導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系

1、導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系 （1）靜電平衡條件下導(dǎo)體表面的電荷分布是一個(gè)復(fù)雜的靜電學(xué)問題。它不僅與導(dǎo)體表面的曲率有關(guān)。而且與導(dǎo)體本身的形狀、周圍導(dǎo)體和介質(zhì)的分布及帶電狀態(tài)有關(guān)。一般情況下對(duì)孤立導(dǎo)體它也不是與曲率有簡(jiǎn)單正比關(guān)系。下面我們通過帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導(dǎo)體的例子加以說明。 橢球面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是比較簡(jiǎn)單的，當(dāng)它的三個(gè)半軸相等時(shí)，它就變成球；細(xì)長(zhǎng)的橢圓繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當(dāng)于細(xì)長(zhǎng)棒；細(xì)長(zhǎng)橢圓繞短鈾旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的橢球就相當(dāng)于平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。 無論什么形狀的導(dǎo)體決定電荷平衡分布的唯條件是導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)必須為零。凡是能滿足這個(gè)條件的分布，便是實(shí)際存在的分

2、布。根據(jù)這個(gè)條件，以及靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布，是一個(gè)典型的電磁學(xué)問題要用到較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，本書不嚴(yán)格處理這一問題。這里用一個(gè)不夠嚴(yán)格的方法導(dǎo)出其結(jié)果。 假?zèng)]我們考慮的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球如圖 9.8 所示，它有兩個(gè)焦點(diǎn) O1 和 O2。 表面電荷的分布使橢球內(nèi)任一點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零。一般說來，這是表面所有的電荷綜合抵消的結(jié)果。但是對(duì)于焦點(diǎn) O1 和 O2，很巧，這種抵消是一對(duì)一的。 過焦點(diǎn) O1 作一個(gè)小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面 dS 和 dS2，嚴(yán)格的理論證明，dS 上的電荷在 O1 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與 O2 上的電荷在 O1 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)恰恰抵消，因此整個(gè)橢球面上的電荷在 O1 產(chǎn)

3、生的場(chǎng)強(qiáng)之和為零。循著這一途徑，便可找出表面電荷分布的規(guī)律。 設(shè) dS 處電荷密度為 1 ，距 O1 的距離為 r1 ，dS 上的電量 dq1 = dS1，這部分電荷在 O1 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) dE1 應(yīng)為： 而 dS = dS'/cos1 。 1 是 r1 與 dS2 表面法線 n1 間的夾角。同時(shí) ， d1 是 dS1 對(duì) O1 所張的立體角。因此有：    用同樣的方法，可以得到 dS2 在 O1 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) dE2 為：    2 是 dr2 與 dS2 表面法線 n2 間的夾角。 dS2 對(duì) O1 所張的立體角仍然為 d1 。 由于在焦點(diǎn)上對(duì)

4、應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)相互抵消，故有 dE1 = dE2 ，從而得到： ，也就是說： 這就是橢球表面電荷分布的具體規(guī)律。運(yùn)用微積分和基本的矢量分析，由焦點(diǎn)為原點(diǎn)的橢圓方程：    這里 P 是焦點(diǎn)參數(shù)， 是橢圓偏心率?？梢郧蟪鰎, 處的 cos 為：    從而可以求出任何兩點(diǎn)(即 1 和 2 )的表面電荷密度之比。 圖 9.9 中， 如在橢圓最尖銳的一端A，A = 0, cosA = 1。在最平的一點(diǎn)B，可見 。而在A與B之間的其它的點(diǎn)，cos 的值介于1與 之間，電荷的面密度是逐漸由1向 過渡的。當(dāng) 趨向于1，橢球逐漸向細(xì)長(zhǎng)桿過渡；當(dāng) 很接近于1時(shí)，焦點(diǎn)O1

5、 和 O2 趨向兩瑞，橢球上很大一部分面積的 ，因而 cos 0，故電荷分布集中于桿的兩端很小的區(qū)域內(nèi)，桿身絕大部分基本上沒有電荷分布。 搞清楚了橢球上電荷分布的具體規(guī)律以后，再來看面電荷密度與表面曲率的關(guān)系。定性地看一下，可以說，表面曲率大的地方， 角小，cos 的值大；表面曲率小的地方， 角大，cos 的值小。因此曲率大的地方電荷密度大于曲率小的地方，這是正確的。但 是不是一定與表面曲率 K 成正比呢? 這就要用數(shù)學(xué)方法把橢圓各處的曲率求出來。按平面曲線曲率的定義：    dl是橢圓上的一段弧長(zhǎng)，經(jīng)過計(jì)算可知K 并不簡(jiǎn)單地與 cos 成正比，因此，也不是簡(jiǎn)單地與 K 成

6、正比，它們之間是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。曲率大的地方電荷密度大只能說是一個(gè)大致的、定性的規(guī)律，不能簡(jiǎn)單地依據(jù)兩處的曲率來比較它們的電荷密度。 （2）狐立導(dǎo)體表面能否出現(xiàn)電荷異號(hào)面 一個(gè)孤立導(dǎo)體的表面會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)的面電荷分布呢? 例如，如圖9.10 所示導(dǎo)體中凹陷進(jìn)去的地方的曲率為負(fù)值，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異號(hào)面荷分布。結(jié)論是不可能。對(duì)此可以借助電力線用反證法證明。設(shè)圖中導(dǎo)體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負(fù)面電荷分布，則該處要會(huì)聚電力線。會(huì)聚于凹陷處的電力線只有兩個(gè)可能的來源：一種可能是來自無窮遠(yuǎn)處，一種可能來自導(dǎo)體上的正電荷。假設(shè)無窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)點(diǎn)，對(duì)來自無窮遠(yuǎn)處的電力線，則沿此電力線求場(chǎng)強(qiáng)的線積分會(huì)得出導(dǎo)體的電勢(shì)是負(fù)值，這與沿導(dǎo)體表面帶正電處發(fā)出的電力線到無窮遠(yuǎn)處的線積分應(yīng)得導(dǎo)體的電勢(shì)是正值的結(jié)論