利潤(rùn)最大化與二次函數(shù)

1、利潤(rùn)最大化與二次函數(shù)二次函數(shù)在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的今天，用途特別廣泛。利潤(rùn)最大問(wèn)題，就是一個(gè)典型。下面就舉例說(shuō)明。1、住宿問(wèn)題某賓館客房部有60個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，房間可以住滿當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑對(duì)有游客入住的房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加元求：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （2）該賓館每天的房間收費(fèi)（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （3）該賓館客房部每天的利潤(rùn)（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天多少元時(shí)，有最大值？最大值是多少？（2008年貴陽(yáng)市）分析：因?yàn)?，每個(gè)

2、房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，現(xiàn)在增加x元，折合個(gè)10元，所以，有個(gè)房間空閑；空房間數(shù)+入住房間數(shù)=60，這樣第一問(wèn)就解決了；房間收費(fèi)數(shù)額應(yīng)該等于房間的定價(jià)乘以房間的數(shù)量，這樣第二問(wèn)的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是理解利潤(rùn)的意義，利潤(rùn)=每天的房間收費(fèi)數(shù)-每個(gè)房間每天支出的各種費(fèi)用。解：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：y=60-，（2）賓館每天的房間收費(fèi)（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：z=（200+x）（60-），（3）賓館客房部每天的利潤(rùn)（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式是：W=（200+x）（60-）-20（60-），整理，得：W=-+42x+1

3、0800=-（x2-420x）+10800= -（x-210）2+15210，因?yàn)椋琣=-0，所以，函數(shù)有最大值，并且，當(dāng)x=210時(shí)，函數(shù)W有最大值，最大值為15210，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天410元時(shí)，有最大值，最大值是15210元。2、投資問(wèn)題例2、隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）（1）分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和

4、樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？（2008年南寧市）分析：根據(jù)圖像和題意知道y1是x的正比例函數(shù)，并且知道圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(1，2)，這樣就可以求出正比例函數(shù)的解析式；仔細(xì)觀察拋物線的特點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)也在原點(diǎn)，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。解：（1）因?yàn)椋瑈1是x的正比例函數(shù)，設(shè)，y1=kx，因?yàn)?，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，所以，2=k，所以，利潤(rùn)y1關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是y1=2x，x0；因?yàn)?，y2是x的二次函數(shù)，設(shè)，y2=ax2，因?yàn)?，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(2，2)，所以，2=4a，所以，a=，所以，利潤(rùn)y2關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是y2= x2 ，x

5、0；（2）這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，其中投資花卉x萬(wàn)元，他獲得的利潤(rùn)是：y=y1+ y2= x2 +2×（8-x）= x2 -2x+16=（x-2）2+14，因?yàn)?，a=0，所以，函數(shù)有最小值，并且，當(dāng)x=2萬(wàn)元時(shí)，函數(shù)y有最小值，最小值為14萬(wàn)元；因?yàn)?，?duì)稱軸是x=2，當(dāng)0x2時(shí)，y隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，且為y=（x-2）2+14=16，當(dāng)2x8時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值，且為y=（x-2）2+14=32，所以，當(dāng)x=8萬(wàn)元時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，并且為32萬(wàn)元。因此，這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得14萬(wàn)

6、元利潤(rùn)；他能獲取的最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元。3、存放問(wèn)題例3、我州有一種可食用的野生菌，上市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格30元/千克收購(gòu)了這種野生菌1000千克存放入冷庫(kù)中，據(jù)預(yù)測(cè)，該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格將以每天每千克上漲1元；但冷凍存放這批野生菌時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)310元，而且這類野生菌在冷庫(kù)中最多保存160元，同時(shí)，平均每天有3千克的野生菌損壞不能出售（1）設(shè)x天后每千克該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格為元，試寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式（2）若存放天后，將這批野生菌一次性出售，設(shè)這批野生菌的銷售總額為元，試寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式（3）李經(jīng)理將這批野生茵存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn)元？（利潤(rùn)銷售總額收購(gòu)成本各種費(fèi)

7、用）（08涼山州）分析：因?yàn)?，該野生菌的市?chǎng)價(jià)格將以每天每千克上漲1元，所以，x天就應(yīng)該上漲x×1=x元；市場(chǎng)價(jià)格30元+上漲價(jià)=x天后每千克該野生菌的市場(chǎng)價(jià)格為元，這樣第一問(wèn)就解決了；銷售總額為元應(yīng)該等于野生菌的價(jià)格乘以數(shù)量，這樣第二問(wèn)的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是理解利潤(rùn)的意義，利潤(rùn)=銷售總額-損壞的野生菌的費(fèi)用。解：（1）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式是：（，且整數(shù)）；（2）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式是：；（3）由題意得：因?yàn)?，a=-30，所以，函數(shù)有最大值，并且，當(dāng)x=100時(shí)，函數(shù)W有最大值，最大值為30000，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?00天160天，所以，存放100天

8、后出售這批野生菌可獲得最大利潤(rùn)30000元4、定價(jià)問(wèn)題例4、為了落實(shí)國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神,最近，州委州政府又出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(jià)(元/千克)有如下關(guān)系:=280.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為(元).(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元/千克,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn),銷售價(jià)應(yīng)定為多少元? （2008恩施自治州）分

9、析：利潤(rùn)=價(jià)格×銷售數(shù)量，這是問(wèn)題解答的關(guān)鍵。解: y(x20) w(x20)(2x80)2x2120x1600，所以，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y2x2120x1600 因?yàn)?，y2x2120x16002 (x30) 2200，因?yàn)?，a=-20，所以，函數(shù)有最大值，并且，當(dāng)x=30時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值為200，所以，當(dāng)x30時(shí)，y有最大值200 因此，當(dāng)銷售價(jià)定為30元/千克時(shí),每天可獲最大銷售利潤(rùn)200元. 當(dāng)y150時(shí)，可得方程2 (x30 )2 200150解這個(gè)方程，得 x125，x235 根據(jù)題意，x235不合題意,應(yīng)舍去所以，當(dāng)銷售價(jià)定為25元/千克時(shí)，該農(nóng)戶每天可獲得

10、銷售利潤(rùn)150元5、補(bǔ)貼問(wèn)題例5、某市種植某種綠色蔬菜，全部用來(lái)出口為了擴(kuò)大出口規(guī)模，該市決定對(duì)這種蔬菜的種植實(shí)行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補(bǔ)貼菜農(nóng)若干元經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)（畝）與補(bǔ)貼數(shù)額（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補(bǔ)貼數(shù)額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益（元）會(huì)相應(yīng)降低，且與之間也大致滿足如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系圖1x/元50（第25題）1200800y/畝O圖2x/元10030002700z/元O（1）在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？（2）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)和每畝蔬菜的收益與政府補(bǔ)貼數(shù)額之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）要使全市這種蔬菜的總收益（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額定為多少？并求出總收益的最大值（2008年泰安市）分析：惠農(nóng)政策是國(guó)家的基本政策，