數(shù)形結(jié)合求最值

1、四川師范大學(xué)本科畢業(yè)論文最值的常用求解方法學(xué)生姓名張明杰院系名稱數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)2006級(jí) 3 班學(xué) 號(hào)2006063048指導(dǎo)教師李紅梅四川師范大學(xué)教務(wù)處二一年五月最值的常用求解方法學(xué)生：張明杰 指導(dǎo)教師：李紅梅內(nèi)容摘要 : 最值問(wèn)題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用。最值問(wèn)題長(zhǎng)期是各類考試的熱點(diǎn)，作為反映實(shí)踐數(shù)量關(guān)系、幾何圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)中，最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各知識(shí)點(diǎn)，各個(gè)知識(shí)水平層面，以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查學(xué)生的思

2、維能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位。本文就為大家簡(jiǎn)單、籠統(tǒng)介紹幾種求函數(shù)最值、極值的常用方法：配方法、均值不等式法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、利用復(fù)數(shù)的模、三角代換法、借助幾何或物理概念尋求特殊的技巧解法。關(guān)鍵詞 : 最值 極值 解法The most common solution method of the valueAbstract: The most value problem over the algebra, trigonometry, solid geometry and analytic geometry subjects ，in th

3、e production of practice also has a wide range of applications. The most value standing problem is the hot various types of examinations for the long，As reflected in practice, the quantitative relationship between the nature of mathematical geometry, the most value problem is an important part of se

4、condary school mathematics, which are located in various knowledge points, all knowledge levels. The most value as a carrier, you can examine all the knowledge of secondary school mathematics point, examine of the classification discussion, Shuxingjiehe, conversion and of return, and many other math

5、ematical ideas also methods, you can also examine the students thinking, practice and innovation. Therefore, it occupies a more important in the entrance position. Then the following, it is all simple, general description is a function of several seeking the best value for the common method of extre

6、me .the method of completing square，Mean Inequality Method，Monotonic function of the Law，Discriminant method，derivative method，Triangular substitution method，With the concept of geometric or physical skills to find a special solutionKey words: Extreme Value Extreme Solution目錄1、 配方法.12、均值不等式法 .1 3、數(shù)形

7、結(jié)合法24、函數(shù)的單調(diào)性法25、判別式法 .36、導(dǎo)數(shù)法37、觀察法.48、利用復(fù)數(shù)的模59、三角代換法59.1、利用三角函數(shù)的有界性69.2、巧用換元法69.3、運(yùn)用重要不等式69.4、巧用判別式79.5、利用向量710、借助幾何或物理概念尋求特殊的技巧解法8參考文獻(xiàn). .9最值的常用求解方法最值問(wèn)題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用。最值問(wèn)題長(zhǎng)期是各類考試的熱點(diǎn)，它所涉及的知識(shí)層面也是較多的。對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)、知識(shí)掌握是很大的考驗(yàn)。中學(xué)數(shù)學(xué)求解最值的方法出現(xiàn)于不同的階段和知識(shí)點(diǎn)上。那么以下，就為大家簡(jiǎn)單、籠統(tǒng)介紹幾種求函數(shù)最值、極值的常用方法。1 配方法

8、主要是運(yùn)用于二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)。利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值時(shí)，要注意到自變量的取值范圍，還有對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。下面我們結(jié)合具體的例子來(lái)談?wù)勁浞椒ǖ牟僮鬟^(guò)程。例1 已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值。1分析:聯(lián)系二次函數(shù)的形式，我們可以將函數(shù)表達(dá)式按配方,轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的一個(gè)二次函數(shù)。解： 令,的定義域拋物線的對(duì)稱軸為,當(dāng)且時(shí), 當(dāng)時(shí), 。 2 均值不等式法若當(dāng)是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 有最小值；當(dāng)是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值。利用均值不等式的這個(gè)特性，我們可以求解某些題型的最值，具體做法，我們還是舉例來(lái)聯(lián)系解說(shuō)一下。例2 求函數(shù)的最值。2解：易知函數(shù)定義域?yàn)椋? ，當(dāng)，即時(shí)

9、，有。需要指出的是，在利用均值不等式法求解時(shí)，若無(wú)使等號(hào)成立，也就是說(shuō)不存在有意義的使表達(dá)式成立。則此法無(wú)效，應(yīng)改用其它方法。3 數(shù)形結(jié)合法將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過(guò)圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問(wèn)題等價(jià)性的用幾何的方法來(lái)求解，使之求解更簡(jiǎn)單、快捷，也是解決最值問(wèn)題的一種常用方法。例3 已知實(shí)數(shù)、 滿足等式，求的最值。3 分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(diǎn)在圓上，那么表示該點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過(guò)原點(diǎn)作圓的兩切線、（為切點(diǎn)），則的最值分別是直線、的斜率。 解：設(shè)，即，整理為 ：,解得,。例4 求函數(shù)的最小值。4解：在幾何上求

10、的最小值等價(jià)于“求動(dòng)點(diǎn)到,距離之和的最小值”，即的最小值。 ，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立。故的最小值為。即原函數(shù)的最小值為。4 函數(shù)的單調(diào)性法先判明函數(shù)給定區(qū)間上的單調(diào)性,而后依據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值。例5 已知函數(shù)定義域?yàn)?對(duì)任意的都且時(shí), 。試判斷在區(qū)間 上是否有最大值和最小值?如果有試求出最大值和最小值,如果沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由。解:令,則, 令則, 為奇函數(shù)。設(shè),且,則, , ,在上為減函數(shù)。又又在上為減函數(shù),故當(dāng)時(shí), ,當(dāng) 時(shí),。5 判別式法這種方法主要適用于可化為關(guān)于的二次方程的函數(shù),當(dāng)?shù)姆秶菚r(shí),僅考慮維塔判別式即可,當(dāng)?shù)姆秶菚r(shí),還需要結(jié)合圖形另解不等式。例6求函數(shù)的最大值和最小值。

11、解:函數(shù)的定義域?yàn)檫@是因?yàn)榈呐袆e式故對(duì)一切均成立。函數(shù)表達(dá)式可化為當(dāng)時(shí),上面的一元二次方程必須有實(shí)根。 解得:,當(dāng)時(shí), 。故。例7 求函數(shù)的最大值和最小值。5解:兩邊平方整理得: 是實(shí)數(shù)解之得此外由可得，又 故 那么。需要注意到，此題在求解的過(guò)程中歷經(jīng)平方變形,從而擴(kuò)大了的取值范圍,所以利用判別式求出的范圍后，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大部分剔除。以免求出的最值不在原函數(shù)的取值范圍之內(nèi)，造成錯(cuò)解！6 導(dǎo)數(shù)法針對(duì)我們中學(xué)所擁有的知識(shí)而言，我們最基本的求解函數(shù)最值的方法是定義法、求導(dǎo)法。具體的做法是，按照定義：極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值，

12、 是極大值點(diǎn)。極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有。就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值， 是極小值點(diǎn)。那么我們判別是極大、極小值的方法就是，若滿足，且在的兩側(cè)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值。因此，我們可以歸結(jié)出求函數(shù)的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)（2）求方程的根（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格。檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符

13、號(hào)即都為正或都為負(fù)，則在這個(gè)根處無(wú)極值。另外我們利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值。例8 動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),為原點(diǎn), 當(dāng)時(shí)取得極小值,求的最小值。6解: 令 則令得:, ,。以下列出函數(shù)單調(diào)變化表：表一 - +-+極小值極大值極小值因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?故所求最小值為兩個(gè)極小值中較小的那一個(gè),比較，,所以的最小值即的最小值：。     7 觀察法對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可由已知的解析式將其適當(dāng)變形后，直接求出它的最值。這里簡(jiǎn)單的提一下：例9 函數(shù)的最值。7 當(dāng)時(shí)，時(shí)，。例10 求函數(shù)的最值。解：由解析式及正弦函數(shù)的有界

14、性得：當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，。8 利用復(fù)數(shù)的模這種思想是將無(wú)理數(shù)看成復(fù)數(shù)的模，然后利用復(fù)數(shù)模的概念及復(fù)數(shù)模的不等式。這也是解決某些無(wú)理函數(shù)最值的有效方法。但要注意的是必須滿足所有復(fù)數(shù)和的模為常數(shù)。具體結(jié)合例題說(shuō)明一下。 例11 求函數(shù)的最小值。8解：設(shè)，則有：（常數(shù)）。當(dāng)與、共線且同向時(shí)，等號(hào)成立.即，得當(dāng)時(shí)。例12 求函數(shù)的最小值。 解： ，設(shè)，則有： （常數(shù)）。當(dāng)、共線且同向時(shí)，等號(hào)成立.即，得，當(dāng)時(shí)。9 三角代換法span對(duì)于某些函數(shù)的最值，可利用三角代換巧妙地求解.span在作代換時(shí)，可根據(jù)不同的函數(shù)解析式作相應(yīng)的代換。例如： ，可令； 又如：，可令（）； 對(duì)，我們可令等等。例13 求函數(shù)的

15、最值 。9解：設(shè)，則 ，當(dāng)取時(shí)，有最小值。當(dāng)取時(shí)，有最大值，。故。9.1 利用三角函數(shù)的有界性 10 例14 求函數(shù)的最值。 解：由已知變形得： 所以由于，得：所以原式的最小值是；最大值是。9.2 巧用換元法例15 求函數(shù)的最值。11 解：設(shè)，則因此， 在這里，雖然不是的二次函數(shù)，但通過(guò)換元后可化為的二次函數(shù)，再按照二次函數(shù)求最值的方法求最值。但應(yīng)注意換元后新變量的取值范圍。 9.3 運(yùn)用重要不等式例16 求函數(shù)的最值。12 解：由題設(shè)可得，則 當(dāng)且僅當(dāng)=即tan=時(shí)，等號(hào)成立。 需要注意的是，運(yùn)用重要不等式求函數(shù)的值域或最大值時(shí)一定要注意不等式成立的條件，包括等號(hào)成立的條件。 9.4 巧用判

16、別式例17 若，求的最大值。 解：設(shè)，則 構(gòu)造方程=，即 ，于是有 (此時(shí)9.5 利用向量13例18 已知 ，求函數(shù)的最小值。 解：由題設(shè)知且，構(gòu)造向量由得： ，即當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為。10 借助幾何或物理概念尋求特殊的技巧解法現(xiàn)實(shí)生活中的某些題，我們可以借助相關(guān)物理知識(shí)來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型求最值。例如利用物理中光的折射定律來(lái)求最短路程問(wèn)題就是其中一種。所謂光的折射定律是指：當(dāng)光從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，入射角的正弦與折射角的正弦之比等于光在兩種介質(zhì)中的速度比。因此我們可以將實(shí)際中不同的兩個(gè)速度看成光在不同介質(zhì)中的傳播速度，然后按光學(xué)知識(shí)來(lái)求相應(yīng)的最短路程問(wèn)題。二者的具

17、體等價(jià)性，我們?cè)诖伺e例求證說(shuō)明。設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度在上半平面為常數(shù)，下半平面為常數(shù)。此質(zhì)點(diǎn)應(yīng)沿什么路徑運(yùn)動(dòng)才能使花費(fèi)時(shí)間最短?14 顯然該質(zhì)點(diǎn)的軌跡在上半平面和下半平面都應(yīng)是直線。故從到應(yīng)為折線，只需求出折點(diǎn)即可。 設(shè)與軸的夾角分別為， 我們來(lái)證明當(dāng) (*時(shí)，所花費(fèi)的時(shí)間短。證明：法一：我們?cè)偃稳×硪宦窂? 質(zhì)點(diǎn)經(jīng)路徑所花時(shí)間為 ， 經(jīng)所花時(shí)間為只需證當(dāng) (*式成立時(shí), 即可。圖1如圖過(guò)作、軸垂線與的延長(zhǎng)線以及線段相交線段和,則 法二：設(shè)折點(diǎn)的坐標(biāo)為，則質(zhì)點(diǎn)經(jīng)所花時(shí)間 等價(jià)于， 這與(*等價(jià)。 作為反映實(shí)踐數(shù)量關(guān)系、幾何圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)中，最值問(wèn)題是中學(xué)

18、數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各知識(shí)點(diǎn)，各個(gè)知識(shí)水平層面，以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學(xué)思想和方法，還可以考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位。 從近幾年的高考題型來(lái)看，最值問(wèn)題大多數(shù)是一道填空題或選擇題，一道解答題；從分值來(lái)看，約占總分的10%左右15；從考查內(nèi)容的熱點(diǎn)來(lái)看，越來(lái)越多地將最值問(wèn)題蘊(yùn)含在立體幾何、解析幾何中考查。由此看來(lái)，最值問(wèn)題雖然是個(gè)老問(wèn)題，但一直十分活躍，尤其是導(dǎo)數(shù)的引入，更是為最值問(wèn)題的研究注入了新的活力。因此，能夠靈活運(yùn)用各種求最值的方法十分重要。參考文獻(xiàn)1 張國(guó)祥，一元二次求最值，晉中師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999年第4期。2 黃利眾，不等式應(yīng)用，廣西