第十章定積分的應(yīng)用§4旋轉(zhuǎn)曲面的面積_數(shù)學(xué)分析

1、§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積(一) 教學(xué)目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式(二) 教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式基本要求：掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算公式，包括求由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積；掌握平面曲線的曲率的計(jì)算公式(三) 教學(xué)建議：要求學(xué)生必須熟記旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式，掌握由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積一 微元法用定積分計(jì)算幾何中的面積，體積，弧長(zhǎng)，物理中的功，引力等等的量，關(guān)鍵在于把所求量通過(guò)定積分表達(dá)出來(lái). 元素法就是尋找積分表達(dá)式的一種有效且常用的方法. 它的大致步驟是這樣的：設(shè)所求量 是一個(gè)與某變量(設(shè)為x)的變化區(qū)間 有關(guān)的量，且關(guān)于區(qū)間 具有可

2、加性. 我們就設(shè)想把 分成n個(gè)小區(qū)間，并把其中一個(gè)代表性的小區(qū)間記坐 ， 然后就尋求相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量 的近似值（做這一步的時(shí)候，經(jīng)常畫(huà)出示意圖幫助思考），如果能夠找到 的形如 近似表達(dá)式（其中 為 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)x處的值， 為小區(qū)間的長(zhǎng)度),那么就把 稱(chēng)為量 的元素并記做 ，即以量 的元素作為被積表達(dá)式在 上進(jìn)行積分，就得到所求量 的積分表達(dá)式：例如求由兩條曲線 (其中)及直線 所為成圖形的面積A.容易看出面積元素于是得平面圖形 的面積為采用微元法應(yīng)注意一下兩點(diǎn)：1）所求量 關(guān)于分布區(qū)間 具有代數(shù)可加性.2）對(duì)于前面所講過(guò)的平面圖形的面積、立體體積、曲線弧長(zhǎng)相應(yīng)的微元分別為：二

3、旋轉(zhuǎn)曲面的面積§5 定積分在物理中的某些應(yīng)用(一) 教學(xué)目的：掌握定積分在物理中的應(yīng)用的基本方法(二) 教學(xué)內(nèi)容：液體靜壓力；引力；功與平均功率 基本要求：(1)要求學(xué)生掌握求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式(2) 較高要求：要求學(xué)生運(yùn)用微元法導(dǎo)出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式(三) 教學(xué)建議：要求學(xué)生必須理解和會(huì)用求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式1 變力沿直線所作的功 從物理學(xué)知道，如果物體在做直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到常力F作用，并且力F 的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向一致，那么，當(dāng)物體移動(dòng)了距離s時(shí),力F 對(duì)物體所作的功是 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力是變化的

4、，那么就遇到變力對(duì)物體作功的問(wèn)題，下面通過(guò)例1說(shuō)明如何計(jì)算變力所作的功例1 把一個(gè)帶電量為 的點(diǎn)電荷放在 軸的原點(diǎn) 處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，并對(duì)周?chē)碾姾僧a(chǎn)生作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn) 為 的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為（ 是常數(shù)），如圖，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從 處沿 軸移動(dòng)到處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力 對(duì)它所做得功.解  在上述移動(dòng)過(guò)程中，電場(chǎng)對(duì)這個(gè)單位正電荷的作用力是不斷變化的，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為 ，在 上任取一小區(qū)間 ，當(dāng)單位正電荷從 移動(dòng)到 時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似于，從而得功元素為  于是所求的為   例2

5、  某水庫(kù)的閘門(mén)形狀為等腰梯形，它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m,高為20m,較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力。解  如圖3.9.2 以閘門(mén)的長(zhǎng)底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)且鉛直向下作 軸,取 為積分變量，它的變化范圍為 .在 上任取一個(gè)小區(qū)間 ,閘門(mén)上相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條各點(diǎn)處所受到水的壓強(qiáng)近似于,這窄條的長(zhǎng)度近似為,高度為 ,因而這一窄條的一側(cè)所受的水壓力近似為這就是壓力元素，于是所求的壓力為例3 設(shè)有一根長(zhǎng)度為 、線密度為 的均勻細(xì)直棒，在其中垂線上距棒 單位處有一質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)。試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力解 取坐標(biāo)系如圖3.9.3所示，使棒位于 軸上，質(zhì)點(diǎn) 位于 軸上

6、，棒的中點(diǎn)為原點(diǎn) ，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為 。在 上任取一小區(qū)間 ，把細(xì)直棒上相應(yīng)于 的一段近似的看成質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為 ，與 相距 ，因此可以按照兩質(zhì)點(diǎn)間的引力計(jì)算公式求出這段細(xì)直棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力 的大小為從而求出 在水平方向分力 的近似值，即細(xì)直棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力在水平方向分力的元素為 于是得到引力在水平方向的分力為上式中的負(fù)號(hào)表示 指向 軸的負(fù)向，又由對(duì)稱(chēng)性知，引力在鉛直方向分力為  平均值內(nèi)容概述：本節(jié)介紹函數(shù)的平均值求法學(xué)習(xí)時(shí)數(shù)：2學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解平均值的求法學(xué)習(xí)要點(diǎn)：函數(shù)的算術(shù)平均值、函數(shù)的加權(quán)平均值、函數(shù)的均方平均值學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：微積分基本定理函數(shù)的算術(shù)平均值在實(shí)際問(wèn)題中，

7、常常用一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的概貌。例如，對(duì)某一零件的長(zhǎng)度進(jìn)行次 測(cè)量，測(cè)得的值為 。這時(shí)，可以用 的算術(shù)平均值       作為這一零件的長(zhǎng)度的近似值。但是，在工程技術(shù)與自然科學(xué)中，有時(shí)還要考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流電在一個(gè)周期上的平均功率就是這樣的例子。下面就來(lái)討論如何規(guī)定即計(jì)算連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值。先把區(qū)間 分成 等分，設(shè)分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，設(shè)在這些分點(diǎn)處 的函數(shù)值依次為 ，那么可以用的平均值來(lái)近似表達(dá)函數(shù) 在 上所取的"一切值"的平均

8、值,如果 取的比較大,那么上述平均值就能比較確切地表達(dá)函數(shù) 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我們就稱(chēng)極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的算術(shù)平均值(簡(jiǎn)稱(chēng)平均值).現(xiàn)在因此得連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值 等于函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分除以區(qū)間 的長(zhǎng)度  , 即                   (3.10.2)請(qǐng)讀者注意我們是怎樣從有限多個(gè)數(shù)值的算術(shù)平均值的概念出發(fā),演化出連續(xù)函

9、數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值的定義的,其中關(guān)鍵之舉是使用了極限方法.函數(shù)的加權(quán)平均值我們以商業(yè)中的一個(gè)問(wèn)題為例來(lái)討論函數(shù)的加權(quán)平均.假設(shè)某商店銷(xiāo)售某種商品,以每單位商品售價(jià) 元,銷(xiāo)售了 各單位商品,調(diào)整價(jià)格后以每單位商品售價(jià) 元,  銷(xiāo)售了 個(gè)單位商品. 那么,在整個(gè)銷(xiāo)售過(guò)程中, 這種上平的平均售價(jià)為 (元)這種平均成為加權(quán)平均. 一般地設(shè) 為實(shí)數(shù),  ,稱(chēng)為關(guān)于 的加權(quán)平均值,其中稱(chēng)為資料數(shù)據(jù)稱(chēng)為權(quán)數(shù). 當(dāng) 時(shí), 加權(quán)平均就是算術(shù)平均?，F(xiàn)在我們討論連續(xù)變量的情形. 假設(shè)某商店銷(xiāo)售某種商品, 在時(shí)間段 內(nèi), 該商品的售價(jià)與單位時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售量都與時(shí)間有關(guān). 如果已知在時(shí)刻 時(shí), 售

10、價(jià) , 單位時(shí)間內(nèi)的銷(xiāo)售量 , 那么如何計(jì)算這種商品在時(shí)間段 上的平均售價(jià)呢? 下面我們用元素法分析, 并且給出他的計(jì)算方法.在區(qū)間 上任取一小區(qū)間 . 在這短暫的時(shí)間間隔內(nèi), 這種商品的售價(jià)近似于 , 銷(xiāo)售的數(shù)量近似于 , 因此, 在這段短暫的時(shí)間間隔內(nèi), 銷(xiāo)售這種商品所得到的收益近似于 ，這就是在 這段時(shí)間內(nèi)銷(xiāo)售這種商品所得收益的元素 于是, 在 這段時(shí)間內(nèi)銷(xiāo)售這種商品的總收益與銷(xiāo)售總量分別為 與 從而這段時(shí)間內(nèi)這種商品的平均售價(jià)為一般地,如果 , , 且 那么成為函數(shù) 關(guān)于權(quán)數(shù) 在區(qū)間 上的加權(quán)平均值.若令 , 加權(quán)平均就變成了算術(shù)平均定積分問(wèn)題1:曲邊梯形的面積問(wèn)題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路

11、程存在定理廣義積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式定積分小結(jié)積分學(xué)的背景 萊布尼茲劉 輝積分學(xué)的工作由求面積開(kāi)始.早在古希臘時(shí)期，阿基米德就求過(guò)拋物線下的方形面積.我國(guó)劉徽的割圓術(shù),也是同一思想.18世紀(jì)英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度出發(fā)創(chuàng)立了微積分學(xué).他認(rèn)為線是點(diǎn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條曲線;變量就是量的連續(xù)運(yùn)動(dòng),變量的無(wú)窮小增量為"瞬",他給出了求一個(gè)變量關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率的普遍方法,并且證明了面積可以由求變化率的逆過(guò)程得到.與牛頓幾乎是同時(shí)創(chuàng)立微積分的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是從幾何學(xué)的角度來(lái)考慮問(wèn)題的.他很早就意識(shí)到,求曲線的切線的

12、斜率依賴(lài)于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值之比，而求面積則依賴(lài)于在橫坐標(biāo)上無(wú)窮小區(qū)間的縱坐標(biāo)之和或無(wú)限窄矩形之和.并且這種求差與求和的運(yùn)算是互逆的.由此可知,萊布尼茲是將微分看承變量相鄰無(wú)限小的差,而積分則是由變量分成無(wú)窮多微分之和.他引進(jìn)了記號(hào)" "," "表示微分，" "表示積分， 和 是互逆的運(yùn)算.萊布尼茲是歷史上最偉大的符號(hào)數(shù)學(xué)家之一,他所創(chuàng)立的微積分符號(hào)對(duì)飛機(jī)粉的傳播和發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響，并且一直沿用至今.下面我們來(lái)看看微積分名稱(chēng)的由來(lái).牛頓稱(chēng)微積分為流數(shù)法(fluxious),這個(gè)名稱(chēng)后來(lái)逐漸被淘汰了.萊布尼茲使用"

13、差的計(jì)算"(Calculus  differentialis)與"求和運(yùn)算"(Calculus  summatorius)的術(shù)語(yǔ).萊布尼茲的朋友瑞士數(shù)學(xué)家約翰 伯努利主張把"求和運(yùn)算"改為"求整運(yùn)算",它就成為專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)"積分學(xué)"(integral calcullus)的來(lái)源.兩者合起來(lái)叫做微積分,英文里簡(jiǎn)稱(chēng)"Calculus",在本章和下一章里，我們分別來(lái)學(xué)習(xí)不定積分(Indefinite  integral  calculus)和定積分(Def

14、inite  integral  calculus)牛 頓（I.Newton 1642.12.251727.3.3）牛 頓英國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家出生在一個(gè)農(nóng)民家庭，出生前父親就去世了，三歲時(shí)母親改嫁，由外祖母撫養(yǎng)。1661年入劍橋大學(xué)，1665年獲學(xué)士學(xué)位，1668年獲碩士學(xué)位。由于他出色的成就，1669年巴魯（Barrow）把數(shù)學(xué)教授的職位讓給年僅26歲的牛頓。1703 年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。牛頓一生成就輝煌，堪稱(chēng)科學(xué)巨匠。最突出的有四項(xiàng)重大貢獻(xiàn)：創(chuàng)立微積分，為近代數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，推 動(dòng)了整個(gè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。他發(fā)現(xiàn)了力學(xué)三大定律，為經(jīng)典力學(xué)奠 定了基礎(chǔ)；他發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力

15、為近代天文學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他對(duì)光譜分析的實(shí)驗(yàn)，為近代光學(xué)奠定了基礎(chǔ) 。他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理影響深遠(yuǎn)，他被公認(rèn)為歷史上偉大的科學(xué)家。可惜他晚年研究神學(xué)，走了彎路。 黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20）黎 曼德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生在德國(guó)一個(gè)鄉(xiāng)村牧師家庭，在哥廷根大學(xué)和柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，1851年獲博士學(xué)位1859年任教授，1886年因肺結(jié)核去世。他四十年的生涯中，在數(shù)學(xué)許多分支，都作出了劃時(shí)代貢獻(xiàn)。他在1851年的博士論文“復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)”給出了保角影射的基本定理，是幾何函數(shù)論的基礎(chǔ)，1854年定義了黎曼積分，又提出了關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂 的黎曼條件。同年在他的另一篇論文中

16、引入n維流形和黎曼空間的概念，并定義了黎曼空間的曲率，開(kāi)辟了幾何學(xué)的新領(lǐng)域。1857年他在關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文中，引入了黎曼面概念，奠定了復(fù)變函數(shù)的幾何理論基礎(chǔ)，1858年他關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文，用黎曼函數(shù)論述了素?cái)?shù)的分布，開(kāi)辟了解吸函數(shù)論。在此論文中還提出了柯西函數(shù)零點(diǎn)分布的黎曼猜想，至盡還未解決。他在非歐幾何、偏微分方程、理論物理、橢圓函數(shù)論等方面都有杰出貢獻(xiàn)，不愧是一位具有開(kāi)拓精神的偉大數(shù)學(xué)家。小知識(shí)：中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無(wú)限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古

17、希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）、無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無(wú)窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開(kāi)普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱(chēng)賈憲三角形的“開(kāi)方作法本源圖”和增乘開(kāi)方法、“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、