淺談逆矩陣的求法 3

1、 再求 X31 , X42 ，最后求 X 41 .設(shè)E為4階單位矩陣, 比較 1 X 21 X 31 X 41 0 1 2 X 32 X 42 0 0 1 3 X 43 0 0 1 1 0 2 1 1 4 0 2 1 2 0 0 3 1 0 0 = E 的兩端對(duì)應(yīng)元素,得到 0 4 1 1 = 0; 解得, X 43 = - ; 4 12 2 1 1gX 31 + 1gX 32 + + 1g0 = 0; 解得, X 43 = - ; 3 2 2 5 0gX 41 + 2gX 42 + 1gX 43 + = 0; 解得, X 42 = - ; 4 4 1 1 1gX 41 + 1gX 42 +

2、2gX 43 + = 0; 解得, X 43 = - 。 4 8 0gX 41 + 0gX 42 + 3gX 43 + 1 - 1 2 -1 于是,所求的逆矩陣為: A = 1 - 2 1 8 0 1 2 1 - 6 5 - 4 0 0 1 3 1 - 12 0 0 0 1 4 方法6 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 用克萊姆法則求解：若線性方程組 21 1 的系數(shù)行列式 D = | aij |n 0 ， LLLL a x + a x + L + a x = b n2 2 nn n n n1 1

3、 則此方程組有唯一的一組解 x1 = D1 , D x2 = D2 , D L, xn = Dn .這里 D i 是將 D 中的第i列 D a1i , L, ani 換成 b1 , L, bn 得到的行列式. 定理1 若 1 = (1 , 0 , 0 , , 0, n 2 = (0 , 1 , 0 , , 0, , n = (0 , 0 , , 1 是F (F n n 表示數(shù)域F上的n元行空間的標(biāo)準(zhǔn)基,則F 中任一向量 = (a1 , a2 , , an 都可唯一地表示為: =a1 1 + a2 2 + + an n的形式,這里aiF(i = 1 , 2 , , n. 定理2 兩個(gè)矩陣A與B乘

4、積AB的第i行等于A的第i行右乘以B. 下面給出求可逆矩陣的逆矩陣的方法:令n階可逆矩陣A = (aij,A的行向量分別為 1 , 2 , , n , 其中 1 i = ( i1 , n i2 , , in,(i =1 , 2 , , n,由定理1 得: i= aij j(i = 1 , 2 , , n . 解以 , 2 , , 為未知量的方程組,由于系數(shù)行列式D = | A| 0 (因?yàn)锳 可逆,所以, 由克 4 萊姆法則可得唯一解: j=Dj/D= bj1 1 + bj2 2 + + bjn n(j = 1 , 2 , , n .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素?fù)Q以方程組的常數(shù)項(xiàng) 1

5、, 2, n而得到的n階行列式.由定理2可得: BA = I ( I 為單位矩陣,從而有A- 1 = B.其中B = (bij.下面舉例說(shuō)明這種方法. 1 2 -1 例6：求可逆矩陣 A = 3 1 0 的逆矩陣. -1 0 -2 【解】 矩陣A的行向量為 a1 , a 2 , a 3 ，由標(biāo)準(zhǔn)基 e1 , e 2 , e 3 表示為： a1 = e1 + 2e 2 - e 3 a 2 = 3e1 + e 2 a3 = -e1 - 2e 3 解以 e1 , e 2 , e 3 為未知量的方程組得： e1 = - a1 + a 2 + a 3 2 1 1 a1 - a 2 - a 3 A-1 3

6、 3 3 1 2 5 e 3 = a1 - a 2 - a 3 9 9 9 2 9 4 9 1 9 e2 = 2 - 9 2 = 3 1 9 4 1 9 9 1 1 - - 3 3 2 5 - - 9 9 該法在理論上是用克萊姆法則求解,但可用消元法簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.還以上例說(shuō)明之: 1 2 -1 a1 a1 = e1 + 2e 2 - e 3 e1 + 2e 2 - e 3 = a1 由： a 2 = 3e1 + e 2 得： 3e1 + e 2 = a 2 令 A = 3 1 0 a2 a = -e - 2e -e - e = a -1 0 -2 a 1 3 3 3 1 3 3 A 是一個(gè)所謂

7、的形式矩陣(其元素既有數(shù),又有向量.對(duì) A 施行矩陣的行的初等變換得: 2 4 1 - a1 + a 2 + a 3 9 9 1 0 0 9 2 1 1 A 0 1 0 3 a1 - 3 a 2 - 3 a 3 0 0 1 1 2 5 a1 - a 2 - a 3 9 9 9 2 - 9 2 -1 A = 3 1 9 4 9 1 - 3 2 - 9 1 9 1 - 3 5 - 9 方法7 恒等變形法求逆矩陣：有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無(wú)關(guān),但實(shí)質(zhì)上只有求出矩 陣的逆矩陣才能算出來(lái),而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變 形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式. 5 例8：已知 A 6 =

8、E ，試求 A11 并證明 A-1 = A11 ,其中 A = 1 2 3 2 - 3 2 . 1 2 【解】 由 A 6 = E 得到 A 6 = E gA 6 = A 6 gA 6 = AgA11 = E 故 A-1 = A11 ,而A 1 2 3 2 - 3 2 1 2 又為正交矩陣, A-1 = A 從而 A11 = A-1 = 方法8 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣： Hamilton-Caley定理:設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣 f 為A的特征多項(xiàng)式，則： f ( A) = 于是 - ( l ) = lE-A = l n + a1l n-1 +L+ anl + an lE-

9、A = An + a1 An-1 +L+ an A + an E = 0 因此 1 n-1 A + a1 An-2 + L + an-1E ) ( an A-1 = 1 n- 1 A + a1 An - 2+ L + an -1E ) ( an 2 -2 4 3 2 ，求A-1. 例8：已知 A = 2 -1 1 -1 【解】 A的特征多項(xiàng)式 f ( l ) = lE-A = l3 - 4l 2 + 7l +10 3 2 由Hamilton-Caley定理知： f ( A) = A - 4 A + 7 A -10E = 0 -5 2 -16 1 2 1 A = ( A - 4 A + 7E ) = 0 2 4 10 10 5 0 10 -1 參考文獻(xiàn) : 1 任憲林. 求逆矩陣的一個(gè)新方法J. 職大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版, 2004, (02 . 2 張玉成. 求逆矩陣的另一種方法J. 深圳教育學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合版, 2002, (01 . 3 王建鋒. 求逆矩陣的快速方法J. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2004, (01 . 4 李桂榮. 關(guān)于求逆矩陣方法的進(jìn)一步探討J. 德州高專學(xué)報(bào), 2000, (04 . 5 許莉. 試談求逆矩陣的方法J. 承