高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié).8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？ （定義域、對應法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備) 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 函數(shù)定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) l 余切函數(shù) l 反三角函數(shù)的定義域函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是，函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, ，函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是.

2、，函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10. 如何求復合函數(shù)的定義域？ 義域是_。 復合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。11、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他

3、方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂6、函數(shù)單調(diào)性法 7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法 例求函數(shù)y=+的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=x-2+x+8=AB=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=x-2+x+8AB=10故所求函數(shù)的值域為：10，+

4、）多種方法綜合運用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂 15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負號或者與1的關(guān)系(2)參照圖象

5、：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當c0時，它們是同向變化的；當c0時，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數(shù)f1

6、(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復合函數(shù)yF(x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 ）16. 如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

7、？ 值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值為3）17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點對稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(

8、x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個周期。） 我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數(shù)周期2t. 推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱， 對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎

9、？ 聯(lián)想點（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0) （這是書上的方法，雖然我從來不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標。 看點和原點的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。） 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k為斜率，b為直線與y軸的交點) 的雙曲線。 應用：

10、“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?20. 你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？ 21. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 例1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f(x)0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明

11、函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當x0時，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號.例3已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當0x1時，f（x）0，1.（1） 判斷f（x）的奇偶性；（2） 判斷f（x）在0，上的單調(diào)性，并給出證明；（3） 若a0且f（a1），求a的取值范圍.分析：（1）令y

12、1； （2）利用f（x1）f（x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；對任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y0；（2）令yx0例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用313；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式. 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意

13、.有些抽象函數(shù)問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）1，求證

14、：（1） 當x0時，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是減函數(shù).分析：（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），進而由x1x2，有f（x1x2）1.練習題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對任意實數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對2. 若對任意實數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）1，則當x0時，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1）