數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2019xppt課件

1、數(shù)學(xué)根底一一. 場(chǎng)論根本運(yùn)算知識(shí)場(chǎng)論根本運(yùn)算知識(shí)1.算子算子張量表示張量表示iiex 張量表示張量表示iixx直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中ijkxyz 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中222222xyz 哈密爾頓算子哈密爾頓算子 矢量矢量 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 標(biāo)量標(biāo)量 數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底2. 場(chǎng)論場(chǎng)論 假設(shè)對(duì)應(yīng)于某一幾何空間或某一部分幾何空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著物理量的一個(gè)確定的值，就稱(chēng)為在這個(gè)空間上或這個(gè)部分空間上確定了該物理量的一個(gè)“場(chǎng)。假設(shè)物理量為標(biāo)量，那么為標(biāo)量場(chǎng)，如：密度場(chǎng)，溫度場(chǎng)等；假設(shè)物理量為矢量，那么為矢量場(chǎng)，如：應(yīng)力場(chǎng)，應(yīng)變場(chǎng)等。不討論各種場(chǎng)的物理內(nèi)容，只從數(shù)學(xué)上研討場(chǎng)的普通規(guī)律的學(xué)科

2、，稱(chēng)為場(chǎng)論。1標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度gradient： 梯度是這樣的一個(gè)量，其方向即標(biāo)量場(chǎng) 變化率最大的方向，其大小那么為這個(gè)最大變化率的數(shù)值。它是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的度量，記為:grad 標(biāo)量場(chǎng) 中恣意點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)的恣意方向 ，在 上某點(diǎn) ， 假設(shè)極限 存在，稱(chēng)之為標(biāo)量場(chǎng) 在M點(diǎn)處沿 方向的變化率，過(guò)M點(diǎn)一切能夠方向中，存在一個(gè) 的變化率最大的方向。nnM0limMMMMMM nMMn*梯度場(chǎng)性質(zhì)：梯度場(chǎng)性質(zhì)： 梯度 描寫(xiě)了場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)M鄰域內(nèi)函數(shù) 的變化情況，是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的度量；grad 的方向與等位面的法向重合，且指向 增長(zhǎng)的方向，大小是 方向上的方導(dǎo)游數(shù) ；ngradn 矢量在任一方向

3、S上的投影等于該方向的方導(dǎo)游數(shù)；grad 的方向即等位面的法向是函數(shù) 變化最快的方向；grad 在直角坐標(biāo)中的表達(dá)式：gradgradijkxyz *物理量沿任一方向其單位矢量為 的變化率為0n0ngrad*梯度的根本運(yùn)算法那么有cc 1212 121221 ff2向量場(chǎng)的散度向量場(chǎng)的散度divergence*散度的根本運(yùn)算法那么為： 散度為矢量 經(jīng)過(guò)界面 的通量并除以微元體積 。VaS 向量場(chǎng) 中任一點(diǎn)M，包圍M作體積 ，其外表積 ，假設(shè)極限 存在，稱(chēng)為矢量場(chǎng) 在M點(diǎn)處的散度。aVS0limSVa ndSV anSVM1212aaaa aaa yxzaaadivaaxyz *直角坐標(biāo)系中，假

4、設(shè),xyzaa a a無(wú)源場(chǎng)性質(zhì)：2矢量管不能在場(chǎng)內(nèi)發(fā)生或終止； * 的場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)管式場(chǎng)0diva 1無(wú)源矢量 經(jīng)過(guò)矢量管任一橫截面上的通量堅(jiān)持同一數(shù)值；a3無(wú)源矢量 經(jīng)過(guò)張于一知周線(xiàn)L的一切曲面S上的通量均一樣，即此通量只依賴(lài)于周線(xiàn)L而與所張曲面S的外形無(wú)關(guān)。a3矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度curl 旋度是這樣一個(gè)矢量，其方向即環(huán)量面密度最大的方向，其大小即為這個(gè)最大的環(huán)量面密度的值，記為 沿曲線(xiàn)L的環(huán)量為：rota*矢量 場(chǎng) 中任一點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)任一方向 ，以 為法向作一微面積 ，其邊為 。假設(shè)極限 存在，稱(chēng)為矢量場(chǎng) 在M點(diǎn)處沿 方向上的環(huán)量面密度。過(guò)M點(diǎn)的方向中存在一個(gè)環(huán)量面密度最大的方向。

5、annSLan0limLSadrS nLSMdrxyzLLa dra dxa dxa dz*直角坐標(biāo)系中，*旋度的根本運(yùn)算法那么為：xyzijkrotaaxyzaaayyxxzzaaaaaaijkyzxzxyaaa 1212aaaa 無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：無(wú)旋場(chǎng)等價(jià)于有勢(shì)場(chǎng)。性質(zhì)：無(wú)旋場(chǎng)等價(jià)于有勢(shì)場(chǎng)。 即即0rota 0rotaagrad4高斯公式將體積分與面積分聯(lián)絡(luò)高斯公式將體積分與面積分聯(lián)絡(luò)*推行的高斯公式還可寫(xiě)為： 令V為一個(gè)由封鎖面積所包圍的體積。思索一個(gè)無(wú)窮小面元dS，其外法向?yàn)?，令 表示一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)、張量場(chǎng)，那么高斯公式n A x只需把體積分中的算子 換成法向單位矢量 即是面積分的被

6、積函數(shù)。nVSdVn dSVSAdVA ndSVSadVnadSVSdVndSVSBAdVB n AdS及數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底二二. .張量張量1. 1. 標(biāo)量、矢量和張量標(biāo)量、矢量和張量標(biāo)量標(biāo)量是一維的量，它只需是一維的量，它只需1 1個(gè)數(shù)及單位來(lái)表示，如溫度、密度。個(gè)數(shù)及單位來(lái)表示，如溫度、密度。矢量矢量那么不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一那么不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空空 間坐標(biāo)系的間坐標(biāo)系的 3 3 個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量來(lái)表示，因此矢量是三維的量。個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量來(lái)表示，因此矢量是三維的量。張量張量 三維空間中的二階張量是一個(gè)三維空間中的二階張量是一個(gè)

7、9 9維的量，必需用維的量，必需用9 9個(gè)分量才個(gè)分量才 可完好的表示，如應(yīng)力分量，應(yīng)變率分量?？赏旰玫谋硎?，如應(yīng)力分量，應(yīng)變率分量。 三維空間中的 n 階張量由 3n 個(gè)分量組成。 標(biāo)量和矢量均可看作低階張量，標(biāo)量為零階張量，而矢量為一階張量。 2. 目的表示法和符號(hào)商定目的表示法和符號(hào)商定 (1) 目的表示法目的表示法332211eaeaeakajaiaazyx也可表示為，i 是自在目的，可取1、2、3。iax、y、z 分別計(jì)作 x1、x2、x3，ax、ay、az 分別計(jì)作 a1、a2、a3，而三個(gè)單位矢量 分別計(jì)作 ,321eee, ,i j k 數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底332211bababa

8、baii332211eaeaeaeaii222123iia aaaaa(2)(2)求和商定求和商定 在同一項(xiàng)中如有兩個(gè)目的一樣時(shí)，就表示對(duì)該目的從1到3求和:反復(fù)出現(xiàn)的目的稱(chēng)為啞目的，改動(dòng)啞目的的字母并不改動(dòng)表達(dá)式的內(nèi)容。(3)(3)克羅內(nèi)克克羅內(nèi)克(Kronecker)(Kronecker)符號(hào)符號(hào) 10ijji ji ij符號(hào)具有以下重要性質(zhì)：ikjkij3iiijijjiij13312112,ijijaa ijijjjjjjjaaaaaaaa,3322113ii3332211ii(4)(4)置換符號(hào)置換符號(hào) 110ijki、j、k 偶陳列，123，231，312i、j、k 中有兩個(gè)以上目

9、的一樣時(shí)i, j, k 奇陳列 ，213，321，132ksjtktjsistijkktijtijk2ktktktkjjtktjjijtijk2362kkijkijk0ijijk有以下重要性質(zhì)： 333323321331322322221221311321121111332211).2(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaakkkkkkkjjk332211).1 (aaaaaaaaii例題例題: 展開(kāi)以下求和式，展開(kāi)以下求和式，解：解：.).2(;).1 (kjjkiiaaaa數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底(1)(1)哈密頓算子哈密頓算子一個(gè)具有微分及矢量雙重運(yùn)算一個(gè)具有微分及矢量雙重運(yùn)算的算

10、子的算子zkyjxi利用張量表示法哈密頓算子可寫(xiě)為iixe3. 二階張量二階張量利用算子“ 進(jìn)展運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)展微分運(yùn)算，后進(jìn)展矢量運(yùn)算。 利用哈密頓算子進(jìn)展運(yùn)算時(shí)，先進(jìn)展微分運(yùn)算，后進(jìn)展矢量運(yùn)算。)()()()()(iijiijjijijjiixxxxxxeexexeiiiixexe)(梯度 iiijijijjijjiixaxaxaeeeaxea散度jkiijkijkijkijjijjiixaexaexaeeeaxea)()(321321321211231331232231)()()(aaaxxxeeexaxaexaxaexaxae旋度222222)(zyxxxii例題例題: 分別寫(xiě)出分別寫(xiě)出

11、 在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式的表達(dá)式.aa,zayaxaxaazyxii散度kzjyixxeii梯度)()()(321321321yaxakxazajzayaiaaazyxkjiaaaxxxeeeaxyzxyzzyx旋度2 2 二階張量二階張量 二階張量有二階張量有9 9個(gè)分量，通常也可表示為個(gè)分量，通常也可表示為矩陣方式，即矩陣方式，即 333231232221131211ppppppppppij4.4.二階張量的代數(shù)運(yùn)算二階張量的代數(shù)運(yùn)算(1)(1)張量相等張量相等 兩 個(gè) 張 量 相 等 那 么 各 分 量 一 一 對(duì) 應(yīng) 相 等 。兩 個(gè) 張 量 相 等 那 么 各 分 量 一

12、一 對(duì) 應(yīng) 相 等 。設(shè)設(shè) ， ， 假設(shè)假設(shè) 那么那么 假設(shè)兩個(gè)張量在某不斷角坐標(biāo)系中相等，那么它們?cè)诩僭O(shè)兩個(gè)張量在某不斷角坐標(biāo)系中相等，那么它們?cè)陧б庖粋€(gè)直角坐標(biāo)系中也相等。恣意一個(gè)直角坐標(biāo)系中也相等。ijaaijbbba ijijba數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底(2)(2)張量加減張量加減設(shè)設(shè) ，那么那么 張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)元素相加減，張量的加減為其同一坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)元素相加減，只需同階的張只需同階的張量才干相加減。量才干相加減。ijaaijbbijijabab(3) 張量數(shù)乘張量數(shù)乘二階張量二階張量 乘以標(biāo)量乘以標(biāo)量 , ，那么，那么 張量數(shù)乘等于以該標(biāo)量乘一切的張量張量數(shù)乘等于以該標(biāo)量乘

13、一切的張量分量。分量。abijijaba為一個(gè)二階張量。坐標(biāo)單位矢量的兩兩并矢稱(chēng)為并基，三維空間的二階并基共有9個(gè)，任一個(gè)并矢都可用并基表示： iieaa并矢的概念 在直角坐標(biāo)系中假設(shè)iiebb為兩個(gè)矢量，定義其并矢為：332313322212312111bababababababababababajijijieebaba)(4) 點(diǎn)積和雙點(diǎn)積點(diǎn)積和雙點(diǎn)積 lkkljiijeebeeabalijlijlijkklijeebaeeba 二階張量點(diǎn)積即兩個(gè)張量中相鄰的兩個(gè)單位矢量作點(diǎn)積運(yùn)算，得到一個(gè)新的二階張量。 (4) 點(diǎn)積和雙點(diǎn)積點(diǎn)積和雙點(diǎn)積 設(shè)設(shè) ， ，定義點(diǎn)積為，定義點(diǎn)積為 jiijeea

14、ajiijeebb二個(gè)二階張量的雙點(diǎn)積結(jié)果為一個(gè)新的標(biāo)量。二個(gè)二階張量的雙點(diǎn)積結(jié)果為一個(gè)新的標(biāo)量。ijijjlikklijbaba二階張量的雙點(diǎn)積定義為：二階張量的雙點(diǎn)積定義為：lkkljiijeebeea:ba二階張量與矢量的點(diǎn)積那么定義為二階張量與矢量的點(diǎn)積那么定義為 矢量與一個(gè)二階張量點(diǎn)積得到一個(gè)新的矢量。矢量與一個(gè)二階張量點(diǎn)積得到一個(gè)新的矢量。 kijjkikjjkiiebaeebeaabkikiebaijkkijkkjiijeabeaeebabijijeab數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底(1) 共軛張量共軛張量 設(shè)設(shè) P 是一個(gè)二階張量，那么是一個(gè)二階張量，那么 也為一個(gè)二階張量，也為一個(gè)二階張量

15、，稱(chēng)為稱(chēng)為 P 的共軛張量，的共軛張量， 可表示為可表示為 ijppjicpp112131122232132333Pcjippppppppppcp5. 共軛張量、對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量和張量的解數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底假設(shè)二階張量分量 之間滿(mǎn)足那么稱(chēng)此張量為對(duì)稱(chēng)張量，可表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量，只需6個(gè)獨(dú)立的分量。(2)(2)對(duì)稱(chēng)張量對(duì)稱(chēng)張量ijpjiijpp 332313232212131211ssssssssssijs(3)(3)反對(duì)稱(chēng)張量反對(duì)稱(chēng)張量假設(shè)二階張量分量 之間滿(mǎn)足那么稱(chēng)此張量為反對(duì)稱(chēng)對(duì)張量，可表示為 一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量只需3個(gè)獨(dú)立的分量，對(duì)角線(xiàn)各元素 均為零。000233123123112aaaa

16、aaaijaijpijjipp (4)(4)張量分解定理張量分解定理 一個(gè)二階張量可以獨(dú)一地分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量和一個(gè)一個(gè)二階張量可以獨(dú)一地分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量之和：反對(duì)稱(chēng)張量之和： 容易驗(yàn)證上式右邊第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)對(duì)稱(chēng)張量，第二項(xiàng)容易驗(yàn)證上式右邊第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)對(duì)稱(chēng)張量，第二項(xiàng)是反對(duì)稱(chēng)張量。是反對(duì)稱(chēng)張量。cppppp2121c6. 張量的微分運(yùn)算張量的微分運(yùn)算(1) 梯度梯度設(shè)矢量設(shè)矢量 ，那么，那么 一個(gè)矢量的梯度是一個(gè)新的二階張量。普通來(lái)一個(gè)矢量的梯度是一個(gè)新的二階張量。普通來(lái)講，一個(gè)講，一個(gè) n 階張量階張量 的梯度是的梯度是 階張量。階張量。iieaajiijjjiieexa

17、eaxea1n數(shù)學(xué)根底數(shù)學(xué)根底(2) 散度散度 設(shè)二階張量設(shè)二階張量 ， 一個(gè)二階張量的散度是一個(gè)矢量。普通來(lái)講，一個(gè)一個(gè)二階張量的散度是一個(gè)矢量。普通來(lái)講，一個(gè) n 階階張量的散度是張量的散度是 n-1階張量。階張量。jiijeeppkiikkijijkkjjkiiexpexpeepxep7. 各向同性張量各向同性張量在延續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，通常以為介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)與所在延續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，通常以為介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)與所取的坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)，即介質(zhì)是各向同性的延續(xù)介質(zhì)。取的坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)，即介質(zhì)是各向同性的延續(xù)介質(zhì)。表示這類(lèi)力學(xué)性質(zhì)的張量稱(chēng)為各向同性張量，如流表示這類(lèi)力學(xué)性質(zhì)的張量稱(chēng)為各向同性張量，如流體粘性，電導(dǎo)率等。在數(shù)學(xué)上可作以下定義，假