例說圓錐曲線中證明直線過定點的問題

1、對圓錐曲線中證明（求）直線過定點的問題探討漆紹杰在圓錐曲線中直線與圓錐曲線相結合的問題是較為復雜的問題，其中有一類問題是證明（求）直線過一定點，對于這一類問題如何去思考呢？它們的共同的解題思路是怎樣的 呢？下面讓我們一起來探討一下。既然直線過一定點，說明此直線的斜率是不定的，這使我們聯(lián)想到過定點的直線系方 程，過一定點P（xo，y°）的直線系方程可以寫成的 y y° k（x x°），那么我們先可寫出 直線的方程，再根據(jù)方程判斷直線過哪一個定點。下面通過具體例子來說明。例1已知拋物線y2 2px（p 0）上有兩動點A,B及一個定點M（Xo,y。），F(xiàn)為 拋物線的焦點

2、，且I AF 1,1 MF 1,1 BF I成等差數(shù)列。（1 ）求證線段AB的垂直 平分線經(jīng)過一定點 Q（xo p,0） ； （2）若1 MF I 4 ,I OQ I 6 （ O為坐標原點）， 求此拋物線的方程。分析：(1 )設 A(X1, yd B(X2, y2),''- I AF IX1 X2,I MF I,I BF I成等差數(shù)列，xo，由此可設弦 AB的中點坐標為結合定義得x-iP2X2衛(wèi)22(Xo子）(xo,b)。y122y22p(X1X2)kABy1y2套°p ,弦AB的X1X2y1y2 b中垂線方程為：by b(xxo)yb(xXop)，故弦AB的中垂線過

3、疋點（p Xo,o）。（2）Pp略。例2:在雙曲線y2122X131的一支上有不同的二點人仕,), B(.26,6), CXm)與焦點F（0,5）的距離成等差數(shù)列。（1）求y1 y2的值。（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng) 過一定點，并求該定點的坐標。分析：（1 ）vI AF I ,I BF I,I CF I成等差數(shù)列，則結合定義得(2)由此，可設弦AC的中點坐標為(x°,6)2X213kAC% y212(xi X2)12xo2xoXiX213(力y2)13 613弦AC的中垂線方程為:y 6132xo(X X0)13X2xo13213x2xo252故弦AB的中垂線過定點25(。2)。

4、例3 :過拋物線x2 y上的定點C(1,1)作兩條互相垂直的弦CA、CB ,求證直線AB過定點。22分析：設uu uuuOA OBA%, yj, B(X2, y2)，則 2pxy?2 px?uuu uuuOA ob o(X1 1)(X2 1) (y1 1)(y2 1)所以直線AB過定點(1,2)。(x11)(X21)(X"1)(x；1)0(X11)(X21)(X11)(X21)(X11)(X21)0(X11)(X21)(x1 X22)0因為點A、B與點C 不、重合,所.以(x11)(X21)0 故 X1 x2 20y22X12X2kABy1y2X1X2，直線AB 的方程為：X1X2y

5、1(為X2)(XX1)y(X1 X2)X2X1X1X2y1y(X1x2)x X：1X2y(X1 X2)XX-IX：2 2y2(X1X2)(X1)評析：直線方程雖然被我們“強行”寫了出來，但由此方程我們根本看不出直線過哪一定 點，為此我們要利用題中所給的其它條件對此“強行”寫出的直線方程進行變形，才可以 達到我們的目的。例4: A,B是拋物線y2 2px (p 0)上的兩點，滿足 OA OB( O為坐標原點)，求分析：(1 )設 A(x1,y1), B(X2,y2)，則 yj又由UJU OAUJU OBULUOAUJUOB 0X1X2y2(2)2y12y22p(X1X2)Ky1K ABy2X1X

6、22pxi,目；2px2 (y2)2 4p2XM2 20X1X2 4p , y°24p2py y2（2）直線AB經(jīng)過一定點。證：（i）A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別是定值;直線AB的方程為y y12 P ,、2 p2 pX1(XX1 )y1y2yXy1y2y1y1y22p X y122 pmyy2p(x2p），故直線過定點(2p,0)。y1 y2y1 y2* y2評析：和上題一樣我們要利用題中所給的其它條件對此“強行”寫出的直線方程進行變形,才可以達到我們的目的。例5 :設拋物線 寸 2pX （p 0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于點，點C在拋物線的準線上，且 BC /

7、 X軸，證明直線 AC經(jīng)過原點。分析：設A（X1,yJ, B（X2,y2），則C（號，y?），直線AC的方程為y *X X1% y2 衛(wèi) 2X1(y y1)(X1 子)®y2)(xX1)(y2 y1)X (X1y1X1 y2要證直線 AC經(jīng)過原點，只需證（yy1)(X1 自 0號 y1 X1 y222py1py1 y2y122p2嚴y22p2 p)尹評析：此處不是由方程直接看出直線經(jīng)過原點,而是轉化為證常數(shù)項為0,這樣就避免了直接證帶來的困難。例6 :已知橢圓2C :X2a21(a b0)的離心率為仝且在X軸上的頂點分別為2A,（ 2,0） A2（2,0）。（1）求橢圓C的方程；（2

8、）若直線l ：X t （ t為大于2的一個定值）與x軸交于點T , P為I上的異于T的任意一點，直線 PAi, PA2分別與橢圓C交于兩點M,N，證明直線 MN經(jīng)過一個定點。分析：（i）Qe C 3,a 2 c .3,b ia 22X o故橢圓C的方程為一 y i4(2)設 M (xi, yj, N(Xi, y2),直線 AM的斜率為ki，則直線AM的方程為yki(x 2)y k(x2x42)消去 y 得(4ki2 i)x2i22i6ki x i6ki 40判別式16 0，解得Xiyi8ki24ki24ki2 ，4ki i所以點M的坐標為（8 k：4ki22 4kii '4ki2 i)，同理可設直線A2M的斜率為k2,則直線AM的方程為yk2 （x 2），所以點N的坐標為（竺4k：2i ' 4k貪），由于直線AM 與直線a2m的交點 P(t, yp)在直線1上，又yki (t2),ypk2 (t2)所以 ki (t2)k2(t2)kik2kik222t由兩點式得直線MN的方程為y yiy2yi，令y0得x I"2y y2x x X2 x44將代入得 x -，故直線MN經(jīng)過定點（一 ,0）。tt評析：此題的計