振動(dòng)力學(xué)第二章2、3節(jié)講課

1、振動(dòng)力學(xué)1單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)力學(xué)2 瑞利法瑞利法目的：考慮系統(tǒng)中彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能目的：考慮系統(tǒng)中彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能方法：利用動(dòng)能計(jì)算將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量方法：利用動(dòng)能計(jì)算將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量 加在原來(lái)慣性元件的集中質(zhì)量上，作為單自由度系加在原來(lái)慣性元件的集中質(zhì)量上，作為單自由度系 統(tǒng)處理。統(tǒng)處理。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法mkx0概念：為考慮系統(tǒng)中彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，利用概念：為考慮系統(tǒng)中彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，利用 動(dòng)動(dòng) 能計(jì)算將彈性元件的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量加在原能計(jì)算將彈性元件

2、的分布質(zhì)量等效為集中質(zhì)量加在原 來(lái)慣性元件的集中質(zhì)量上，作為單自由度系統(tǒng)處理，來(lái)慣性元件的集中質(zhì)量上，作為單自由度系統(tǒng)處理， 從而得到更精確的固有頻率的近似值。從而得到更精確的固有頻率的近似值。mk /0振動(dòng)力學(xué)3例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能設(shè)彈簧的動(dòng)能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大動(dòng)能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢(shì)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm02max)(21xmmttm彈簧等效質(zhì)量彈簧等效質(zhì)量 mtmkx0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由

3、振動(dòng)瑞利法因此忽略彈簧動(dòng)能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限因此忽略彈簧動(dòng)能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限.振動(dòng)力學(xué)4單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法 mklsxds振動(dòng)力學(xué)5單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法振動(dòng)力學(xué)6單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法 mklsxds振動(dòng)力學(xué)7單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法振動(dòng)力學(xué)8單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法例：例：圖為一均質(zhì)等直簡(jiǎn)支梁，中央處有一集中質(zhì)量圖為一均質(zhì)等直簡(jiǎn)支梁，中央處有一集中質(zhì)量m,計(jì)算考慮計(jì)算考慮梁的質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質(zhì)量。梁的質(zhì)

4、量時(shí)系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質(zhì)量。ml/2l/2xyxdx振動(dòng)力學(xué)9單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法振動(dòng)力學(xué)10單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法振動(dòng)力學(xué)11單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)瑞利法瑞利法的概念瑞利法的概念: 在單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中，將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)在單自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)中，將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的簡(jiǎn)諧規(guī)律代入具有分布質(zhì)量的彈性元件，即以集中質(zhì)量代替諧規(guī)律代入具有分布質(zhì)量的彈性元件，即以集中質(zhì)量代替分布質(zhì)量，計(jì)算其動(dòng)能，即分布質(zhì)量，計(jì)算其動(dòng)能，即小結(jié)：小結(jié)：221xmT從而計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。因此，從而計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。因此，瑞利

5、法，基于能量法，用瑞利法，基于能量法，用于處理彈簧質(zhì)量不能忽略的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。于處理彈簧質(zhì)量不能忽略的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。振動(dòng)力學(xué)12單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)力學(xué)13 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：能量法：能量法選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能寫(xiě)成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能寫(xiě)成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)：分別取最大值時(shí)：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度；：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度；Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量。：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等

6、效質(zhì)量。 等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等。等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)14動(dòng)能動(dòng)能2221mlT 勢(shì)能勢(shì)能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置1lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度eeMK /0 振動(dòng)力學(xué)15k1Rk2M m x動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能2)83(21xMmT212)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe單自由度系統(tǒng)自由

7、振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度eeMK /0 振動(dòng)力學(xué)16方法方法2：定義法：定義法等效剛度：等效剛度：使使系統(tǒng)在系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。等效剛度。等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：使使系統(tǒng)在系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量的等效質(zhì)量 。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量

8、和等效剛度振動(dòng)力學(xué)17例：串聯(lián)系統(tǒng)例：串聯(lián)系統(tǒng)11kP22kP總變形：總變形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在質(zhì)量在質(zhì)量塊塊m上重力與外力的合力為上重力與外力的合力為 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據(jù)定義：根據(jù)定義： 或或 P mk1k2 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)18例：并聯(lián)系統(tǒng)例：并聯(lián)系統(tǒng)

9、兩彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根據(jù)定義：根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來(lái)各個(gè)彈簧剛度的總和。并聯(lián)彈簧的剛度是原來(lái)各個(gè)彈簧剛度的總和。 P mk1k2 mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度。振動(dòng)力學(xué)19例：杠桿系統(tǒng)例：杠桿系

10、統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體，水平位置為靜平衡位置：杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體，水平位置為靜平衡位置：求求： 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo)于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度的等效質(zhì)量和等效剛度 k1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)20解法解法1：能量法：能量法動(dòng)能：動(dòng)能：212221)(2121xllmxmT 勢(shì)能：勢(shì)能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：等效剛度：等效剛度：固有頻率：

11、固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)21解法解法2：定義法：定義法設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 則在則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對(duì)支座取矩：上產(chǎn)生慣性力，對(duì)支座取矩： 則在則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對(duì)支點(diǎn)取矩：處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，

12、對(duì)支點(diǎn)取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)22單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)力學(xué)23單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度 振動(dòng)力學(xué)24小結(jié)小結(jié)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)等效質(zhì)量和等效剛度選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫(xiě)成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫(xiě)成如下形式： 221xMTe 221xKVe 1）能量法）能量法等效等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等。的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等。 2 2）定義法）定義法等效剛度：等效剛度：使系統(tǒng)在選定的