機械振動和機械波51簡諧振動

1、第五講 機械振動和機械波§51簡諧振動511、簡諧振動的動力學(xué)特點如果一個物體受到的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即滿足：的關(guān)系，那么這個物體的運動就定義為簡諧振動根據(jù)牛頓第二是律，物體的加速度，因此作簡諧振動的物體，其加速度也和它偏離平衡位置的位移大小成正比，方何相反。x圖5-1-1現(xiàn)有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，上端固定在P點，下端固定一個質(zhì)量為m的物體，物體平衡時的位置記作O點。現(xiàn)把物體拉離O點后松手，使其上下振動，如圖5-1-1所示。當(dāng)物體運動到離O點距離為x處時，有 式中為物體處于平衡位置時，彈簧伸長的長度，且有，因此 說明物體所受回復(fù)力的大小與離開平衡位

2、置的位移x成正比。因回復(fù)力指向平衡位置O，而位移x總是背離平衡位置，所以回復(fù)力的方向與離開平衡位置的位移方向相反，豎直方向的彈簧振子也是簡諧振動。圖5-1-2注意：物體離開平衡位置的位移，并不就是彈簧伸長的長度。512、簡諧振動的方程由于簡諧振動是變加速運動，討論起來極不方便，為此?？梢胍粋€連續(xù)的勻速圓周運動，因為它在任一直徑上的分運動為簡諧振動，以平衡位置O為圓心，以振幅A為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，如圖5-1-2，設(shè)有一質(zhì)點在參考圓上以角速度作勻速圓周運動，它在開始時與O的連線跟軸夾角為,那么在時刻t，參考圓上的質(zhì)點與O的連線跟的夾角就成為，它在軸上的投影點的坐標(biāo) （2）這就是簡諧振動

3、方程，式中是t=0時的相位，稱為初相：是t時刻的相位。參考圓上的質(zhì)點的線速度為，其方向與參考圓相切，這個線速度在軸上的投影是 ） （3）這也就是簡諧振動的速度參考圓上的質(zhì)點的加速度為，其方向指向圓心，它在軸上的投影是 ） （4）這也就是簡諧振動的加速度 由公式（2）、（4）可得 由牛頓第二定律簡諧振動的加速度為因此有 （5） 簡諧振動的周期T也就是參考圓上質(zhì)點的運動周期，所以 513、簡諧振動的判據(jù) 物體的受力或運動，滿足下列三條件之一者，其運動即為簡諧運動： 物體運動中所受回復(fù)力應(yīng)滿足 ；物體的運動加速度滿足 ；物體的運動方程可以表示為 。事實上，上述的三條并不是互相獨立的。其中條件是基本的

4、，由它可以導(dǎo)出另外兩個條件和。§5.2 彈簧振子和單擺簡諧振動的教學(xué)中經(jīng)常討論的是彈簧振子和單擺，下面分別加以討論。521、彈簧振子圖5-2-1彈簧在彈性范圍內(nèi)胡克定律成立，彈簧的彈力為一個線性回復(fù)力，因此彈簧振子的運動是簡諧振動，振動周期 。（1）恒力對彈簧振子的作用比較一個在光滑水平面上振動和另一個豎直懸掛振動的彈簧振子，如果m和k都相同（如圖5-2-1），則它們的振動周期T是相同的，也就是說，一個振動方向上的恒力不會改變振動的周期。如果在電梯中豎直懸掛一個彈簧振子，彈簧原長，振子的質(zhì)量為m=1.0kg，電梯靜止時彈簧伸長=0.10m，從t=0時，開始電梯以g/2的加速度加速下降

5、,然后又以g/2加速減速下降直至停止試畫出彈簧的伸長隨時間t變化的圖線。由于彈簧振子是相對電梯做簡諧運動，而電梯是一個有加速度的非慣性系，因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力f。在勻速運動中，慣性力是一個恒力，不會改變振子的振動周期，振動周期  圖5-2-2因為，所以因此在電梯向下加速或減速運動的過程中，振動的次數(shù)都為當(dāng)電梯向下加速運動時，振子受到向上的慣性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在 的地方，同樣，當(dāng)電梯向下減速運動時，振子的平衡位置在 的地方。在電梯向下加速運動期間，振子正好完成5次全振動，因此兩個階段內(nèi)振子的振幅都是。彈簧的伸長隨時間變化的規(guī)

6、律如圖5-2-2所示，讀者可以思考一下，如果電梯第二階段的勻減速運動不是從5T時刻而是從4.5T時刻開始的，那么圖線將是怎樣的？ （2）彈簧的組合 設(shè)有幾個勁度系數(shù)分別為、的輕彈簧串聯(lián)起來，組成一個新彈簧組，當(dāng)這個新彈簧組在F力作用下伸長時，各彈簧的伸長為，那么總伸長 各彈簧受的拉力也是F，所以有 故 根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù) 即得 圖5-2-3如果上述幾個彈簧并聯(lián)在一起構(gòu)成一個新的彈簧組，那么各彈簧的伸長是相同的。要使各彈簧都伸長，需要的外力根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù) 導(dǎo)出了彈簧串、并聯(lián)的等效勁度系數(shù)后，在解題中要靈活地應(yīng)用，如圖5-2-3所示的一個振動裝置，兩根彈簧到

7、底是并聯(lián)還是串聯(lián)？這里我們必須抓住彈簧串并聯(lián)的本質(zhì)特征：串聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧受力相同；并聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧形變相同。由此可見圖5-2-3中兩根彈簧是串聯(lián)。當(dāng)m向下偏離平衡位置時，彈簧組伸長了2 ，增加的彈力為 m受到的合外力（彈簧和動滑輪質(zhì)量都忽略） 所以m的振動周期 = 再看如圖5-2-4所示的裝置，當(dāng)彈簧1由平衡狀態(tài)伸長時，彈簧2由平衡位置伸長了，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質(zhì)量） ba圖5-2-4 由于彈簧2的伸長，使彈簧1懸點下降 因此物體m總的由平衡位置下降了此時m所受的合外力所以系統(tǒng)的振動周期 （3）沒有固定懸點的彈簧振子 質(zhì)量分別為和的兩木塊A和B，用一根勁度系數(shù)

8、為k的輕彈簧聯(lián)接起來，放在光滑的水平桌面上（圖5-2-5）?，F(xiàn)在讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統(tǒng)振動的周期。想象兩端各用一個大小為F、方向相反的力將彈簧壓縮，假設(shè)某時刻A、B各偏離了原來的平衡位置和，因為系統(tǒng)受的合力始終是零，所以應(yīng)該有 A、B兩物體受的力的大小 圖5-2-5由、兩式可解得 由此可見A、B兩物體都做簡諧運動，周期都是圖5-2-6此問題也可用另一種觀點來解釋：因為兩物體質(zhì)心處的彈簧是不動的，所以可以將彈簧看成兩段。如果彈簧總長為，左邊一段原長為，勁度系數(shù)為；右邊一段原長為，勁度系數(shù)為，這樣處理所得結(jié)果與上述結(jié)果是相同的，有興趣的同學(xué)可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時釋放

9、兩個物體，而是先釋放一個，再釋放另一個，這樣兩個物體將做什么運動？系統(tǒng)的質(zhì)心做什么運動？522、單擺一個質(zhì)量為m的小球用一輕質(zhì)細繩懸掛在天花板上的O點，小球擺動至與豎直方向夾角，其受力情況如圖5-2-6所示。其中回復(fù)力，即合力的切向分力為 當(dāng)<5º時，OAB可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且，所以 （式中）說明單擺在擺角小于5º時可近似地看作是一個簡諧振動，振動的周期為 在一些異型單擺中，和g的含意以及值會發(fā)生變化。（1）等效重力加速度單擺的等效重力加速度等于擺球相對靜止在平衡位置時，指向圓心的彈力與擺球質(zhì)量的比值。圖5-2-7圖5-2-8如在加速上升和加速

10、下降的升降機中有一單擺，當(dāng)擺球相對靜止在平衡位置時，繩子中張力為，因此該單擺的等效重力加速度為=。周期為再如圖5-2-7所示，在傾角為的光滑斜面上有一單擺，當(dāng)擺球相對靜止在平衡位置時，繩中張力為，因此單擺的等效重力加速度為=，周期為又如一節(jié)車廂中懸掛一個擺長為的單擺，車廂以加速度在水平地面上運動（如圖5-2-8）。由于小球m相對車廂受到一個慣性力，所以它可以“平衡”在OA位置，此單擺可以在車廂中以O(shè)A為中心做簡諧振動。當(dāng)小球相對靜止在平衡位置A處時，繩中張力為，等效重力加速度，單擺的周期圖5-2-9圖5-2-10圖5-2-11 （2）等效擺長單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。如圖5-2-9中的雙線擺，其等效擺長不是，而是，周期 再如圖5-2-10所示，擺球m固定在邊長為L、質(zhì)量可忽略的等邊三角形支架ABC的頂角C上，三角支架可圍繞固定的AB邊自由轉(zhuǎn)動，AB邊與豎直方向成角。當(dāng)m作小角度擺動時，實際上是圍繞AB的中點D運動，故等效擺長 正因為m繞D點擺動，當(dāng)它靜止在平衡位置時，指向D點的彈力為，等效重力加速度為，因此此異型擺的周期（3）懸點不固定的單擺如圖5-2-11，一質(zhì)量為M的車廂放在水平光滑地面上，車廂中懸有一個擺長為，擺球的質(zhì)量為m的單擺。顯然，當(dāng)擺球來回擺動時，車廂也將作往復(fù)運動，懸點不固定