數(shù)學思想方法之一數(shù)形結(jié)合的思想

1、雍安育才高級中學數(shù)學組歐宏數(shù)學思想方法之一：數(shù)形結(jié)合的思想【學習要點】數(shù)形結(jié)合：就是通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題，它包含以形助數(shù)、以數(shù)解形和兩個方面。利用它可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學思想方法。數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合。應用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來

2、尋找解題思路，使問題得到解決。運用這一數(shù)學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征。數(shù)形結(jié)合的兩個方面：即以形助數(shù)、以數(shù)解形。8 以形助數(shù)的體現(xiàn)： 利用曲線方程解題：# 利用“直線的斜率”# 利用“單位圓”# 利用“點到直線的距離”# 利用“兩點間的距離”# 利用“直線的截距”# 利用“平行線間的距離”# 利用“直線的方程” 利用函數(shù)圖象解題# 利用函數(shù)的圖象 利用幾何圖形解題# 利用向量運算# 利用“三角形三邊的關(guān)系”# 利用勾股定理構(gòu)圖8 以數(shù)解形的體現(xiàn)： 向量坐標運算 立體幾何中空間向量坐標運算 平面解析幾何【錦囊妙計】應用數(shù)形結(jié)合的思想，應注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：（1

3、）集合的運算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖象（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4）直線的方程及曲線的方程（二元方程）以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助直線的有關(guān)概念；借助于三角形?？傊瑹o論是解析幾何、立體幾何、函數(shù)問題，無法入手時盡量與“形”聯(lián)系。以數(shù)解形常用的有：借助于解析幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系、借助于向量坐標運算解決平面圖形問題；借助空間向量的坐標運算解決立體幾何中的證明計算問題。（見第一篇高中數(shù)學總復習之“數(shù)字游戲記憶法”）【達標訓練】一、選擇題（本題每小題6分，共60分）1已知集合，若，則等于（ ）（A）（B）（C）或（D）或2使得點到點的距離為的的一

4、個值是（ ）（A）（B）（C）（D）3某工廠六年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠六年來這種產(chǎn)品的可用圖像表示的是（ ）36Cot36Cot36Cot36Cot（A） （B） （C） （D）4有一棱長為的正方體框架，其內(nèi)放置一氣球，是其充氣且盡可能地膨脹（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為（ ）(A) (B) (C) (D) 5已知向量，滿足的集合用陰影表示為（ ）xyOxyO1xyO1xyO1（A） （B） （C） （D）6直角坐標平面上，平行直線與平行直線組成的圖形中，矩形共有（ ）(A)25個 (B)36個(C)100個(D)22

5、5個7方程所對應的曲線圖形是（ ） （A） （B） （C） （D）8設，則函數(shù)的最小值是（ ）（A）（B）（C）（D）9四面體的六條棱中，其中五條棱的長度都是，那么第六條棱的長度的取值范圍是（）（A）（B）（C） （D）10若直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍是（ ）(A)(B) (C) (D) 或二、填空題（本題每小題5分，共15分）11已知向量，且滿足，那么的最小值是_。12若偶函數(shù)的圖象與軸有五個交點，則方程的所有實根之和為_。13設，滿足約束條件：，則的最大值和最小值分別為 。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）：14（本小題滿分14分）

6、已知函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象。（I）求函數(shù)的表達式；（II）證明當時，經(jīng)過函數(shù)圖象上任意兩點的直線的斜率恒大于零。15（本小題滿分14分）如圖所示，已知四面體中， 為的中點，為的中點，為的中點，為的中點，若，試用向量方法證明，。16（本小題滿分14分）為了能更好地了解鯨的生活習性，某動物研究所在受傷的鯨身上安裝了電子監(jiān)測裝置，從海岸放歸點處（如圖所示）把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對鯨進行了40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數(shù)據(jù)如下表（設鯨沿海面游動）。然后又在觀測站處對鯨進行生活習性的詳細觀測。已知，觀測站的觀測半徑為。觀測時刻t（分）跟蹤觀測點到放歸點距a（km）鯨位于跟蹤觀測點正北方向的距b（km）10112023034042（I）根據(jù)表中數(shù)據(jù)：（1）計算鯨沿海岸線方向運動的速度，（2）寫出a、b滿足的關(guān)系式，并畫出鯨的運動路線簡圖；ACNPM（II）若鯨繼續(xù)以（I）（2）中的運行路線運動，則鯨經(jīng)過多少分鐘（從放歸時計時），可進入前方觀測站B的觀測范圍。17（本小題滿分16分）如圖所示，已知圓，定點，為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足，點的軌跡為曲線。（I）求曲線的方程；（II）若過定點的直線交曲線于不同的兩點、（點在