1995考研數(shù)三真題及解析

1、1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè),則 .(2) 設(shè),可導(dǎo),則 .(3) 設(shè),則 .(4) 設(shè),是的伴隨矩陣,則 .(5) 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其中參數(shù)和未知,記則假設(shè)的檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列廣義積分發(fā)散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3)

2、 設(shè)矩陣的秩為,為階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是 ( )(A) 的任意個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)(B) 的任意一個(gè)階子式不等于零(C) 若矩陣滿足,則(D) 通過(guò)初等行變換,必可以化為的形式(4) 設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立同分布,記,則隨機(jī)變量與必然( )(A) 不獨(dú)立 (B) 獨(dú)立 (C) 相關(guān)系數(shù)不為零 (D) 相關(guān)系數(shù)為零(5) 設(shè)隨即變量服從正態(tài)分布,則隨的增大,概率 ( )(A) 單調(diào)增大 (B) 單調(diào)減少 (C) 保持不變 (D) 增減不定三、(本題滿分6分)設(shè),試討論在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性. 四、(本題滿分6分)已知連續(xù)函數(shù)滿足條件,求.五、(本題滿分6分)將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)間.六

3、、(本題滿分5分)計(jì)算.七、(本題滿分6分)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,收益函數(shù)為,其中為產(chǎn)品價(jià)格,為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),為單調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí),邊際收益,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng),需求對(duì)價(jià)格的彈性.求和.八、(本題滿分6分)設(shè)、在區(qū)間()上連續(xù),為偶函數(shù),且滿足條件(為常數(shù)).(1) 證明；(2) 利用(1)的結(jié)論計(jì)算定積分.九、(本題滿分9分)已知向量組()；()；(),如果各向量組的秩分別為,.證明:向量組的秩為4.十、(本題滿分10分)已知二次型.(1) 寫(xiě)出二次型的矩陣表達(dá)式；(2) 用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.十一、(本題滿分8分)假設(shè)一廠家生產(chǎn)的

4、每臺(tái)儀器,以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠；以概率0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立).求： (1) 全部能出廠的概率；(2) 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率； (3) 其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率.十二、(本題滿分8分)已知隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度為求和聯(lián)合分布函數(shù).1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.) (1)【答案】【解析】由于所以 .(2)【答案】【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, ,.所以 .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：的

5、導(dǎo)數(shù)為.(3)【答案】【解析】在中令,則,從而.(4)【答案】【解析】由,有,故.而 ,所以 .(5)【答案】【解析】假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)基本問(wèn)題,它是根據(jù)具體情況和問(wèn)題的要求,首先提出原假設(shè),再由樣本提供的信息,通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)判斷對(duì)總體所作的假設(shè)是否成立.首先分析該題是屬于一個(gè)正態(tài)總體方差未知的關(guān)于期望值的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.據(jù)此類型應(yīng)該選取檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得 .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(1) 確定所要檢驗(yàn)的基本假設(shè)；(2) 選擇檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對(duì)確定的顯著性水平,查相應(yīng)的概率分布,得臨界值,從而確定否定域；(4) 由樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,

6、并判斷其是否落入否定域,從而對(duì)假設(shè)作出拒絕還是接受的判斷.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 所以應(yīng)選(D).(2)【答案】(A)【解析】由計(jì)算知,且泊松積分 ,故應(yīng)選(A).注：對(duì)于本題選項(xiàng)(A),由于當(dāng)時(shí),故在積分區(qū)間中是瑕點(diǎn),反常積分應(yīng)分解為兩個(gè)反常積分之和:,而且收斂的充要條件是兩個(gè)反常積分與都收斂.由于廣義積分 ,即發(fā)散,故發(fā)散. 在此不可誤以為是奇函數(shù),于是,從而得出它是收斂的錯(cuò)誤結(jié)論.(3)【答案】(C)【解析】表示中有個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),有階子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正確.經(jīng)初等變換可把化成標(biāo)準(zhǔn)形,一般應(yīng)當(dāng)

7、既有初等行變換也有初等列變換,只用一種不一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形.例如,只用初等行變換就不能化成的形式,故(D)不正確.關(guān)于(C),由知,又,從而,按定義又有,于是,即.故應(yīng)選(C).(4)【答案】(D)【解析】 .由于和同分布, 因此,于是有.由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式 ,所以與的相關(guān)系數(shù)也為零,應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】協(xié)方差的性質(zhì)：；.(5)【答案】(C)【解析】由于將此正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化,故,計(jì)算看出概率的值與大小無(wú)關(guān).所以本題應(yīng)選(C).三、(本題滿分6分)【解析】這是一道討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性的問(wèn)題.一般要用連續(xù)性與可導(dǎo)性的定義并借助函數(shù)在分界點(diǎn)處的左極限與右極限以及左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù).

8、,故,即在處連續(xù).即,故在處可導(dǎo),且.四、(本題滿分6分)【解析】首先,在變上限定積分中引入新變量,于是.代入題設(shè)函數(shù)所滿足的關(guān)系式,得 .在上式中令得,將上式兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)得.由此可見(jiàn)是一階線性方程滿足初始條件的特解.用同乘方程兩端,得,積分即得.由可確定常數(shù),于是,所求的函數(shù)是.五、(本題滿分6分)【解析】由知.因?yàn)?,其收斂區(qū)間為；又 ,其收斂區(qū)間為.于是有 ,其收斂區(qū)間為.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂區(qū)間：若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是正數(shù),則其收斂區(qū)間是開(kāi)區(qū)間；若其收斂半徑是,則收斂區(qū)間是.六、(本題滿分5分)【解析】方法一：本題中二重積分的積分區(qū)域是全平面,設(shè),則當(dāng)時(shí),有.從而.注意當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.于是

9、,且由于,從而可得.同理可得.于是 .方法二：設(shè),則圓域當(dāng)時(shí)也趨于全平面,從而.引入極坐標(biāo)系,則當(dāng)與時(shí),；當(dāng)時(shí),.于是 .由此可得 七、(本題滿分6分)【解析】本題的關(guān)鍵在于和之間存在函數(shù)關(guān)系,因此既可看作的函數(shù),也可看作的函數(shù),由此分別求出及,并將它們與彈性聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而求得問(wèn)題的解.由是單調(diào)減函數(shù)知,從而需求對(duì)價(jià)格的彈性,這表明題設(shè)應(yīng)理解為.又由是單調(diào)減函數(shù)知存在反函數(shù)且.由收益對(duì)求導(dǎo),有,從而 ,得.由收益對(duì)求導(dǎo),有,從而 ,于是.八、(本題滿分6分)【解析】(1)由要證的結(jié)論可知,應(yīng)將左端積分化成上的積分,即,再將作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為在上的定積分.方法一：由于 ,在中令,則由,得,且,

10、所以 .方法二：在中令,則由,得,且 .所以 (2)令,可以驗(yàn)證和符合(1)中條件,從而可以用(1)中結(jié)果計(jì)算題目中的定積分.方法一：取,.由于滿足,故 .令,得,即.于是有 .方法二：取,于是.(這里利用了對(duì)任何,有)以下同方法一.九、(本題滿分9分)【解析】因?yàn)?所以線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),因此可由線性表出,設(shè)為.若 ,即 ,由于,所以線性無(wú)關(guān).故必有解出.于是線性無(wú)關(guān),即其秩為4.十、(本題滿分10分)【解析】(1)因?yàn)閷?duì)應(yīng)的矩陣為,故的矩陣表示為.(2)由的特征方程 ,得到的特征值為.由得基礎(chǔ)解系,即屬于的特征向量.由得基礎(chǔ)解系,即屬于的特征向量.由得基礎(chǔ)解系,即屬于的特征向量.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣,特征值不同特征向量已正交,故只須單位化,有那么令 ,經(jīng)正交變換,二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.十一、(本題滿分8分)【解析】對(duì)于新生產(chǎn)的每臺(tái)儀器,設(shè)事件表示“儀器需要進(jìn)一步調(diào)試”,表示“儀器能出廠”,則“儀器能直接出廠”,“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”.且,與互不相容,應(yīng)用加法公式與乘法公式,且由條件概率公式,有 .設(shè)