【新青島版】八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講練：二次根式基本定義及其應(yīng)用試題(含答案)

1、二次根式基本定義及其應(yīng)用【重點(diǎn)難點(diǎn)易錯(cuò)宜點(diǎn)點(diǎn)精謹(jǐn)】、二次根式的定義一般地，我們把形如.一a(a _0)的式子叫二次根式，其中 個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，.a才有意義。注意：在二次根式中，被開(kāi)方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以a _ 0是、a為二次根式的前提條件，如5，X21， 一x-1(x_1)等是二次根 式，而-3， 、一X2_5等都不是二次根式。、二次根式的判定含有二次根號(hào)-女口：Ja不是二次根式；、；a2十1是二次根式; 召8不是二次根式；特別注意J4是二次根式。 被開(kāi)方數(shù)大于等于0、二次根式有意義的條件1.單獨(dú)的二次根式：被開(kāi)方數(shù)大于等于0,如.

2、7， .5 等；2.含有分母的二次根式：被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于 0,二者要綜合考慮，如:1_0,x );XX3.二次根式永遠(yuǎn)有意義：被開(kāi)方數(shù)為完全平方加正數(shù)，如.22。總結(jié)：1.二次根式與分式、函數(shù)結(jié)合討論未知數(shù)有意義的問(wèn)題為中考必考內(nèi)容；2.所有的二次根式計(jì)算至最后都要化成最簡(jiǎn)二次根式。例題 1 已知，y=、x20+30X，且 x、y 均為整數(shù)，求 x+y 的值。解析：先求出 x 的取值范圍，再根據(jù) x，y 均為整數(shù)，可得 x 的值，再分情況得到 x + y 的值。答案： 由題意知：200,x亠0可以得到 x0，二 y 0,即x可求出點(diǎn) P 所在的象限。1 _ xv0；又Txv0,.

3、2一x 0,即卩 y 0 x估算二次根式的值根據(jù)提示的方法估算二次根式的大概取值。例題 閱讀材料：學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次探究活動(dòng): 近似值。小明的方法：,9v13v16,設(shè).13= 3 + k (0vkv1 )。二(13)2=( 3 +k)2。二 13= 9 + 6k + k2。： 139+46k,解得 k6413 3+ 3.67。6問(wèn)題：（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算.41的近似值；（2） 請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算m的公式：已知非負(fù)整數(shù) a、b、m,若 avmva+ 1，且 m=a+ b，則m_ （用含 a、b 的代數(shù)式表示）；（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算.37的近似

4、值。解析：（1）根據(jù)題目信息，找出 41 前后的兩個(gè)平方數(shù)，從而確定出41= 6+ k （0vkv1），再根據(jù)題目信息近似求解即可；（ 2）根據(jù)題目提供的求法，先求出 k 值，然后 再加上 a即可；（3）把 a 換成 6, b 換成 1 代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得解。答案：（1 ）T36v41v. 49,設(shè)41= 6 + k （0vkv1）,（41）2=（ 6+k）2,. 41= 36 + 12k + k2,： 4136+ 12k。解得 k ,. 416+ 6+ 0.42 =12 126.42；Y22222(2) 設(shè).m=a+k (0vkv1), m= a+2ak+ka +2ak, /m= a+b

5、, a+2akab/b+ b，解得 k, . ma+；2a2a(3)；6：. 3：6 1，依據(jù)(2)中結(jié)論，a =6,b =1,：37疋6+ 疋6.08。答案:X2芒0-0號(hào)。- P應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限。故選點(diǎn)撥：考查了分式和二次根式有意義的條件，B。難點(diǎn)是判斷出所求的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符估算.13的12求最值問(wèn)題利用因式分解及二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求最值。例題 若 土2- 2008是整數(shù)，則整數(shù)k的最小正整數(shù)值為 _。解析：設(shè)k22008二a，則k2a2= 2008, （k+a）（ka）= 2008，即k+a與ka是 2008 的因數(shù)，確定 2008 的因數(shù)，即可求得k,

6、a的值，即可確定k的整數(shù)值。答案：設(shè)、k2- 2008二a，則k2a2= 2008,(k+a)(ka)=2008=1x2008=2x1004=4X502=8X251分別求出k值,小 k+ a=2008k + a=1004k+ a=502k + a=251則或或或k-a =1k-a=2k-a=4k-a=8LLLL解得:k=1004.5?a=1003.5k =503? k = 253或a= 501a=249；k=129.5a=121.5（舍去）。則k的最小正整數(shù)值是：253。故答案是：253?！?1學(xué)即測(cè)現(xiàn)固提升】（答題時(shí)間：45 分鐘）、選擇題1.已知 n 是一個(gè)正整數(shù)，135n是整數(shù),A. 3

7、B. 52.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）則 n 的最小值是（C. 15)D. 25A.零和負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根C. 、X216的最小值是 4B.D.a2b2是一個(gè)非負(fù)數(shù)，也是二次根式, - （x -1）的值一定是0*3.下列根式中最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)有:ab3xy,.5(a2-b2),75x3y,.x2y2,2y(cB. 3 個(gè)、X1A. 2 個(gè)C. 4 個(gè)D. 5 個(gè)*4.若實(shí)數(shù) x 使代數(shù)式x +2 4有意義，則 x 的取值范圍是）。A. x 1D. x1且 x 工2*5.300+3一4一15415+依此類推，則第四個(gè)式子是哪個(gè)？用（）。n （n2）的等式表達(dá)你所觀察得到的規(guī)律應(yīng)是A.520、： n2

8、-1-+nnn2-1B.觀察下列各式:X3526、口X上丄5/n5十、nx二-24丫n215n24n2-1、填空題：*6.已知化簡(jiǎn)后的二次根式3x-y4x3y與2x-y 6是同類二次根 式，貝 U x + y =*7.已知、x -1+、1 -x= y+ 4,n+24n是整數(shù)，則正整數(shù) n 的最小值與 xy的平方 根的積為。*8.用下面“逐步逼近”的方法可以求出.7 的近似值。先閱讀，再答題：因?yàn)?2V7v32,所以 2v, 7v3。2+3第一步：取=2.5，由 2.52= 6.25v7 得 2.5v. 7v3。22 5 +32l第二步：取=2.75，由 2.75 = 7.5625 7 得 2.

9、5V. 7v2.752請(qǐng)你繼續(xù)上面的步驟，寫(xiě)出第三步，并通過(guò)第三步的結(jié)論，對(duì),7十分位上的數(shù)字作一估計(jì)。、14242=102122三、解答題：*10.如果 y = ；x2-4+, 4-X2+ 1,求 2x + y 的值。*11.已知：、.a -5+ 2 .、10-2a=.3a -b+ |c2-49|，求實(shí)數(shù) a、b、c 的值。*12.已知 |2009 -a| +，,a -2010=a,求,a - 2009215的值。(1)由式子-2010可以得出 a 的取值范圍是什么？(2) 由(1),你能將等式|2009 a| +. a-2010=a中的絕對(duì)值去掉嗎？(3) 由(2),你能求出 a 2009

10、2的值嗎？(4) 討論總結(jié)：求.a -20092 15的值。C.D.*9.求和 S=Jl+電+烏+1232卜餅4+陽(yáng)埠+1. C 解析：135n= 315n，若135n是整數(shù)，則15n也是整數(shù)； n 的最小正 整數(shù)值是 15;故選 Co解析：A.零的算術(shù)平方根是 0,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故錯(cuò)誤； B. a2+ b2是非負(fù)數(shù)，個(gè)非負(fù)數(shù)，也是二次根式，故正確；C.vx2+ 16 16,二當(dāng) x= 0 時(shí)，且x去2,故選 Db3x-y2，由 2+，解得，x = 1,；把代入，解得，y= 1,二 x+ yx+2y= 3,2 ;故答案是 2o7.二 6解析：根據(jù)題意，x 10且 1 x0,解得 x1且 xw

11、1,所以 x 1,所以 y-4,又v24n0,n+.一24n是整數(shù)，正整數(shù) n 的最小值與 xy的平方根的積為2 5 + 2 758. 6 或 7 解析：取2.625 ,由2. A所以.a2b2是x216有最小值是 4，故正確；的值定是 0，故正確。故選Ao3.B 解析： 2x2y= 2|x|D. ( x 1)2 0, |x+ 2|-4 工 0,解4. D解析：x+2 -45. C解析：* 245碼；用n(n2)的等式表達(dá)你所觀察得到的規(guī)律應(yīng)是 n nn2-16. 2解析：根據(jù)題意，得Jn +2n。故選Co.n2-13x - y=2，即4x+3y=2x - y+6的最小值是 6,Axy=4= 1,_6，故填：一 6o2.6252=6.890625V7 得 2.625V. 70,且 10 2a0,二 a= 5,二 3a- b + |c2-49| = 0,貝 U 3a b = 0, c 49=0,即卩 15 b = 0, c 49= 0,解得 b= 15, c= 7。綜上所述，實(shí)數(shù) a、b、c 的值 分別為 5, 15,7。12.解：(1)根據(jù)二次根式有意義的條件可得a 20100,解得 a2010。(2) 原式=a-2009+_a-2010=a,即：a-2010= 2009。(3)V一a-2010= 2009,. a 2010= 20092, / a 2