【2019-2020年度】中考數(shù)學(xué)黃金知識(shí)點(diǎn)系列專題16直角三角形

1、1 / 12 【2019-2020 年度】中考數(shù)學(xué)黃金知識(shí)點(diǎn)系列專題 16 直角三角形 聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解 一、 直角三角形 1. 定義 有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形 2. 性質(zhì) （1） 直角三角形兩銳角互余. （2） 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30,那么它所對(duì)的直角邊等于 斜邊的一半； （3） 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半 . 3. 判定 （1） 兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形. （2） 三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角 形 二、 勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2

2、=c2; 2. 勾股定理的逆定理 2 / 12 如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三 角形. 三、直角三角形全等的判定: 對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，除了有一般三角形全等的判定方 法，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）： 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直 角邊”或“ HL” 四、互逆命題、互逆定理 1. 互逆命題 如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，我們把風(fēng)這兩個(gè)命 題叫做互逆命題.把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題 . 2. 互逆定理 若一個(gè)定理的逆命題是正確的， 那么它就是這個(gè)定理的

3、逆定理， 稱這兩個(gè)定 理為互逆定理. 名師點(diǎn)睛典例分類 考點(diǎn)典例一、直角三角形的判定 【例1】 （2016湖北鄂州第15題）如圖，AB= 6, O是AB的中點(diǎn)，直線I經(jīng) 過點(diǎn)QZ 1 = 120 P是直線I上一點(diǎn)。當(dāng)厶APB為直角三角形時(shí)，AP= . 【答案】3或3或3. 3 J 【解析】 考點(diǎn)：分類討論思想. 【舉一反三】 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（） 3 / 12 A. 4,5,6 B. 1.5,2 , 2.5 C. 2,3,4 D. 1, , 3 2【答案】B. 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理的逆定理. 考點(diǎn)典例二、直角三角形的性質(zhì) 【例2】（2016湖北隨州第13題）如圖，在

4、ABC中，/ ACB=90 , M N分 別是AB AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)D,使CD=BD連接DM DN MN若AB=6則 DN= 【答案】3. 【解析】 試題分析：連接CM,根據(jù)三角形中位線定理得SH NM=1CB, MN/ BC,又CD=1BD.可得WNHD,又由MN/BC, 2 3 可得四邊形是平行四邊形，所嘆DPC町根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM= 1加勺 即可得DN=3 . 1 考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì). 【舉一反三】 1. （2016貴州銅仁第9題）如圖，已知/ AOB=30 , P是/ AOB平分線上一 點(diǎn)，CP/ OB交OA于點(diǎn)C,

5、 PD! OB垂足為點(diǎn)D,且PC=4則PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B. 4 / 12 【解析】 試題分析：過點(diǎn)P作PEL 0A于點(diǎn)E,TOP是/ AOB勺平分線，二PE=PD v PC/ OB, / POD$ OPC / PCE=/ POCy OPC2 POCy POD$ AOB=30，二 PE=PC=2 PD=2 故選 B.丄 2 考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形. 考點(diǎn)典例三、直角三角形斜邊上的中線 【例3】（2016遼寧葫蘆島第9題）如圖，在厶ABC中，點(diǎn)D, E分別是邊AB, AC的中點(diǎn)，AFLBC垂足為點(diǎn)F,/ ADE=30 , DF=

6、4則BF的長為（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D . 4、3 3 【答案】D. 【解析】 試題分析：在RTAAEF中，ZAFB=90 ；皿DBDIM,利用直角三角形料邊中線性質(zhì)可得AB=2DF8J再由 - 1 . - AD=DB, AE=EC,可得 BE / BC, ZADE=ZABF30C ,所以 A* 上 AB=4由勾股定理可得 BF4 -故選 D . 考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上的中線的 性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律. 【舉一反三】 （2016四川達(dá)州第9題）如圖，在厶ABC中, BF平分/ ABC

7、AFL BF于點(diǎn)F, D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長交AC于點(diǎn)E.若AB=1Q BC=16則線段EF的長為 （ ） 【答案】B. 5 / 12 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】試題分析:已知AF丄BFjABhSD為AB中點(diǎn)， 根抿直角三角形抖邊上中線是斜邊的一半可得DF AB=AI)=BD=5 士 且ZABFZEFD又因BF平分ZABC,可得ZCBFZDFB即DE；/BC可判定AADEVAAEC?根1S相似三角 形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得EE=8,由EF=DE - DF=8S=3.故答素選B 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì). 考點(diǎn)典例四、命題 【例

8、4】(2016年福建龍巖第4題)下列命題是假命題的是( ) A 若 |a|=|b| ，貝卩 a=b B. 兩直線平行，同位角相等 C. 對(duì)頂角相等 D. 若b2- 4ac0,則方程ax2+bx+c=0 (a0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 【答案】A. 【解析】 試題分析：選項(xiàng)A：若a=1, b=-1，則|a|=|b| ，但ab,此命題為假命題； 選項(xiàng)B:兩直線平行，同位角相等是真命題；選項(xiàng) C:對(duì)頂角相等是真命題；選 項(xiàng)D:若b2- 4ac0,則方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根是真命題. 故選A. 考點(diǎn)：命題與定理. 【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的有關(guān)問題，對(duì)于假命題舉出反例證明即

9、可. 【舉一反三】 【答案】D. 6 / 12 （2016內(nèi)蒙古包頭第10題）已知下列命題：若ab,則a2b2;若a 1，則（a- 1） 0=1;兩個(gè)全等的三角形的面積相等；四條邊相等的四邊形 是菱形.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A. 4個(gè)B . 3個(gè)C . 2個(gè)D . 1個(gè) 【答案】D. 【解析】 試題分析：當(dāng)a=0, b=- 1時(shí)，a2v b2,所以命題“若ab,則a2b2” 為假命題，其逆命題為若a2b2;,則ab “，此逆命題也是假命題，如a二-2, b=- 1;若a 1,則（a - 1） 0=1，此命題為真命題，它的逆命題為：若（a- 1） 0=1,則a 1,此逆命題

10、為假命題，因?yàn)椋╝- 1） 0=1,則a 1;兩個(gè)全等的 三角形的面積相等，此命題為真命題，它的逆命題為面積相等的三角形全等， 此逆命題為假命題；四條邊相等的四邊形是菱形，這個(gè)命題為真命題，它的逆命 題為菱形的四條邊相等，此逆命題為真命題.故答案選 D. 考點(diǎn)：命題與定理. 課時(shí)作業(yè)能力提升 一、選擇題 1. （2016貴州銅仁第6題）下列命題為真命題的是（ ） A. 有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角 B. 多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是x3 -4x x（x2 -4） C. a a 二 a2 D. 元二次方程無實(shí)數(shù)根x2 - x 2 = 0 【解析】 7 / 12 考點(diǎn)：命題與定理. 2. （2016湖南岳

11、陽第7題）下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A. 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 C. 菱形的對(duì)角線相等 D. 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形 【答案】C. 【解析】 試題井析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，選項(xiàng)A正確；根據(jù)直角三 角形斜邊上的中線的性際 可得直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半選項(xiàng)B正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)， 菱形的對(duì)角線互相垂直，但是不一定相等，選項(xiàng)匚不正斷 根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可得常見的中心對(duì) 稱圖形有：平行四邊形、圓形、正方形、長方形選項(xiàng)D正確.故答案選 B 考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；角平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊

12、上的中線；菱形的性質(zhì). 3. （2016黑龍江綏化第6題）如圖，小雅家（圖中點(diǎn) O處）門前有一條東 西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點(diǎn) A處）在距她家北偏東60方向的500 米處，那么水塔所在的位置到公路的距離 AB是（ ） A. 250米 B.米 C.米 D.米 250、匕500 3 5002 3 【答案】A. 【解析】 試題分析：由題意 / AOB=90 - 60 =30 , 0A=500, v AB丄OB,/ ABO=90，二 AB=AO=25米.故選 A. 1 8 / 12 2 考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題. 4. （2016四川南充第7題）如圖，在Rt ABC中，/ A=3

13、0, BC=1點(diǎn)D, E分別是直角邊BC AC的中點(diǎn)，貝 S DE的長為（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1+ 3 3 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，T在 Rt ABC中，/ C=90，/ A=30,A AB=2BC=2 又 點(diǎn)D E分別是AC BC的中點(diǎn)，二DE是厶ACB的中位線， DE=AB=.1故選A.丄 2 考點(diǎn)：三角形中位線定理；含 30度角的直角三角形. 5. （2016廣東廣州第7題）如圖2,已知三角形 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC的垂直平分線，DE交AB于D,連接CD CD=（） A、3 B 、4 C 、4.8 D 、5 【答案】D. 【

14、解析】 試題分析：已知AE=1O, ACS.眈詣,根據(jù)勾股定理的逆定理可判定AABC為直角三角形又因DE為AC邊的 1 中垂線可得加丄曲，AE-CEM,所OE為三角形ABC的中位線，即可得DE-BC=3J再根據(jù)勾股定理求 出故答秦選D. 考點(diǎn)：勾股定理及逆定理；中位線定理；中垂線的性質(zhì). 二、填空題 6. （2016黑龍江哈爾濱第17題）在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , 9 / 12 AC=3點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP則AP的長為 【答案】或13、10 【解析】 試題分析：如圖 1,vZ ACB=90 , AC=BC=3 丁 PB二BC=,1 二 CP=2 二， 1 AP

15、 二.AC2 PC2 二 13 3 如圖 2,vZ ACB=90 , AC=BC=3 v PC=BC=, A, AP的長為 或.1 AP “AC2 PC2 二 10 .13、10 3 考點(diǎn)：1分類思想；2等腰直角三角形. 7. （2016湖北武漢第16題）如圖，在四邊形 ABCD中, Z ABC= 90, AB =3, BC= 4, CD= 10, DA=，貝卩 BD的長為 _ . 5j5 【答案】2. .41 【解析】 試題分析：連接如過點(diǎn)刀作西邊上的高，交圧延長線于點(diǎn)乩在毗磁中，血=3, 又DA= 5J5 ;可知國必為直角三角形且,易證 ABCACHD,則CH= DH=Sj, 考點(diǎn)：相似三

16、角形判定及性質(zhì)；勾股定理 8. 在厶ABC中, Z B=30, AB=12 AC=6 貝卩 BC= 【答案】.6、.3 【解析】 10 / 12 試題分析：T/ B=30, AB=12 AC=6 :. ABC是直角三角形，二 BC= 故答案為：.AB2 AC2 122 -62 6.3 6.3 考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理. 9. 如圖，在 Rt ABC中, Z ABC=90 , AB=3 AC=5 點(diǎn) E在 BC上，將 ABC 沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B處，則BE的長為 【答案】.？ 2 【解析】 考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用. 10. （

17、2016福建莆田第16題）魏朝時(shí)期，劉徽利用下圖通過“以盈補(bǔ)虛， 出入相補(bǔ)”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類”， 證明了勾股定理.若圖中 BF= 1, CF= 2,則AE的長為 _ . 【答案】.3帀 【解析】 試題分析：二FC, /.3： C=l： 2彷 3+（5H二衛(wèi)N JQ： + DE：二J于+9：二弭仍.故答案為：3 価. 考點(diǎn)：勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 11. （2016福建泉州第14題）如圖，在Rt ABC中, E是斜邊AB的中點(diǎn)， 若 AB=10 則 CE= . 【答案】5. 【解析】 試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 可

18、得CE二AB=54 11 / 12 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線. 三、解答題 12. （2016貴州貴陽第18題）（10分）如圖，點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn)， 點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)， EBF是等腰直角三角形，其中/ EBF=90，連接CE CF. （1） 求證： ABFA CBE （2） 判斷 CEF的形狀，并說明理由. 【答案】（1）證明見解析；（2）4CEF是直角三角形. 【解析】 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形. 13. （2016湖北襄陽第19題）（本小題滿分6分） 如圖，在 ABC中. AD平分/ BAC且BD=CD DEL AB于點(diǎn)E, DF丄AC于點(diǎn) F. （1） 求證：AB=AC （2） 若 AD=2 / DAC=30，求 AC 的長.屈 【答案】（1）詳見解析；（2） 4. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 DE=DF再根據(jù)HL證明；根據(jù)全等 三角形的性質(zhì)可得，即可證得AB=AC （2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得， 在Rt?ADC中，AD=2 / DAC=30，即可求得 AC的 長.Rt BDE 三 Rt CDF B =/C AD _ BC 3 試題解析：（1）證明：T AD平分/ BAC DEI AB, DFL AC /. DE=DF 在 Rt?ADC中， DAC =30 ,A