二維光子晶體透射特性的FDTD數(shù)值研究

1、 收稿日期:2005-06-24. 基金項(xiàng)目:江蘇省自然科學(xué)基金資助課題(B K2004059 .材料、結(jié)構(gòu)及工藝二維光子晶體透射特性的FDTD 數(shù)值研究湯炳書(shū)1, 沈廷根2(1. 連云港師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系, 江蘇連云港222006; 2. 江蘇大學(xué)物理系, 江蘇鎮(zhèn)江212003摘要:把時(shí)域有限差分方法(FD TD , 光子晶體的晶格結(jié)構(gòu)和介電常數(shù)等因素有關(guān), , , 降低結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性, 禁帶寬度增大。關(guān)鍵詞:; 透射系數(shù); 禁帶:A 文章編號(hào):1001-5868(2006 01-0045-04Numerical Analysis on T ransmissionProperties of

2、 Tw o 2dimensional Photonic Crystal Using FDT DTAN G Bing 2shu 1, SH EN Tin 2gen 2(1. Department of Physics ,Lianyungang T eacher s College ,Lianyungang 222006,CHN;2. Department of Physics ,Jiangsu U niversity , Zhenjiang 212003,CHN Abstract :transmission coefficient versus frequency of t he inciden

3、t wave for two 2dimensional p hotonic crystal is investigated by using finite difference time domain (FD TD met hod. The calculated result s obviously show t hat band gap widt h and positions are related to lattice struct ure and dielect ric constant of two 2dimensional p hotonic crystal. Wit h t he

4、 increase of t he radius of crystal cylinder ,t he band gap is widened and t he cent ral f requency is enhanced. The large differences between t he dielect ric constant s of t he cylinders and t he background materials are usef ul to form t he band gap ,to reduce t he struct ure symmet ry and to wid

5、en t he band gap ,etc.K ey w ords :two 2dimensional p hotonic crystal ; finite difference time domain met hod ; t ransmission coefficient ; band gap1引言近年來(lái), 介質(zhì)周期結(jié)構(gòu)中的電磁波行為引起了人們廣泛的研究。介質(zhì)周期結(jié)構(gòu), 即所謂光子晶體, 可以存在光子禁帶(在該頻率區(qū)域光子晶體將禁止任何光或電磁波的傳播 。光子晶體的出現(xiàn)展示了許多重要的應(yīng)用前景, 如高效率激光器、光電子器件、新型波導(dǎo)等, 這些應(yīng)用都是基于光子晶體的禁帶特征。雖然三維光子晶體具

6、有更廣泛的應(yīng)用潛力,但是在可見(jiàn)光和紅外波段制作這樣的微結(jié)構(gòu), 還是困難重重。相比較而言, 二維(2D 光子晶體既存在著眾多的應(yīng)用1, 又相對(duì)比較容易制造。目前研究光子晶體能帶結(jié)構(gòu)和光傳輸特性的方法主要有:平面波展開(kāi)法(PWE 2,3、有限時(shí)域差分法(FD TD 4,5、轉(zhuǎn)移(傳輸 矩陣法(TMM 6,7、多重散射法(Order 2N 8等。本文用FD TD 對(duì)二維光子晶體透射系數(shù)進(jìn)行數(shù)值研究, 研究其中完全禁帶的特點(diǎn)及影響禁帶的主要因素, 為實(shí)驗(yàn)制作和應(yīng)用提供理論依據(jù)。本文把FD TD 法用于二維光子晶體透射特性54半導(dǎo)體光電2006年2月第27卷第1期湯炳書(shū)等:二維光子晶體透射特性的FD T

7、D 數(shù)值研究 的研究, 計(jì)算后得到多種情況下二維光子晶體的透射系數(shù)與入射光頻率的關(guān)系曲線, 結(jié)果表明禁帶的寬度及位置與組成二維光子晶體的晶格結(jié)構(gòu)和介電常數(shù)等因素有關(guān), 并形成一定規(guī)律, 即半徑變大則禁帶變寬且禁帶的中心頻率變大, 介質(zhì)柱的介電常數(shù)與本底材料的介電常數(shù)相差越顯著越有利于形成禁帶, 降低結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性, 禁帶寬度增大等等。2基本理論與計(jì)算公式2. 1介質(zhì)中的Maxw ell 方程設(shè)二維光子晶體在(x , y 面內(nèi)周期排列, 本底介電常數(shù)為1(折射率為n 1 介電常數(shù)為2(折射率為n 2 直徑為d 的另一種介質(zhì)柱, 沿z y 常數(shù)為a , 電磁波(光場(chǎng)在Maxwell (t =-t(1

8、 ×H (r , t =-(r t(2TEM 波有兩種偏振狀態(tài):TE 模(M 偏振 , H 與z軸平行, 電磁分量分別是(E x , E y ,0 , (0,0, H z 。代入式(1 和(2 得到Maxwell 方程(標(biāo)量式 :x =(r t (3 y =(r t (4 x -y =-t(5 對(duì)TM 模(E 偏振 可以得到與式(3 (5 類(lèi)似的方程, 在此從略。本文采用E 偏振研究。2. 2時(shí)域有限差分法(FDT D時(shí)域有限差分法是用對(duì)空間和時(shí)間的差分代替微分, 采用Yee 最早提出的二維時(shí)域有限差分方法9, 將光子晶體單元網(wǎng)格化(E 偏振分布見(jiàn)圖1 , 用x 表示y 方向的空間步

9、長(zhǎng), t 表示時(shí)間步長(zhǎng), nt 表示時(shí)間。采用中心差分代替式(3 (5 中的微分, 就可將Maxwell 方程轉(zhuǎn)化為迭代形式的FD TD 方程:E n+1x(i , j =E n x (i , j +H n+2zi , j +-H n+2zi , j -y(i , j (6E n+1y(i , j =E n y (i , j +H n+2zi +, j -H n+2zi -, j x(i , j (7H n+2z(i , j =H n-2z(i , j +E nx i , j +-E nx i , j -y-nx i +, j -x i , j x(8 H x , H y , E z 電磁場(chǎng)的

10、初始分布, 就可以根據(jù)離散了的FD TD 時(shí)間離散步長(zhǎng)公式(6 (8 獲得電磁場(chǎng)的時(shí)間演化規(guī)律。為了保證迭代收斂得到穩(wěn)定解, x , y , t 的選擇必需滿(mǎn)足穩(wěn)定條件9:t 1/cx -2+(y -2(92. 3邊界條件與初始場(chǎng)選擇用時(shí)域有限差分法研究光子晶體的傳輸特性時(shí), 關(guān)心的計(jì)算區(qū)域是有限的, 就是光子晶體的體積所占有的空間, 當(dāng)然也可以將所關(guān)心的計(jì)算區(qū)域通過(guò)一定的方式無(wú)限擴(kuò)展, 形成一個(gè)無(wú)限的空間, 但是, 計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間和計(jì)算速度卻不是無(wú)限的, 要處理的問(wèn)題空間是有限的, 是有邊界的。而用時(shí)域有限差分求解電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)假定問(wèn)題空間是無(wú)限大的, 即是開(kāi)放的系統(tǒng)。為了解決這種矛盾, 讓

11、這種有限的空間和無(wú)限的空間等效, 需要對(duì)有限空間的周?chē)吔缱魈厥馓幚? 使得向邊界行進(jìn)的波在邊界處保持“外向行進(jìn)”的特征, 無(wú)明顯的反射, 就象被一個(gè)巨大的“黑洞”吸收一樣。具有這種功能的邊界條件, 稱(chēng)之為吸收邊界條件(ABC 。在計(jì)算程序中, 我們采用完全匹配層(PML 邊界條件10。對(duì)單個(gè)元胞進(jìn)行20×20分割離散, 對(duì)每個(gè)面元上的介電常數(shù)作平均取樣。在TE 模的演化計(jì)算中采用滿(mǎn)足H z 的零散度要求與周期性(Bloch 定理 的初始場(chǎng)為4H z =-exp -(5x/a +12-(5y/a 2/3+3(1-5x/a 2exp -(5x/a 2-(5y/a +1 2-10x/a

12、-(5x/a 3-(5y/a 5exp -(5x/a 2-(5y/a 2 (10E x =E y =0(1164SEMICON DUCT OR OPT OE LECTR ONICS V ol. 27No. 1Feb. 2006 3模型與計(jì)算結(jié)果分析3. 1計(jì)算模型開(kāi)始計(jì)算時(shí)建立圖2所示模型, 線光源向y 軸正向入射, y 方向16行, 圓柱在z 方向無(wú)限長(zhǎng), x 方向同樣取16列, 正方晶格。本底介電常數(shù)為1=10. 5(InP/GaInAsP 折射率n 1=3. 24 , 介質(zhì)柱是無(wú)損耗的空氣柱, 介電常數(shù)取1. 0。為了不失一般性, 在數(shù)據(jù)處理作圖時(shí)橫軸采用歸一化頻率, 縱軸采用歸一化透射

13、系數(shù), 程序設(shè)計(jì)時(shí)長(zhǎng)度以晶格常數(shù)a 為基準(zhǔn)。x , y 方向步長(zhǎng)設(shè)定為x =y =0. 05a , t =0. 95 。圖1二維時(shí)域有限差分計(jì)算網(wǎng)絡(luò)3. 2影響透射特性的主要因素3. 2. 1介質(zhì)柱直徑采用上述計(jì)算模型可以數(shù)值研究透射系數(shù)與組成光子晶體介質(zhì)柱粗細(xì)之間的關(guān)系。計(jì)算中本底材料選介電常數(shù)為10. 5無(wú)損耗介質(zhì), 由圓柱形狀的空氣柱組成正方晶格結(jié)構(gòu)的二維光子晶體(即在本底材料中按正方晶格挖空即可 , 介電常數(shù)為1. 0。改變空氣柱的直徑就可以得到不同的填充率d /a 。計(jì)算結(jié)果如圖2所示, 從圖中看出空氣柱型光子晶體中當(dāng)空氣柱半徑R =0. 36a 時(shí)有明顯的兩禁帶, 當(dāng)半徑減小時(shí)禁帶

14、變窄R =0. 26a 時(shí)完全禁帶幾乎沒(méi)有, 半徑變大則禁帶變寬且禁帶的中心頻率變大 。圖2不同半徑空氣柱時(shí)的透射譜3. 2. 2介質(zhì)柱介電常數(shù)同樣用上述模型可以研究透射系數(shù)與組成光子晶體介質(zhì)柱介電常數(shù)或折射率之間的關(guān)系。將空氣圓柱換成不同介電常數(shù)的介質(zhì)圓柱, 我們分別計(jì)算了介電常數(shù)為2. 56(n =1. 6 與5. 76(n =2. 4 兩種情況, 結(jié)果見(jiàn)圖3。從圖中看出介質(zhì)柱的介電常數(shù)與本底材料的介電常數(shù)相差越顯著越有利于形成禁帶 。圖3不同介電常數(shù)介質(zhì)柱時(shí)的透射譜3. 2. 3介質(zhì)柱形狀把原來(lái)的圓空氣柱換成不同形狀的柱, 如三角形、正方形、橢圓形等。我們計(jì)算了三角形空氣柱與正方形空氣柱

15、的情況, 具體結(jié)果見(jiàn)圖4。三角形是半徑為R =0. 36a 圓內(nèi)接等邊三角形, 正方形以半徑為R =0. 36a 圓直徑為邊長(zhǎng), 邊長(zhǎng)是0. 76a 。從圖中看出正方柱更易形成禁帶, 三角形幾乎不出現(xiàn)完全禁帶。三種形狀柱體中正方形的填充比最大, 三角形的最小 。圖4不同形狀柱體時(shí)的透射譜3. 2. 4晶格結(jié)構(gòu)為了研究透射系數(shù)與組成光子晶體晶格結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系, 本文計(jì)算了對(duì)稱(chēng)性依次降低的三種晶格類(lèi)型:正方形晶格、蜂窩形晶格、六邊形晶格。后兩種結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖5, 圖中圓形單元代表空氣柱, 空氣周?chē)?4半導(dǎo)體光電2006年2月第27卷第1期湯炳書(shū)等:二維光子晶體透射特性的FD TD 數(shù)值研究 是介電常數(shù)為

16、10. 5的高介電材料。空氣圓柱半徑不變, 只改變晶格結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。從圖中可看出降低結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性, 禁帶寬度增大, 正方形晶格的禁帶最小, 六角形最寬 。圖5 蜂窩形和六角形晶格結(jié)構(gòu)二維光子晶體圖6晶格結(jié)構(gòu)不同時(shí)的透射譜4結(jié)論用時(shí)域有限差分法對(duì)常見(jiàn)的影響二維光子晶體透射系數(shù)的因素進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)值分析與研究。從以上計(jì)算結(jié)果與分析可以得出如下結(jié)論:二維光子晶體的透射特性與組成光子晶體的介質(zhì)柱的粗細(xì)、形狀有關(guān), 在相同晶格結(jié)構(gòu)下空氣介質(zhì)柱半徑越大、填充比d /a 越大則禁帶越寬。二維光子晶體的透射特性與組成光子晶體的介質(zhì)柱的介電常數(shù)、晶格結(jié)構(gòu)有關(guān), 在同一晶格結(jié)構(gòu)下, 介質(zhì)柱的介電常數(shù)與背景

17、材料的介電常數(shù)相差越大越易形成禁帶。晶格結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性會(huì)影響禁帶的寬度與位置, 六角形晶格結(jié)構(gòu)與正方形、蜂窩形相比具有更寬禁帶。 同時(shí)圖7背景與柱體介電常數(shù)交換后的透射譜我們研究了TM 模下的正方晶格空氣圓柱型二維光子晶體的透射特性, 背景材料與介質(zhì)柱介電常數(shù)交換后的透射特性, 結(jié)果見(jiàn)圖7。結(jié)果表明TE 模比TM 模相比更易得到禁帶, 空氣作為背景材料禁帶更顯著, 這與文獻(xiàn)11的結(jié)果一致, 所以相關(guān)研究中大多采用TE 模, 背景材料選空氣。參考文獻(xiàn):1萬(wàn)鈞, 張淳, 王靈俊, J.物理,1999(7 2, E W C. Layer 2by 2layer2structure with a larg

18、e photonic .Appl. Phys. Lett. ,2004,84:3622364. , 戴麗莉. 二維復(fù)合介質(zhì)構(gòu)成的光子晶體能帶結(jié)構(gòu)J.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版 ,2001,22(4 :63266.4Qiu M B ,J askorzynska M ,Benisty H. Time 2domain 2Dmodeling of slab 2waveguide based photonic 2crystal devices in the presence of out 2of 2plane radiation losses J.Microwave Opt. Technol. Lett. ,2002,34(5 :3872393.5莊飛, 肖三水. 二維正方各向異性碲圓柱光子晶體完全禁帶中缺陷模的FD TD 計(jì)算分析