彈性力學與有限元分析-第四章 平面問題有限元分析及程序設計ppt課件

1、第四章第四章 平面問題有限元分析及程序設計平面問題有限元分析及程序設計4.1 平面問題單元離散平面問題單元離散4.2 平面問題單元位移模式平面問題單元位移模式4.3 平面問題單元分析平面問題單元分析4.4 平面問題整體分析平面問題整體分析4.5 平面問題有限元程序設計平面問題有限元程序設計有限單元法及程序設計有限單元法及程序設計有限元網(wǎng)格劃分的基本原則有限元網(wǎng)格劃分的基本原則 網(wǎng)格數(shù)目 網(wǎng)格疏密 單元階次 網(wǎng)格質量 網(wǎng)格分界面和分界點 位移協(xié)調性 網(wǎng)格布局 結點和單元編號 網(wǎng)格自動剖分網(wǎng)格數(shù)量網(wǎng)格數(shù)量2020萬萬最小網(wǎng)格尺度最小網(wǎng)格尺度150m150m最大網(wǎng)格尺度最大網(wǎng)格尺度3500m3500

2、m平面問題單元：平面問題單元：平面應力：平面應力：三角形板三角形板平面應變：平面應變：三棱柱三棱柱平面問題結點：平面問題結點：平面問題約束：平面問題約束：平面問題荷載：平面問題荷載：三角形單元三角形單元絞結點絞結點絞支座、鏈桿絞支座、鏈桿結點荷載和非結點荷載結點荷載和非結點荷載幾個重要概念：幾個重要概念：4.1 平面問題單元離散平面問題單元離散基本量和方程的矩陣表示基本量和方程的矩陣表示xyfff體積力體積力xyfff面力面力應力應力xyxy應變應變xyxy基本量和方程的矩陣表示基本量和方程的矩陣表示位移位移udv 物理方程物理方程2101011002xxyyxyxyE簡寫為簡寫為D只要知道了

3、單元的位移函數(shù)，就可由幾何方程求出應變，再由物只要知道了單元的位移函數(shù)，就可由幾何方程求出應變，再由物理方程就可求出應力。理方程就可求出應力。幾何方程：幾何方程：4.2 單元位移模式單元位移模式 Tyuxvyvxu Tmmjjiievuvuvu有限單元法：未知量是結點的位移分量有限單元法：未知量是結點的位移分量那么單元內任意一點的位移跟結點位移有什么關系呢？那么單元內任意一點的位移跟結點位移有什么關系呢？因此說，只要知道了位移場的分布，即可解決上述問題。因此說，只要知道了位移場的分布，即可解決上述問題。i (xi, yi)位移模式：單元位移場分布形式位移模式：單元位移場分布形式4.2 單元位移

4、模式單元位移模式iujujvivmumvxyj (xj, yj)m (xm, ym),(yxfuu),(yxfvv),(iiuiyxfu ),(jjujyxfu ),(mmumyxfu ),(iiviyxfv ),(jjvjyxfv ),(mmvmyxfv 建立一個坐標系，如下圖所示：建立一個坐標系，如下圖所示：假定位移模式如下所示：假定位移模式如下所示：三個結點的位移也必定滿足三個結點的位移也必定滿足位移場函數(shù)，因此有：位移場函數(shù)，因此有：位移函數(shù)的選取是任意的，所選取的位移函數(shù)越接近于真實情況，所位移函數(shù)的選取是任意的，所選取的位移函數(shù)越接近于真實情況，所求得的形變和內力結果就越準確。求得

5、的形變和內力結果就越準確。yxu321 最簡單的位移場函數(shù)是線性函數(shù)，即：最簡單的位移場函數(shù)是線性函數(shù)，即：yxv654 iiiuyx321 iiivyx654 jjjuyx321 jjjvyx654 mmmuyx321 mmmvyx654 位移模式的選取位移模式的選取邊界條件：在三個結點也應滿足位移場函數(shù)；邊界條件：在三個結點也應滿足位移場函數(shù)；i 結點結點j 結點結點m 結點結點其中，其中， 、 、 、 、 、 是系數(shù)，由邊界條件求得。是系數(shù)，由邊界條件求得。1231234.2 單元位移模式單元位移模式4.2 單元位移模式單元位移模式 寫成矩陣形式123456100000011000=00

6、0110000001iiiiiijjjjjjmmmmmmxyuxyvxyuxyvxyuxyvyxu321 2A iycxbaNiiimmiyaxyx jjmiyb1y1- jmixc1x1 j位移模式的選取位移模式的選取因此，因此， 、 、 是是 、 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；123iujumu同樣，同樣， 、 、 是是 、 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；455ivjvmv代入位移場函數(shù)，那么代入位移場函數(shù)，那么 是是 、 、 的線性函數(shù)，即：的線性函數(shù)，即：uiujumummjjiiuNuNuN其中，其中， 、 、 是系數(shù)，是是系數(shù)，是 、 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；iNjNmNxy可以求得：

7、可以求得：mmjjiiyxyxyxA11121 其中：其中：留意：留意：i, j, m 必須是逆時針必須是逆時針排列，否則面排列，否則面積為負。積為負。(i, j, m )同理，可求得同理，可求得 、 ，且下標可輪換，且下標可輪換 ；jNmNmmjjiivNvNvNyxv654 同理可得：同理可得：4.2 單元位移模式單元位移模式j上式也可以寫成：上式也可以寫成：形函數(shù)的性質：形函數(shù)的性質：mmjjiimmjjiyxyxyxyxyxyxN111111 iiNjiNmiNj i oiNoiN jiidsNAidxdyN(i, j, m) 、 、 表明了單元的位移表明了單元的位移形態(tài)位移在單元的變

8、化規(guī)律）形態(tài)位移在單元的變化規(guī)律）iNjNmN稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù)稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù) 、 、 是坐標是坐標 (x 、y ) 的的線性函數(shù)；線性函數(shù)；iNjNmNim11/21/3j i21A311002131(i, j, m)4.2 單元位移模式單元位移模式位移函數(shù)：位移函數(shù)：mmjjiiuNuNuNyxu321 mmjjiivNvNvNyxv654 由于由于 、 、 是坐標是坐標 (x 、y ) 的線性函數(shù)，的線性函數(shù)，iNjNmN),(mjiuuu因此，因此， u、v 也是也是 、 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。),(mjivvvjimiujumujimivjvmv4.2 單元位移模式

9、單元位移模式因此，因此， u、v 在坐標空間應該為一平面。在坐標空間應該為一平面。位移寫成向量形式：位移寫成向量形式： mmjjiimmjjiivNvNvNuNuNuNvud mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNN000000 eNdmmmjjjiiimmmjjjiiivNuvNuvNuvuNvuNvuN000000 N稱為形函數(shù)矩陣。稱為形函數(shù)矩陣。4.2 單元位移模式單元位移模式有限元分析中，應力轉換矩陣、剛度矩陣都是依賴于位移模式建立有限元分析中，應力轉換矩陣、剛度矩陣都是依賴于位移模式建立起來的，因此，位移模式必須能夠反映彈性體的真實位移形態(tài)，才起來的，因此，位移模式必須能夠

10、反映彈性體的真實位移形態(tài)，才能得到正確的解答。能得到正確的解答。位移模式需要滿足的條件：位移模式需要滿足的條件：（1位移模式必須能夠反映單元的剛體位移；位移模式必須能夠反映單元的剛體位移；（2位移模式必須能夠反映單元的常應變；位移模式必須能夠反映單元的常應變；（3位移模式盡可能反映位移的連續(xù)性；位移模式盡可能反映位移的連續(xù)性；必要條件必要條件充分條件充分條件yxu321 yxv654 xvvyuu0010 u40 v2 35剛體平動剛體平動剛體轉動剛體轉動作業(yè)：作業(yè)：P141 6-14.2 單元位移模式單元位移模式53531222xyy53534622yxx單元應變單元應變4.3 平面問題的單

11、元分析平面問題的單元分析4.3.1 單元的應變向量單元的應變向量 xvyuyvxummjjiimmjjiimjimjivuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN000000mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbccccbbbA00000021由幾何方程求。由幾何方程求。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.1 單元的應變向量單元的應變向量 eB mmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021 iiiiibccbAB0021可以簡寫為可以簡寫為:mjiBBB其中其中: B是單元的應變矩陣，且是單元的應變矩陣，且:所以所以:

12、(i, j, m)常量常量因此，單元應變是常數(shù)。因此，單元應變是常數(shù)。所以，三角形單元又稱為常應變單元。所以，三角形單元又稱為常應變單元。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.2 單元的應力向量單元的應力向量 eBDD eeSBD mjiSSSS iiiiiiibccbcbAES2121)1 (2221E1E單元應力單元應力由物理方程求。由物理方程求。其中其中:其中其中: S是單元的應力矩陣，且是單元的應力矩陣，且:平面應力平面應力:平面應變平面應變:(i, j, m)常量常量因此，應力也與坐標無關，所以單元應力是常數(shù)。因此，應力也與坐標無關，所以單元應力是常數(shù)。4.3 平面問題

13、的單元分析平面問題的單元分析單元性質分析單元性質分析位移位移是是x、y的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；誤差是誤差是 x、 y的二階小量；的二階小量；應變應變應力應力常量；常量；相鄰單元連續(xù)相鄰單元連續(xù)相鄰單元不連續(xù)相鄰單元不連續(xù)誤差是誤差是 x、 y的一階小量；的一階小量；提高精度方法：提高精度方法：1減小單元尺寸；減小單元尺寸；2采用高次位移函數(shù)，提高位移、應變和應力的精度；采用高次位移函數(shù)，提高位移、應變和應力的精度；收斂速度和精度估計 若單元的插值函數(shù)是完備而協(xié)調的，當單元尺寸不若單元的插值函數(shù)是完備而協(xié)調的，當單元尺寸不斷縮小而趨于零時，有限元解將趨于真正解。斷縮小而趨于零時，有限元解將趨于真

14、正解。 在有些情況下，如果用于有限元場函數(shù)近似解的多在有些情況下，如果用于有限元場函數(shù)近似解的多項式能精確地擬合真正解，則在有限數(shù)目的單元劃分項式能精確地擬合真正解，則在有限數(shù)目的單元劃分甚至僅僅是一個單元的條件下，也能得到精確的解答甚至僅僅是一個單元的條件下，也能得到精確的解答。例如真正解是二次函數(shù)，若有限元的插值函數(shù)也包含。例如真正解是二次函數(shù)，若有限元的插值函數(shù)也包含了二次的完全多項式，則有限元解就能得到精確的解答了二次的完全多項式，則有限元解就能得到精確的解答。由此我們可以得到精度與單元尺寸的關系。例如位移。由此我們可以得到精度與單元尺寸的關系。例如位移可以展開成可以展開成Taylor

15、Taylor級數(shù)：級數(shù)：iiiuuuuxyxy 這只是形式上的精度估計，并不能對有限元解的誤差做出具體的估計。而后者在這只是形式上的精度估計，并不能對有限元解的誤差做出具體的估計。而后者在實際分析工作中更有用。一般可以通過兩種途徑解決：實際分析工作中更有用。一般可以通過兩種途徑解決：單元結點力單元結點力4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.3 單元的單元的 剛度矩陣剛度矩陣 TmymxjyjxiyixemjieFFFFFFFFFF eeSBD Tmmjjiiemjievuvuvu Tmmjjiiemjievuvuvu* eB*單元結點位移單元結點位移單元應力向量：單元應力向量：給

16、定一個虛位移：給定一個虛位移：單元虛應變：單元虛應變：i (xi, yi)iujujvivmumvxyj (xj, yj)m (xm, ym)虛功原理虛功原理: :內力虛功等于外力虛功內力虛功等于外力虛功4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析4.3.3 單元的單元的 剛度矩陣剛度矩陣 eTeF* tdxdyFATeTe* eATetdxdyBDBF eek tdxdyAT* tdxdyBDBAeTe* tdxdyBDBAeTTe* eATTetdxdyBDB*t 為單元厚度為單元厚度由于虛位移是任意給定的可能位移，故：由于虛位移是任意給定的可能位移，故： ek其中，其中， 是單元的剛度矩

17、陣是單元的剛度矩陣 (6 6)；4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 emmemjemiejmejjejieimeijeiiekkkkkkkkkk AtBDBksTrerssrsrsrsrsrsrsrsrersbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1 (42 tdxdyBDBkATe tdxdyBDBAT tABDBT單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為：寫成分塊矩陣：寫成分塊矩陣：其中：其中：平面應力：平面應力：平面應變：平面應變：;,mjir ;,mjis 21E1E 211111122222211111122222211224 1iiiiiiiiijijijij

18、imimimimiiiiiiiijijiijijm im iimimijijjijiebbccbccbbbccbccbbbccbccbbccbccbbb cc bccbbb cc bccbbbbccb cc bEtkA111122221111112222221111122222jjjjjjjjjmjmjmjmijijijijjjjjjjjjmjmjjmjmimimm im ijmjmmjmjmmmb bc cb cc bb bc cb cc bbccbccbbb cc bc cb bb cc bc cb bbbccb cc bb bc cb cc bb bc12111111222222mmmm

19、mimimimimjmjmjmjmmmmmmmmmcb cc bbccbccbbb cc bc cb bb cc bc cb b寫成元素矩陣：寫成元素矩陣：4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析ersk單元剛度矩陣的特點：單元剛度矩陣的特點：1) 對稱性：對稱性：esrk2) 與單元尺寸無關，放大或縮小尺寸，單元剛度矩陣不變；與單元尺寸無關，放大或縮小尺寸，單元剛度矩陣不變；3奇異性：它不存在逆陣奇異性：它不存在逆陣4主元對角線元素恒正主元對角線元素恒正4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為： 222222222222222210212100210

20、2121212121212121021002121021)1 (4 hlhlhlhhlhhlhlhlhhllhllhlhhlhlhlhllhllhllhlhllAEtk單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為： kk作用在單元上的荷載，既有結點荷載，也有非結點荷載，作用在單元上的荷載，既有結點荷載，也有非結點荷載，因此需要將非結點荷載轉換成等效的結點荷載。因此需要將非結點荷載轉換成等效的結點荷載。4.3.4 等效結點荷載等效結點荷載等效結點荷載和原荷載在任何虛位移產生的虛功相等；等效結點荷載和原荷載在任何虛位移產生的虛功相等；剛體：剛體：等效原則：等效原則：4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分

21、析結點荷載：結點荷載：非結點荷載：非結點荷載：直接集成到荷載列向量；直接集成到荷載列向量；等效成結點荷載；等效成結點荷載；原荷載與等效結點荷載在任一軸上的投影之和相原荷載與等效結點荷載在任一軸上的投影之和相等，對任一軸的力矩之和也相等。等，對任一軸的力矩之和也相等。等效結點荷載向量：等效結點荷載向量： TLmyLmxLjyLjxLiyLixeLFFFFFFF靜力等效靜力等效4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 eTNyxvyxud*),(),( Tyxggf Tmmjjiievuvuvu* tdxdyfdFATeLTe*1體積力的等效結點荷載體積力的等效結點荷載單元結點為單元結點為 i

22、, j, m，密度為，密度為 ，任意一點的體積力向量為：，任意一點的體積力向量為：假設單元各結點發(fā)生虛位移：假設單元各結點發(fā)生虛位移：則單元內任意一點的虛位移為：則單元內任意一點的虛位移為：根據(jù)虛功原理：根據(jù)虛功原理： tdxdyfNATTe* tdxdyfNATTe*4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析 tdxdyfNFATeL1體積力的等效結點荷載體積力的等效結點荷載因此，則有：因此，則有：一般情況下，重力與一般情況下，重力與y軸軸方向相反：方向相反： Tgf 00LmxLjxLixFFFdxdyNgtFAiLiygtA31因此，則有：因此，則有：LiyLmyLjyFFFgtA31

23、 0000=000000TeLAiijAjmmTijmAFNfdxdy tNNNdxdy tNgNNgNgNgNdxdy t結論：三個結點各承擔結論：三個結點各承擔總荷載的三分之一。總荷載的三分之一。4.3 平面問題的單元分析平面問題的單元分析2分布荷載的等效結點荷載分布荷載的等效結點荷載ixyjmqxqyq Tyxqqqf TeLqijFNfds t如圖所示均布荷載，集度如圖所示均布荷載，集度為為q，那么：，那么：則等效結點荷載為：則等效結點荷載為： *TeTeLqijFdfds t *TeTqijNfds t *TeTqijNfds tj itqFFxLjxLix210LmxFj itqF

24、FyLjyLiy210LmyF 000=000TeLqijiixjyjijmmTxiyixjyjxmymijFNfds tNNqNds tqNNNq Nq Nq Nq Nq Nq Nds t結論：沿該荷載作用的結論：沿該荷載作用的邊上的兩個結點各承擔邊上的兩個結點各承擔總荷載的一半?？偤奢d的一半。如圖所示線性分布荷載：如圖所示線性分布荷載：ij連線連線與與x軸夾角為軸夾角為xyijm TeLqijTxiyixjyjxmymijFNfds tq Nq Nq Nq Nq Nq Nds tqsinxsqql1isNl 1122sincossincos003 23 23 23 2TeLqtlqtlqtlqtlFxyijmiljliiFqlslss TeLqijTxiyixjyjxmymijFNfds tq Nq Nq Nq Nq Nq Nds t1isNl Fsin1Fcos1FsinFcos00TeiiiiLllllFtllll 4.4.1 整體剛度矩陣的集成步驟整體剛度矩陣的集成步驟1 1、定位、定位單元