數(shù)值分析課程教學(xué)大綱

1、西南科技大學(xué)本科課程教學(xué)大綱數(shù)值分析課程教學(xué)大綱【課程編號】： 16314073【英文譯名】： Numerical Analysis 【適用專業(yè)】：信息與計算科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生 (各理、工科類專業(yè)可相應(yīng)參照)【學(xué) 分 數(shù)】： 4【總 學(xué) 時】： 64【實踐學(xué)時】： 0一、本課程教學(xué)目的和課程性質(zhì)數(shù)值分析是根據(jù)國家教委關(guān)于“數(shù)值計算方法”課程的基本要求，為理工科大學(xué)的本科高年級(或碩士研究生)所開設(shè)的必修課，它以數(shù)學(xué)問題為對象，相關(guān)模型為背景，其研究適用于工程計算、科學(xué)計算的數(shù)值計算方法及相關(guān)的控制理論。通過本門課程的講授，使學(xué)生用正確的、科學(xué)的思維方法，學(xué)習(xí)及上機(jī)實習(xí)，使學(xué)生正確理解有關(guān)

2、的基本概念，掌握常用的基本的數(shù)值計算方法，培養(yǎng)和提高應(yīng)用計算機(jī)進(jìn)行工程、科學(xué)計算的能力，為以后的學(xué)習(xí)和工作，打下扎實的應(yīng)用型基礎(chǔ)。二、本課程的基本要求掌握數(shù)值分析和計算的主要方法的基本原理和思想，強(qiáng)調(diào)方法處理的技巧重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論；著重加強(qiáng)方法的使用條件、各種方法的不同比較，及時調(diào)整各種方法的控制點（收斂項），使其優(yōu)缺點明顯、直觀，便于工程上計算、科學(xué)計算。做較大量的理論、計算練習(xí)，培養(yǎng)、提高學(xué)生使用各種數(shù)值計算方法及解決實際問題的能力。加強(qiáng)與計算機(jī)的結(jié)合，有效的作出誤差分析，有效的控制其數(shù)學(xué)問題的斂散性。三、本課程與其他課程的關(guān)系前修完數(shù)學(xué)分析（或高等數(shù)學(xué)），線性代數(shù)，

3、普通物理（大學(xué)物理）等課程四、課程內(nèi)容第一章 數(shù)值分析中的誤差理論及分析（4學(xué)時）緒 論0.1本課程的研究內(nèi)容和方法0.2本課程發(fā)展簡史主要內(nèi)容:1、數(shù)值分析中所研究的對象、模型，所用方法和主要特點. 2、誤差產(chǎn)生的原因及分類.3、近似數(shù)精確度的三種具體表示法.4、數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題.基本要求:1、了解數(shù)值分析中所研究的對象、模型，所用方法和主要特點. 2、了解誤差產(chǎn)生的原因及四種分類.3、熟悉、掌握近似數(shù)精確度的三種具體表示法.4、熟悉、掌握數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題.教學(xué)要點: 理解有效數(shù)字、絕對誤差和相對誤差的概念，掌握求近似數(shù)的有效數(shù)字，絕對誤差（限）和相對誤差（限）的方法。第

4、二章 解線性方程組的直接方法 (6學(xué)時)主要內(nèi)容：1、高斯消去法，列主元消去法的具體計算步驟 。 2、杜利特爾分解定義，分解的可行性及唯一性條件，具體分解方法和步驟；利用杜利特爾分解求方程組解的計算公式。3、解三對角方程的追趕法的步驟。4、向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的概念，計算幾種常用的向量與矩陣的范數(shù)。5、方程組的狀態(tài)和條件數(shù)，會判斷求條件數(shù)。6、求解超定線性方程組的最小二乘法。基本要求:1、理解高斯消去法的基本思想，掌握高斯列主元消去法的具體計算步驟 。 2、掌握杜氏分解定義，分解的可行性及唯一性條件，具體分解方法和步驟；了解利用杜氏分解求方程組解的計算公式。3、掌握解三對角方程的追趕法的步驟。4

5、、熟悉向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的概念，并掌握幾種常用的向量與矩陣范數(shù)的計算。 5、了解方程組的狀態(tài)和條件數(shù)，會判斷求條件數(shù)。6、掌握求解超定線性方程組的最小二乘法。教學(xué)要點:首先要求學(xué)生充分理解會用高斯列主元消去法求線性方程組的解。會利用杜利特爾分解、喬列斯基分解求線性方程組的解。能夠熟練寫出解三對角方程的追趕法迭代格式和會用這方法求解線性方程組的解。熟練計算幾種常用的向量與矩陣的范數(shù)。會判斷和熟練用最小二乘法求解超定線性方程組。第三章 解線性方程組的迭代方法 (8學(xué)時)主要內(nèi)容：1、 迭代法的一般形式，迭代格式收斂的定義，構(gòu)造相應(yīng)問題的迭代格式2、 雅克比迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用雅克比

6、迭代法求解線性方程組近似解的步驟 。 3、高斯賽德爾迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組近似解的步驟。4、松弛方法，松弛方法的分量形式，了解其矩陣形式，以及用松弛方法求解線性方程組近似解的步驟。5、迭代法的收斂條件，求矩陣的譜半徑及其迭代法在收斂條件下的誤差估計。6、最速下降法基本要求:1、了解迭代法的一般形式，掌握迭代格式收斂的定義，會構(gòu)造相應(yīng)問題的迭代格式。3、 掌握雅克比迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用雅克比迭代法求解線性方程組近似解的步驟。 3、掌握高斯賽德爾迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組近似解的步驟。4、了解松弛方

7、法，掌握松弛方法的分量形式，了解其矩陣形式，以及用松弛方法求解線性方程組近似解的步驟。5、了解迭代法的收斂條件，會求矩陣的譜半徑，掌握其迭代法在收斂條件下的誤差估計。6、了解最速下降法教學(xué)要點:首先要求學(xué)生熟練掌握用一般迭代法的收斂準(zhǔn)則，在J-迭代法、G-S迭代法和松弛法下，求線性方程組的近似解，且加以分析 。會求向量范數(shù)和矩陣范數(shù)。了解在一般迭代法下進(jìn)行誤差分析。了解最速下降法及應(yīng)用。第四章 矩陣的特征值和特征向量的計算 (4學(xué)時)主要內(nèi)容：1、矩陣的冪法、反冪法。2、矩陣的Jacobi方法，矩陣的Q-R方法。基本要求:1、 了解矩陣的冪法、反冪法。2、 了解矩陣的Jacobi方法及矩陣的Q

8、-R方法。教學(xué)要點:本章重點應(yīng)該要求學(xué)生知道矩陣的冪法、反冪法，了解矩陣的Jacobi方法及矩陣的Q-R方法。第五章 插值法 (8學(xué)時)主要內(nèi)容： 1、多項式插值的概念、插值多項式的存在性和唯一性。 2、拉格朗日插值多項式及其誤差表達(dá)式。 3、分段線性插值和分段二次插值及其余項估計式。 4、差商定義及其性質(zhì)，牛頓插值多項式及其余項估計式。 5、差分定義及其性質(zhì)，掌握等距節(jié)點插值多項式及其余項估計式。 6、分段線性插值公式，埃爾米特（Hermite）插值。7、樣條函數(shù)，三次樣條插值概念，三次樣條插值的公式?；疽?1、掌握多項式插值的概念、插值多項式的存在性和唯一性。 2、掌握拉格朗日插值多項

9、式及其誤差表達(dá)式。 3、掌握分段線性插值和分段二次插值及其余項估計式。 4、掌握差商定義及其性質(zhì)；掌握牛頓插值多項式及其余項估計式。 5、掌握差分定義及其性質(zhì)；掌握等距節(jié)點插值多項式及其余項估計式。 6、了解分段線性插值公式；埃爾米特（Hermite）插值。7、了解樣條函數(shù)，三次樣條插值概念，會寫出樣條函數(shù)，三次樣條插值的公式。教學(xué)要點: 這一章是本教材的重點和難點之一。要強(qiáng)調(diào)根據(jù)插值條件求出拉格朗日插值多項式并估計其誤差。求差商，并根據(jù)差商表求出Newton插值多項式，估計其誤差。會求差分，并根據(jù)差分表求出等距節(jié)點插值多項式，估計其誤差。了解分段線性插值 、埃爾米特（Hermite）插值公式

10、。了解樣條函數(shù)，三次樣條插值的公式。應(yīng)該補充一些典型的情況，應(yīng)該盡可能地采用比較形象的手段，使學(xué)生對這一部分內(nèi)容能夠充分理解和掌握。第六章 曲線擬合 (6學(xué)時)主要內(nèi)容：1、函數(shù)擬合一般基本方法2、函數(shù)擬合最佳平方逼近，最佳一致逼近3、多變量、線性性和非線性數(shù)據(jù)擬合，最小二乘法基本要求:1、了解函數(shù)擬合一般基本方法2、掌握函數(shù)擬合最佳平方逼近，最佳一致逼近3、了解多變量、線性性和非線性數(shù)據(jù)擬合，掌握最小二乘法教學(xué)要點: 由于這部分內(nèi)容與相關(guān)學(xué)科結(jié)合緊密，在課時較緊的情況下，可以與上述內(nèi)容結(jié)合起來學(xué)習(xí)。也可以考慮應(yīng)用其他方法學(xué)習(xí)。第七章 數(shù)值微積分 (10學(xué)時)主要內(nèi)容：1、數(shù)值微分的概念，差商

11、型數(shù)值微分公式和插值型數(shù)值微分公式。2、插值型數(shù)值積分的概念，插值型積分公式的推導(dǎo)及誤差表達(dá)式。 3、等距節(jié)點下的求積公式：NewtonCots公式（梯形公式、Simpson公式、Cots公式及其相應(yīng)的誤差表達(dá)式）。 4、復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式、復(fù)化Cots公式及其截斷誤差的表達(dá)式。 5、求積公式外推思想及龍貝格求積公式。 6、衡量求積公式精確度的標(biāo)準(zhǔn)“代數(shù)精確度”的概念，確定數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度. 7、Gauss型求積公式（勒讓德多項式）及GL積分公式。 基本要求:1、理解數(shù)值微分的基本概念，掌握差商型數(shù)值微分公式和插值型數(shù)值微分公式2、掌握插值型數(shù)值積分的基本概念，插值型

12、積分公式的推導(dǎo)及誤差表達(dá)式。 3、掌握等距節(jié)點下的求積公式：NewtonCots公式（梯形公式、SimpsonCots公式及其相應(yīng)的誤差表達(dá)式）。 4、掌握復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式、復(fù)化Cots公式及其截斷誤差的表達(dá)式。 5、了解求積公式外推思想及龍貝格求積公式。 6、掌握衡量求積公式精確度的標(biāo)準(zhǔn)“代數(shù)精確度”的概念，并會熟練地確定數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度. 7、熟悉Gauss型求積概念、了解勒讓德多項式及GL積分公式 ，掌握 Gauss型求積公式的應(yīng)用 教學(xué)要點:這一章是本教材的重點和難點之一。首先要求學(xué)生會建立定積分的插值型積分公式、估計其誤差并能確定出其代數(shù)精確度。會用差商型

13、數(shù)值微分公式和插值型數(shù)值微分公式計算函數(shù)導(dǎo)數(shù)近似值。會用復(fù)化積分公式計算定積分。熟練地確定數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度，掌握 Gauss型求積公式的應(yīng)用。 第八章 非線性方程的數(shù)值解法 （8學(xué)時）主要內(nèi)容：1、 二分法 2、迭代公式、 Newton迭代公式及判別其收斂性 3、弦截法4、拋物線法5、Newton迭代法求非線性方程及非線性方程組的近似根，迭代公式的構(gòu)造及其斂散性的判別?；疽?1、了解二分法使用范圍，掌握二分法求根方法和步驟。 2、熟練掌握迭代公式，并能針對不同的非線性方程構(gòu)造其Newton迭代公式及判別其收斂性。 3、熟悉弦截法的計算公式。4、熟悉拋物線法的計算公式。5、理解New

14、ton迭代法求非線性方程及非線性方程組近似根的基本思想，掌握用上述構(gòu)造迭代公式的方法及其斂散性的判別。教學(xué)要點:這一章是本教材的重點和難點之一。著重求解非線性方程會利用二分法求非線性方程的滿足精度要求的近似根。對于給定的方程，構(gòu)造其一般迭代公式并判斷其收斂性。對給定的非線性方程，會構(gòu)造其牛頓迭代公式且能判別其收斂性。會用Newton方法求解非線性方程組的近似解。第九章 常微分方程的數(shù)值解法 （8學(xué)時）主要內(nèi)容：1、常微分方程數(shù)值解、歐拉公式、歐拉改進(jìn)公式，誤差估計。 2、龍格庫塔（R-K）公式。 3、線性多步法公式。4、系統(tǒng)方法的相容性，收斂性和穩(wěn)定性。5、高階常微分方程求數(shù)值解，歐拉改進(jìn)公式

15、、（R-K）公式基本要求:1、 了解常微分方程初值問題數(shù)值解法的一些基本概念，如單步法和多步法，顯式和隱式，方法的階數(shù)，整體截斷誤差和局部截斷誤差的區(qū)別和聯(lián)系等。 2、 掌握求解一階常微分方程初值問題的歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法，了解其相應(yīng)的誤差估計式。 3、 掌握龍格庫塔（R-K）方法的基本思想，公式的推導(dǎo)，R-K公式中系數(shù)的確定，特別是能夠應(yīng)用“經(jīng)典四階R-K公式”解題。 4、 了解線性多步法的基本思想，熟練掌握構(gòu)造線性多步法公式常用的泰勒展開方法和數(shù)值積分方法。 5、了解一階微分方程組與高階微分方程組的數(shù)值解法。6、了解相容性，收斂性和穩(wěn)定性。教學(xué)要點:這一章要求學(xué)生會用歐拉公式求常微分方

16、程初值問題的數(shù)值解。掌握龍格庫塔（R-K）公式求常微分方程初值問題的數(shù)值解。會用數(shù)值積分方法構(gòu)造線性多步法公式并估計其誤差。了解系統(tǒng)方法的相容性，收斂性和穩(wěn)定性。 五、教學(xué)方法建議利用網(wǎng)絡(luò)資源、多媒體等教學(xué)手段為教學(xué)服務(wù)。六、考核方式閉卷考試七、其它說明（如習(xí)題或作業(yè)，實踐環(huán)節(jié)內(nèi)容和要求）每章至少完成4-8題，可根據(jù)具體情況要求學(xué)生用Matlab或Mathematica軟件進(jìn)行數(shù)值計算上機(jī)實習(xí)，習(xí)題可選用教材或參考書的上機(jī)實習(xí)題。八、選用教材及主要參考書（名稱、編著者、出版社、出版時間）1、教材數(shù)值計算方法 丁麗娟 編 北京理工大學(xué)出版社 20032、參考書中文參考書數(shù)值分析 李慶揚、王能超、

17、易大義編 清華大學(xué)出版社，施普林格出版社 2001 現(xiàn)代數(shù)值計算方法 肖筱南、趙來軍、黨林立編 北京大學(xué)出版社 2003計算方法導(dǎo)論 徐萃薇 編 高等教育出版社 1998習(xí)題輔導(dǎo)書數(shù)值分析與試驗學(xué)習(xí)指導(dǎo) 蔡大用編 清華大學(xué)出版社，施普林格出版社 2001計算方法典型題分析解集 封建湖、車剛明編 西北工業(yè)大學(xué)出版社 2000計算方法典型例題分析 孫志忠編 科學(xué)出版社 2003九、學(xué)時分配課程內(nèi)容講課實驗大作業(yè)§1-0 0.1本課程的研究內(nèi)容和方法0.2本課程發(fā)展簡史§1-1、數(shù)值分析中所研究的對象、模型，所用方法和主要特點.§1-2、誤差產(chǎn)生的原因及分類.§

18、;1-3、近似數(shù)精確度的三種具體表示法.§1-4、數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題.404§2-1、高斯消去法，列主元消去法的具體計算步驟 。 §2-2、杜利特爾分解定義，分解的可行性及唯一性條件，具體分解方法和步驟；利用杜利特爾分解求方程組解的計算公式§2-3、解三對角方程的追趕法的步驟§2-4、向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的概念，計算幾種常用的向量與矩陣的范數(shù)§2-5、方程組的狀態(tài)和條件數(shù)，判斷求條件數(shù)§2-6、求解超定線性方程組的最小二乘法606§3-1、迭代法的一般形式，迭代格式收斂的定義，構(gòu)造相應(yīng)問題的迭代格式§

19、;3-2、雅克比迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用雅克比迭代法求解線性方程組近似解的步驟 §3-3高斯賽德爾迭代格式的分量形式及矩陣形式，以及用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組近似解的步驟§3-4松弛方法，松弛方法的分量形式，矩陣形式，用松弛方法求解線性方程組近似解的步驟§3-5迭代法的收斂條件，求矩陣的譜半徑及其迭代法在收斂條件下的誤差估計§3-6最速下降法808§4-1、矩陣的冪法、反冪法§4-2 、矩陣的Jacobi方法，矩陣的Q-R方法401§5-1、多項式插值的概念、插值多項式的存在性和唯一性 §5-2、拉格朗日插值多項式及其誤差表達(dá)式 §5-3、分段線性插值和分段二次插值及其余項估計式 §5-4、差商定義及其性質(zhì)，牛頓插值多項式及其余項估計式 §5-5、差分定義及其性質(zhì)，等距節(jié)點插值多項式及其余項估計式 §5-6、分段線性插值公式，埃爾米特（Hermite）插值§5-7、樣條函數(shù)，三次樣條插值概念，三次樣條插值的公式808§6-1、函數(shù)擬合一般基本方法§6-2、函數(shù)