實變函數(shù)期中試卷及答案_第1頁
實變函數(shù)期中試卷及答案_第2頁
實變函數(shù)期中試卷及答案_第3頁
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1、一、 判斷題1.有限或可數(shù)個可數(shù)集的并集必為可數(shù)集。（ ）2.可數(shù)集的交集必為可數(shù)集。（× ）3.設(shè)P,QRn，則P,Q=0ÛP=Q。（× ）4.設(shè)點P為點集E的內(nèi)點，則P為E的聚點，反之P為E的聚點，則P為E的內(nèi)點。（× ）5.開集中的每個點都是內(nèi)點，也是聚點。（ ）6.任意多個開集的并集仍為開集。（ ）7.任意多個開集的交集仍為開集。（× ）8.設(shè)AÍB，則m*A<m*B。（× ）9.設(shè)E為Rn中的可數(shù)集，則m*E=0。（ ）10.設(shè)E為無限集，且m*E=0，則E是可數(shù)集。（× ）二、填空題1.設(shè)，是上的

2、全部有理點，則 0,1 ；的內(nèi)部 空集 ； 0,1 。2.設(shè)，則 0,1 ；的內(nèi)部 空集 ；。3.設(shè)，則；的內(nèi)部；。4.設(shè)P是Cantor集，則為 閉 集；為 完全 集；沒有 內(nèi) 點； c ； m*P=_0_。5. 設(shè)為上的開集的構(gòu)成區(qū)間，則滿足，且，。三、證明題1.證明：。證明：因為，所以，從而反之，對任意，即對任意，有為無限集，從而為無限集或為無限集至少有一個成立，即或，所以，。綜上所述，。2.設(shè)A2n-1=(0,1n)，A2n=(0,n)，n=1,2，求出集列An的上限集和下限集。解：；設(shè)，則存在N，使時，因此時，即，所以屬于下標(biāo)比N 大的一切偶數(shù)指標(biāo)集，從而屬于無限多，得，又顯然，所以。若有，則存在N，使對任意，有，因此若時， 即，令，得，此不可能，所以。3.可數(shù)點集的外側(cè)度為零。證明: 設(shè)對則則 4.證明：不可數(shù)集減可數(shù)集的差集仍為不可數(shù)集。證明：記是不可數(shù)集，是可數(shù)集，因為，且為無限集（因為，否則的話，是至多可數(shù)集，與是不可數(shù)集矛盾），為

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