66關(guān)注三角形的外角

1、6 關(guān)注三角形的外角1.1.了解三角形外角的概念了解三角形外角的概念. .2.2.掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明. .3.3.引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對三角形引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對三角形的角作全面的思考，體會幾何中簡單不等關(guān)系的證明的角作全面的思考，體會幾何中簡單不等關(guān)系的證明. .1.1.證明命題的一般步驟證明命題的一般步驟: :(1)(1)理解題意理解題意: :分清命題的條件分清命題的條件( (已知已知),),結(jié)論結(jié)論( (求證求證););(2)(2)根據(jù)題意根據(jù)題意, ,畫出圖形畫出圖形; ;(3)(3)結(jié)合圖

2、形結(jié)合圖形, ,用符號語言寫出用符號語言寫出“已知已知”和和“求證求證”; ;(4)(4)分析題意分析題意, ,探索證明思路探索證明思路( (由由“因因”導(dǎo)導(dǎo)“果果”, , 執(zhí)執(zhí)“果果”索索“因因”.);.);(5)(5)依據(jù)思路依據(jù)思路, ,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程明過程; ;(6)(6)檢查表達(dá)過程是否正確檢查表達(dá)過程是否正確, ,完善完善. .2.2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于三角形三個內(nèi)角的和等于180180. .ABCABC中中,A+B+C= 180,A+B+C= 180. .A+B+C= 18

3、0A+B+C= 180的幾種變形的幾種變形: :A= 180A= 180(B+C).(B+C).B= 180B= 180(A+C).(A+C).C= 180C= 180(A+B).(A+B).A+B= 180A+B= 180-C.-C.B+C= 180B+C= 180-A.-A.A+C= 180A+C= 180-B.-B.這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . ABC如圖如圖. 1. 1是是ABCABC的一個外角的一個外角, 1, 1與圖中的其他角有什與圖中的其他角有什么關(guān)系么關(guān)系? ?1+4=1801+4=180；1212；1313；1=2+3.1=2+3.ABCD

4、1234證明證明: :2+3+4=1802+3+4=180 ( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理),), 1+4=180 1+4=180 ( (平角的定義平角的定義),), 1= 2+3.( 1= 2+3.(等量代換等量代換).). 12,13( 12,13(和大于部分和大于部分).).用文字表述為用文字表述為: :三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. .三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角. .在這里在這里, ,我們通過三角形內(nèi)角和定理我們通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個新定理直接推

5、導(dǎo)出兩個新定理. .像這樣像這樣, ,由一由一個公理或定理直接推出的定理個公理或定理直接推出的定理, ,叫做這個公理或定理的叫做這個公理或定理的推論推論. .推論可以當(dāng)作定理使用推論可以當(dāng)作定理使用. .三角形內(nèi)角和定理的推論三角形內(nèi)角和定理的推論: :推論推論1:1: 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. .推論推論2:2: 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角. .ABCD1234ABCD1234ABCABC中中: : 1=2+3;1=2+3;12,13.12,13.這個結(jié)論以后可以直

6、接運(yùn)用這個結(jié)論以后可以直接運(yùn)用. .例例1 1 已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,EAC,B= C. B= C. 求證求證:ADBC.:ADBC.分析分析: :要證明要證明ADBC,ADBC,只需要證明只需要證明“同位角相等同位角相等”, ,“內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等”或或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)”. .證明證明: :EAC=B+C (EAC=B+C (三角形的一個外角等于和它不相三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和鄰的兩個內(nèi)角的和),B=C (),B=C (已知已知),),C= EAC(C= EAC(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).ADAD平分

7、平分 EAC(EAC(已知已知).).DAC= EAC(DAC= EAC(角平分線的定義角平分線的定義).).DAC=C(DAC=C(等量代換等量代換).).ADBC(ADBC(內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等, ,兩直線平行兩直線平行).).ACDBE例題是運(yùn)用了例題是運(yùn)用了定理定理“內(nèi)錯角內(nèi)錯角相等相等, ,兩直線兩直線平行平行”得到了得到了證實(shí)證實(shí). .2121例例1 1 已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,EAC,B= C. B= C. 求證求證:ADBC.:ADBC.分析分析: :要證明要證明ADBC,ADBC,只需要證明只需要證明“同位角相等同位

8、角相等”, ,“內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等”或或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)”. .證明證明: :推理可得推理可得: :DAC=C (DAC=C (已證已證),),BAC+B+C =180BAC+B+C =180( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理).). BAC+B+DAC =180 BAC+B+DAC =180 ( (等量代換等量代換).). ADBC( ADBC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ), ,兩直線平行兩直線平行).). 這里是運(yùn)用了定理這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ), ,兩直線平行兩直線平行”得到了證實(shí)得到了證實(shí). .ACDBECABF1345ED2例例2 2 已知已知: :如圖

9、如圖, ,在在ABCABC中中, 1, 1是是它的一個外角它的一個外角, E, E為邊為邊ACAC上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,延延長長BCBC到到D,D,連接連接DE.DE.求證求證: 12.: 12.證明證明: :11是是ABCABC的一個外角的一個外角( (已知已知),),13(13(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角的內(nèi)角).).33是是CDECDE的一個外角的一個外角 ( (外角定義外角定義).).32(32(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角的內(nèi)角).).12(12(不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)).).

10、把你所悟到的證明一個真命題的把你所悟到的證明一個真命題的方法方法, ,步驟步驟, ,書寫格式以書寫格式以及注意事項(xiàng)及注意事項(xiàng)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為一種方法一種方法. .ABCD1.1.已知已知: :如圖所示如圖所示, ,在在ABCABC中中, ,外角外角DCA=100DCA=100,A=45,A=45. .求求:B:B和和ACBACB的大小的大小. .解解: :DCADCA是是ABCABC的一個外角的一個外角( (已知已知),),DCA=100DCA=100( (已知已知),),A=45A=45( (已知已知),),B=100B=100-45-45=55=55.(.(三角形的一個外角等于和它不三角形的一

11、個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和相鄰的兩個內(nèi)角的和).).又又DCA+BCA=180DCA+BCA=180( (平角定義平角定義).).ACB=80ACB=80( (等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)).).2.2.已知已知: :國旗上的正五角星形如圖所示國旗上的正五角星形如圖所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度數(shù)的度數(shù). .分析分析: :設(shè)法利用設(shè)法利用外角外角把這五個角把這五個角“湊湊”到一個三角形中到一個三角形中, ,運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求解運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來求解. .ABCDEF1H2解解: :11是是BDFBDF的一個外角的一個外角( (外角的定義外角的定義),),

12、1=B+D( 1=B+D(三角形的一個外角等于和它不相鄰的三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和兩個內(nèi)角的和).).又又 2 2是是EHCEHC的一個外角的一個外角( (外角的定義外角的定義),), 2=C+E( 2=C+E(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和個內(nèi)角的和).).又又A+1+2=180A+1+2=180( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理).). A+B+C+D+E =180 A+B+C+D+E =180( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).3.3.已知已知: :如圖所示如圖所示. . 求證求證:BDC:BDCA.A.證明證明: :(1

13、) BDC(1) BDC是是DCEDCE的一個外角的一個外角( (外角定義外角定義),), BDCCED( BDCCED(三角形的一個外角三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個外角大于和它不相鄰的任何一個外角).). DEC DEC是是ABEABE的一個外角的一個外角 ( (外角定義外角定義),), DECA( DECA(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個外角何一個外角).). BDCA ( BDCA (不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)).).BCADE1 1. .（河北（河北中考）如圖，在中考）如圖，在ABCABC中，中，D D是是BCBC延長線上一點(diǎn)，延長

14、線上一點(diǎn)，B = 40B = 40，ACD = 120ACD = 120，則則A A等于等于( )( )(A)60(A)60 (B)70 (B)70 (C)80 (C)80 (D)90 (D)90【解析解析】選選C.C.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，ACD ACD =B+A=B+A，所以，所以A=ACD -B= 120A=ACD -B= 120-40-40= 80= 80. .2.2.如圖，如圖，ABCDABCD，則下列說法正確的是，則下列說法正確的是( )( )(A)3=21+2(A)3=21+2(B)3=21-2(B)3=21-2(C)3=1+2(C)3=1+2(D)

15、3=180(D)3=180-1-2-1-2【解析解析】選選C.ABCDC.ABCD，1=BCD1=BCD，3 3是是CODCOD的外角，的外角，3=2+BCD=2+1.3=2+BCD=2+1.3.3.如圖，直線如圖，直線abab, ,則則ACB=_.ACB=_.【解析解析】延長延長BCBC交直線交直線a a于點(diǎn)于點(diǎn)D D，直線直線abab, ,ADC=B=50ADC=B=50. .ACBACB是是ACDACD的外角，的外角，ACB=A+ADC=28ACB=A+ADC=28+50+50=78=78. .答案：答案：78784.4.如圖，已知如圖，已知CECE為為ABCABC外角外角ACDACD的平分線，的平分線，CECE交交BABA的的延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)E E，求證：，求證：BACBACB.B.【證明證明】CECE平分平分ACDACD1=21=2BACBAC1 1BACBAC2 222B BBACBACB B理解幾何命題證明的方法理解幾何命題證明的方法, ,步驟步驟, ,格式及注意事項(xiàng)格式及注意事項(xiàng). .三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理. . 三角形三個內(nèi)角的和等于三角