定積分的幾何應(yīng)用課件課件

1、定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-1第六章第六章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用1 微元法微元法2 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用3 定積分的物理應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用(不講不講)定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-26 .1 定積分的定積分的微元法微元法定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-3究竟哪些量可用定積分來(lái)計(jì)算呢究竟哪些量可用定積分來(lái)計(jì)算呢.首先討論這個(gè)問(wèn)題首先討論這個(gè)問(wèn)題. 結(jié)合曲邊梯形面積的計(jì)算結(jié)合曲邊梯形面積的計(jì)算定積分的元素法定積分的元素法一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出可知可知, 用定積分計(jì)算的量用定積分計(jì)算的量應(yīng)具有如下應(yīng)具有如下及定積分的定義及定積分的定義許多部分區(qū)間許多部分區(qū)間,(即把即把a(bǔ), b分成

2、分成兩個(gè)特點(diǎn)兩個(gè)特點(diǎn):(1) 所求量所求量I 即與即與a, b有關(guān)有關(guān);(2) I 在在a, b上具有可加性上具有可加性.則則I 相應(yīng)地分成許多部分量相應(yīng)地分成許多部分量,而而I 等于所有部分量之和等于所有部分量之和)定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-4按定義建立積分式有按定義建立積分式有四步曲四步曲:“分割、分割、 baxxfId)(有了有了N-L公式后公式后,對(duì)應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)關(guān)鍵關(guān)鍵就在于如何寫(xiě)出就在于如何寫(xiě)出方法方法簡(jiǎn)化步驟簡(jiǎn)化步驟被積表達(dá)式被積表達(dá)式.iniixf )(lim10 定積分的元素法定積分的元素法得到得到 這個(gè)復(fù)雜的極限運(yùn)算問(wèn)題得這個(gè)復(fù)雜的極限運(yùn)算問(wèn)題得到了解決到了解

3、決.xxfd)(xxfId)(d )1(是所求量是所求量 I 的微分的微分.iI 于是于是, 稱稱xxfId)(d 為量為量 I 的的微元微元或或元素元素. .取近似、取近似、 求和、求和、 取極取極限限 ”,定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-5)2( I這種簡(jiǎn)化了的建立積分式的方法稱為這種簡(jiǎn)化了的建立積分式的方法稱為定積分的元素法定積分的元素法元素法元素法或或微元法微元法. .xxfd)( ba簡(jiǎn)化步驟簡(jiǎn)化步驟(1)在在a,b上取一小區(qū)間上取一小區(qū)間 x,x+x,求出求出 x,x+x上所求量上所求量I的近似值的近似值,(,(也就是它的微分也就是它的微分) )f(x)dx,即即 I f(x)dx,定

4、積分的幾何應(yīng)用課件5-1-6Oxyab)(xfy xxxd bxaxxfy 、直直線線設(shè)設(shè)曲曲邊邊梯梯形形由由)(.軸軸圍圍成成與與x x,x+x,這個(gè)小區(qū)間上所這個(gè)小區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積面積元素面積元素xxfAd)(d 得得定積分的元素法定積分的元素法 曲邊梯形面積的積分式也可以用曲邊梯形面積的積分式也可以用元素法元素法 建立如下建立如下. Axxfd)( ba地等于長(zhǎng)為地等于長(zhǎng)為f(x)、寬為、寬為dx 的的小矩形面積小矩形面積,故有故有近似近似Adxxfd)(在在a,b上取一小區(qū)間上取一小區(qū)間定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-76 .2 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何

5、應(yīng)用平面圖形的面積平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積已知平行截面面積的體積已知平行截面面積的體積平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-8一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積 回憶回憶 baxxfd)(的幾何意義的幾何意義:, 0)(, xfba內(nèi)內(nèi)若若在在的值的值則則 baxxfd)(軸軸之之間間與與等等于于介介于于xbxaxxfy ,),( 啟示啟示 一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以用定積分來(lái)計(jì)算用定積分來(lái)計(jì)算.定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分定積分 下面曲線均假定是下面曲線均假定是連續(xù)連續(xù)曲線曲

6、線. 注注定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-9Oxy求這兩條曲線及直線求這兩條曲線及直線x=a,x=b所圍成所圍成區(qū)域的區(qū)域的面積面積A.)(xgy )(xfy ab它對(duì)應(yīng)的它對(duì)應(yīng)的面積元素面積元素dA為為 Ad xxgxfAd)()(1) )()(xgxf xd ab即即f(x) g(x),A定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1.1.直角坐標(biāo)系中圖形的面積直角坐標(biāo)系中圖形的面積 在在a,b上任取一小區(qū)間上任取一小區(qū)間x,x+dxxxxd 設(shè)在設(shè)在a,b上上,曲線曲線y=f(x)位于曲線位于曲線y=g(x)的上方的上方, 小區(qū)間小區(qū)間,定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-10y=c,y=d所圍成區(qū)

7、域的所圍成區(qū)域的面積面積A.(2) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用求由曲線求由曲線x=f(y) ,x=g(y) (f(y) g(y) 和和直線直線上任取一個(gè)上任取一個(gè)在在,dc,d,yyy 的的面積元素面積元素dA為為它對(duì)應(yīng)它對(duì)應(yīng) yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd cdA小區(qū)間小區(qū)間Oxy定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-11例例解解.2, 02所圍成的圖形面積所圍成的圖形面積求由求由xxyyx 畫(huà)草圖畫(huà)草圖,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便確定積分限求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便確定積分限,解方程組解方程組: xxyyx202交點(diǎn)交點(diǎn)).3 , 3(

8、),0 , 0(,3 , 0 x法一法一 xxxxAd)2(2.29 03選選 為積分變量為積分變量,xOxyAx 302d)3(xxx0 yxxxy22 )3 , 3( 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用dxxxxA )2(d2定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-12法二法二 選選y為積分變量為積分變量,3 , 1 y.2, 02所圍成的圖形面積所圍成的圖形面積求由求由xxyyx 21AAA Ayyd12 1 003yyyd)11( 29 是否可以選是否可以選y為積分變量為積分變量Oxyx0 yxxxy22 )3 , 3( 2A1A31 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用yyydAd)11()11(1 yyydAd)1

9、1(2 定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-13分成若干塊上面討論過(guò)的那兩種區(qū)域分成若干塊上面討論過(guò)的那兩種區(qū)域,只要分別只要分別(3)一般情況下一般情況下,由曲線圍成的有界區(qū)域由曲線圍成的有界區(qū)域,總可以總可以算出每塊的面積再相加即可算出每塊的面積再相加即可.(2)(1)(1)(2) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-14例例解解,311,222 xxyxy與與直直線線求求曲曲線線.3圍圍成成的的圖圖形形面面積積 x兩曲線交點(diǎn)為兩曲線交點(diǎn)為).21, 1(),21, 1( 由于圖形關(guān)于由于圖形關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 故故 A2xxxd)211(22 xxxd)112(22 2 011

10、33323 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用Oxy3 3211xy 22xy 11 1定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-15解解曲線的參數(shù)方程為曲線的參數(shù)方程為 tbytaxsincos由對(duì)稱性由對(duì)稱性,d40 axyA 4Attabdsin4202 .ab 作變量代作變量代換換,costax ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ax ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x例例其中其中22xaaby 總面積等于總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積不易積分不易積分.ttaxdsind ;2 t. 0 t)cos(dta02 abtbsinOxy求橢圓求橢圓 所圍圖形的面積所圍圖形的面積.12222 byax 一般地一般地,當(dāng)

11、曲線用參數(shù)方程表示當(dāng)曲線用參數(shù)方程表示時(shí)時(shí),都可以用類似的變量代換法處理都可以用類似的變量代換法處理.定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-16 d 面積元素面積元素 Ad曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.d)(212 rA 2.2.極坐標(biāo)下平面圖形的面積極坐標(biāo)下平面圖形的面積)( rr 由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程)( rr 給出的平面曲線給出的平面曲線)(, 所圍成的面積所圍成的面積A. d)(212r定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用和射線和射線曲邊扇形曲邊扇形 d Ox定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-17解解 由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積14AA d

12、2cos2142 aA.2a d)(212rA 04 =4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積例例 求雙紐線求雙紐線 2cos22ar 所圍平面圖形的面積所圍平面圖形的面積.定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xy Oxy定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-18解解 利用利用對(duì)稱性對(duì)稱性知知 d)coscos21(202 a 022sin41sin223 a223a drA2)(21 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 A)cos1( ar d)cos1(2122 a 2 0 xyO2例例 求心形線求心形線r=a(1+cos) )所圍所圍平面圖形的面積平面圖形的面積(a0)定積分的幾

13、何應(yīng)用課件5-1-19 求求r=1和雙紐線和雙紐線r2=2cos2所所圍平面圖形公共部分的面積圍平面圖形公共部分的面積解解 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知14AA d12142 06 d2cos2214 6 4 332 6 d)(212rA 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用Oxy定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-20二、體二、體 積積1. 1. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)這直線叫做這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體一周而成的立體定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-

14、21)(xfy baxxfVd)(2 (1)如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x), 直線直線x=a,x=b及及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為轉(zhuǎn)體的體積為abOxy定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,bax Vd旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xxfVd)(2 采用元素法采用元素法取積分變量為取積分變量為x,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間在在,ba,d,xxx xd取以取以為底的為底的小曲邊梯形小曲邊梯形繞繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而成的薄片的成的薄片的體積元素體積元素 2)(xfxdab定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-

15、22解解1 , 0 x.1 , 02軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形形成成的的體體積積上上繞繞在在求求xxy 根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式,有有 dxxV4 例例取積分變量為取積分變量為x,5 01oxy12xy xxfVbad)(2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-23yyVd)(2 )(yx （2）如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線）如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線),(yx dycy ,及及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為直線直線cdOxycd定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用體積元素體積

16、元素dyydV2)( 定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-24軸軸所圍成圖形繞所圍成圖形繞和和求拋物線求拋物線yxyxy 2.旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積解解 兩曲線的交點(diǎn)為兩曲線的交點(diǎn)為).1 , 1()0 , 0(和和繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 104d)(yyy )1 , 1( xyO例例 103 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-25Oxya 2解解 xV 20323d)coscos3cos31(tttta.532a 例例求擺線求擺線的一拱與的一拱與y=0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸

17、軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 xxyd)(2 0a 2)sin(ttax 變量代換變量代換0 20a 2ttad)cos1( 22)cos1(ta )cos1(),sin(tayttax 試問(wèn)試問(wèn):繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積如何計(jì)算軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積如何計(jì)算定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-26軸軸所圍成圖形繞所圍成圖形繞和和求拋物線求拋物線yxyxy 2.旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積解解 兩曲線的交點(diǎn)為兩曲線的交點(diǎn)為).1 , 1()0 , 0(和和繞

18、繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用)1 , 1( xyO 104d)(yyy 定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-272. 2. 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積,xxAVd)(d .d)( xxAV立體體積立體體積如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立體但卻知道該立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.那么那么,這個(gè)立體這個(gè)立體)(xA表示過(guò)點(diǎn)表示過(guò)點(diǎn)x且垂直于且垂直于x軸的軸的截面面積截面

19、面積,)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù).采用元素法采用元素法體積元素體積元素ba定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用a xbxxd xOx)(xA定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-28解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程底圓方程222Ryx x,22xRy ,tan22 xRh 例例 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為 R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心,并與底并與底面交成角面交成角,計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形.底底高高 截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立

20、體體積.tan323 R h RxxRV022dtan)(212 baxxAVd)(RR Oxyh對(duì)稱性對(duì)稱性定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-29 作一下垂直于作一下垂直于y軸的截面是軸的截面是截面長(zhǎng)為截面長(zhǎng)為2x, 寬為寬為ytan矩形矩形截面面積截面面積 tan2)(yxyA tan222yRy yyAVd)( RyyRy022dtan2 .tan323 R 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 可否選擇可否選擇y作積分變量作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積?R0R OxyR b

21、axxAVd)(),(yx定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-30解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 截面面積截面面積 )(xA立體體積立體體積xxRhVRRd22 hR221 垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形例例 yh22xRh 求以半徑為求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積.xOxyR定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-31,10MMA 三、平面曲線的弧長(zhǎng)三、平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)設(shè)A、B是曲線弧上是曲線弧上在弧上在弧上插

22、入分點(diǎn)插入分點(diǎn)并依次連接相鄰分點(diǎn)并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線得一內(nèi)接折線,當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)弧段都縮向一點(diǎn)時(shí), 此折線的長(zhǎng)此折線的長(zhǎng)的極限的極限存在存在,則稱則稱此極限此極限為曲線弧為曲線弧AB的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).|11iniiMM 1. 平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用BMMMnn ,12的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn),定理定理 光滑曲線弧是可求長(zhǎng)光滑曲線弧是可求長(zhǎng).OxyAB0M nM 1M 2M iM 1 nM 定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-32xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12

23、 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素,d1d2xys 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).d12xysba 2. 2. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形小切線段的長(zhǎng)小切線段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小線段的長(zhǎng)切線段的長(zhǎng)代替小線段的長(zhǎng))(xfy 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy ),(bxa 其中其中)(xf上上在在,ba有有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).取積分變量為取積分變量為x,ba在在任取小區(qū)間任取小區(qū)間,d,xxx xd定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用課件5-1-33解解2)(1y 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為xaxsdch axaeeayaxaxch)(2 bxbx 與與,chaxay axysh xaxbdch20 abaaxabsh2sh20 2sh1 axaxch 例例xysbad12 b b定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用懸鏈線方程懸鏈線方程計(jì)算介于計(jì)算介于 之間一段弧長(zhǎng)度之間一