比是一個；鄰邊與斜邊的比是一個固定值，叫做固定值，叫做A的余弦，記作的余弦，記作cosA；對邊與鄰邊的比是一個固；對邊與鄰邊的比是一個固定值，叫做

6、定值，叫做A的正切，記作的正切，記作tanA。 AB CAA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊AA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊tanAcosAAA的鄰邊的鄰邊AA的對邊的對邊斜邊斜邊sinA斜邊斜邊斜邊斜邊1。銳角銳角A A的正弦、余弦、和正切叫做的正弦、余弦、和正切叫做A A的的銳角銳角三角函數(shù)三角函數(shù)2。銳角的銳角的三角函數(shù)三角函數(shù)的值都是正實數(shù)，并且的值都是正實數(shù)，并且 0sin 1 1，0cos1 ，定定義義注意：注意：三角三角函數(shù)的函數(shù)的定義，定義，必須在必須在直角三角形直角三角形中中. . AB C例例1 如圖如圖,在在RtABC中中,C=90C=90AB=5,BC=3, 求求A, B的

7、正弦的正弦,余弦和正切余弦和正切. 觀察以上計算結(jié)果觀察以上計算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么?若若AC=5,BC=3呢呢?解：在解：在RtABC中中,4352222BCABAC因此因此43tan54cos53sinAAA34tan53cos54sinBBB1tantansincoscossinBABABA例例2 2 如圖如圖: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=900 0,AC=200,sinA=0.6.,AC=200,sinA=0.6.求求:BC:BC的長的長. .200ACB解：解：12060200sinsinAACBCACBCA1.1.如圖如圖: :在在等腰等腰ABCABC

8、中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求: sinB,cosB,tanB: sinB,cosB,tanB. .解：過點解：過點A作作AD垂直于垂直于BC于于D.556ABCDAB=AC=5 BD=1/2BC=3在在RtABD中中4352222BDABAD34tan,53cos,54sinBBB.54sinA2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=900 0,BC=20,BC=20,求求:ABC的周長的周長.ABC解：解：152025255420sinsin2222BCABACABCABABBCA因此，因此，ABC的周長的周長=25+20+15=60w3.如圖

9、,在RtABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴大100倍,sinA的值（ ）wA.擴大100倍 B.縮小100倍 wC.不變 D.不能確定w4.已知A,B為銳角w(1)若A=B,則sinA sinB;w(2)若sinA=sinB,則A B.ABCC=5.5.如圖, C=90C=90CDABCDAB. .6.在上圖中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.ACBD.sinB( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )w7.7.如圖,分別根據(jù)圖(1)和圖(2)求A的三個三角函數(shù)值. .w8.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, , (1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6,

10、 ,求求sinAsinA和和cosBcosB(2)BC=3,sinA= ,(2)BC=3,sinA= ,求求ACAC和和ABAB.w老師提示:w求銳角三角函數(shù)時,勾股定理的運用是很重要的.ACB34ACB34(1)(2)135談?wù)劷裉斓氖斋@談?wù)劷裉斓氖斋@ AB CAA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊AA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊tanAcosAAA的鄰邊的鄰邊AA的對邊的對邊斜邊斜邊sinA斜邊斜邊斜邊斜邊定定義義回味無窮 定義定義中應(yīng)該注意的幾個問題中應(yīng)該注意的幾個問題: :w 1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的是在直角三角形中定義的, , AA是銳角是銳角( (注意數(shù)形結(jié)合注意數(shù)形結(jié)合, ,構(gòu)造直角三角形構(gòu)造直角三角形).).w 2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一個完整的符號是一個完整的符號, ,表示表示AAw 的正切的正切, ,習(xí)慣省去習(xí)慣省去“”號；號；w 3.sinA,cosA,tanA, 3.sinA,cosA,tanA, 是一個比值是一個比值. .注意比的順序注意比的順序, ,w 且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA, , 均均0,0,無單位無單位. .