不等式“相等”與“不等”

1、不等式一、考綱要求1.明確不等式的意義，掌握不等式的主要性質(zhì)，并能正確靈活地應(yīng)用這些性質(zhì)解決問題.2.在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法的基礎(chǔ)上掌握高次不等式和分式不等式的解法.3.掌握一些簡單的無理不等式的解法.4.掌握一些簡單絕對(duì)值不等式的解法.5.掌握一些簡單指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法.6.能利用分類討論的方法解含參數(shù)的不等式.7.掌握不等式的證明，掌握證明不等式的比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、反證法、換元法、判別式法.8.掌握二個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理.9.理解不等式ababab二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.不等式的基本概念.(1)兩

2、個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間具有以下性質(zhì)；如果a-b是正數(shù)，那么ab；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么ab；如果a-b等于零，那么ab，反過來也對(duì).即：a-b0aba-b0aba-b0ab(2)同解不等式：如果第一個(gè)不等式的解都是第二個(gè)不等式的解；并且第二個(gè)不等式的解也都是第一個(gè)不等式的解，那么這兩個(gè)不等式叫做同解不等式.2.不等式的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)abba(對(duì)稱性)ab，bcac(傳遞性)aba+cb+c(加法單調(diào)性)ab，c0acbcab，c0acbc(乘法單調(diào)性)(2)運(yùn)算性質(zhì)ab，cdacb+d(同向不等式相加)ab，cdacbd(同向不等式相減)ab0，cd0acbd(同向不等式相乘)ab0，0cd(同

3、向不等式相除)ab0(nZ，且n1)(開方法則)ab0anbn(nZ，且n1)(乘方法則)3.重要的基本不等式(1)若aR，則a0，a20(2)若a、bR，則a2+b22ab(3)若a、bR+，則(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)(4)若a、b、cR+，則3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立)(5)a0時(shí)xax2a2x-a或xaxax2a-axa(6)若a、bR，則a-ba±bab4.解不等式的基本思想是化歸為一元一次或一元二次不等式，主要依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，要特別注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.  f(x)a a0時(shí)，a f(x)0a  a0時(shí)，af(x)0 f(x)a a0時(shí)，a f

4、(x)0a  a0時(shí)，x  f(x)0 g(x)0 f(x)g(x)  f(x)0 f(x)0g(x) g(x)0 或 f(x)g(x) g(x)0  f(x)0g(x) g(x)0 f(x)g(x)(6)指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.af(x)ag(x)(a1) f(x)g(x)；af(x)ag(x)(0a1 f(x)g(x)；af(x)b(a0，b0，ab) f(x)·lga=lgb(7)對(duì)數(shù)不等式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.logaf(x)logag(x)(a1) 0f(x)g(x)logaf(x)logag(x)(0a1 f(x)g(x)0(8

5、)含有絕對(duì)值符號(hào)不等式f(x)a(a0) -af(x)af(x)a(a0) f(x)a或f(x)-a另外，對(duì)于含有參數(shù)的不等式，要能正確地運(yùn)用分類討論方法求解.5.證明不等式不等式的證明的方法很多，主要應(yīng)掌握比較法、分析法與不等式的解法(1)一元一次不等式axba0時(shí)，解集為xxaa0時(shí)，解集為xxaa=0時(shí)，()b0，解集為；()b0，解集為R類型解集(2)一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是二次三項(xiàng)式ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，且x1x2 ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx

6、20xx-xRRxx=-0RR(3)簡單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.(4)分式不等式：先整理成一般形式0或0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：0f(x)·g(x)0 f(x)·g(x)00 (或f(x)=0或f(x)·g(x)0) g(x)0然后用“根軸法”或化為不等式組求解.(5)無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解，常見類型有數(shù)學(xué)歸納法，另外，

7、對(duì)反證法，放縮法和判別式法利用函數(shù)單調(diào)性等方法也應(yīng)明確.A.比較法：a.求差比較法：aba-b0；aba-b0；a=ba-b=0b.求商比較法：b0，1ab；b0，1ab步驟：作差(或商)變形判斷.B.綜合法利用某些已經(jīng)證明的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所求證的不等式，這種證明方法叫綜合法.綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч?，也就是從一個(gè)(組)已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出要求證的不等式.常用性質(zhì)有：a.(a+b)0；b.若a、bR，a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))；c.若a0，b0，c0，則有：a+b2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))；a+b+c3

8、(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))；a+b+c3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)).C.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題.如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”，即從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知不等式為止.6.不等式的應(yīng)用利用不等式求最值，主要利用公式，其中ai0(i=1,2,n)(1)當(dāng)a1+a2+an=m（常數(shù)）時(shí)，乘積a1·a2an有最大值，其最大值為()n，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取最大

9、值.(2)當(dāng)a1·a2anN(常數(shù))時(shí)，和a1+a2+an有最小值，其最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取最小值.利用此公式求最值，必須同時(shí)滿足下面三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù)；其和或積為常數(shù)；等號(hào)必須成立.利用此公式求最值，只需掌握n=2，3時(shí)的情形.三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)“相等”與“不等”的關(guān)系“相等”和“不等”是現(xiàn)實(shí)世界物質(zhì)形式中量與量的兩種重要的關(guān)系，它們是相互關(guān)聯(lián)，相互依存的，在一定的條件下，互相轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要注意“相等”與“不等”的相互關(guān)系，抓住實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，通過“相等”與“不等”的轉(zhuǎn)化，找到解決問題的途徑，達(dá)到解決問題的目的.為便于說明，舉例如下：1.“相等

10、”與“不等”相互轉(zhuǎn)化.a)“相等”向“不等”的轉(zhuǎn)化例1 在ABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求證：B.這個(gè)問題的已知是三角形中量的一種相等關(guān)系，要求從相等的條件出發(fā)，去推證出關(guān)于另一(些)量的不等關(guān)系.雖說本題考查的是對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、不等式的一些相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并要求把分析法、綜合法加以綜合運(yùn)用，但問題的實(shí)質(zhì)卻是某種“相等關(guān)系”向“不等關(guān)系”的轉(zhuǎn)化，抓住這一實(shí)質(zhì)特征，就可以找到解決問題的方法.當(dāng)然要熟練掌握對(duì)數(shù)、三角函數(shù)及不等式的知識(shí)，在這里根據(jù)題意激活知識(shí)也是必不可少的.簡解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgctg2B=tgA·tgc

11、tgB=tg(-(A+C)=-tgA+tgC=tgB(tg2B)tgA+tgC2=2tgB即 tg2B-12tgB B這里，抓住了tg2B=tgA·tgC這一相等關(guān)系及tgB=-隱含關(guān)系.通過tgA+tgC2這一恒成立的不等式得出關(guān)于tgB的不等式，求解即得結(jié)論.b)“不等”向“相等”的轉(zhuǎn)化.)由實(shí)數(shù)理論知：若ab且ab則必有a=b，這是由“不等”變?yōu)椤跋嗟取钡牡湫湍Ｐ?，在?shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，例如：由(x-y)20及隱含條件(x-y)20可以導(dǎo)出(x-y)0)添加變量使“不等”變“相等”.例如：由x+y0y-x可含y=-x+t，這里t0，從而把x,y的“不等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為某種“相等”關(guān)

12、系.例2 已知a、b、cR，函數(shù)f(x)=axbx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)-1x1時(shí)，f(x)1(1)證明：c(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，g(x)2(3)設(shè)a0，當(dāng)x1時(shí)，g(x)的最大值是2，求f(x).本題綜合了函數(shù)、方程、不等式的知識(shí)與方法，由于是以證明不等式為主，對(duì)邏輯思維和推理論證能力的要求很高，難度很大，它以二次函數(shù)和一次函數(shù)為載體，側(cè)重考查函數(shù)的概念，含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性等數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用，并利用函數(shù)作為材料，考查恒等變形，放縮變形的方法和技能，等式和不等式的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.這里僅剖析第(3)小題.已知告訴我們：對(duì)一切x-1,1，g(x)2恒成立，這是不等的關(guān)系，

13、由此(加上“a0”)要得出f(x)的表達(dá)式，即給出一組值，使之分別與a、b、c相等，很明顯是“不等”向“相等”的轉(zhuǎn)化.簡解如下：a0，g(x)=ax+b是-1,1上的增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)max=g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) -1f(0)=f(1)-21-2-1c=f(0)=-1當(dāng)-1x1時(shí)f(x)-1恒成立，即f(x)f(0)直線x=0是拋物線y=f(x)的對(duì)稱軸，由此可得-=0，即b=0代入得a=2f(x)=2x2-12.“相等”與“不等”的構(gòu)造從上可以看出，“相等”向“不等”的轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵之處在于構(gòu)建出相關(guān)的不等關(guān)系，再將這個(gè)不等關(guān)系向目標(biāo)(不等式)作進(jìn)一步

14、的變形處理即可.a)在“相等關(guān)系”中構(gòu)造出“不等關(guān)系”：途徑：利用重要不等式：)a2+b22ab)a、b、cR，a+b2，a+b+c3)+2(a、b0)等等利用函數(shù)單調(diào)性：f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù)，若x1、x2I，則f(x)f(x)；f(x)是區(qū)間I上的減函數(shù)，若x1、x2I，則f(x1)f(x2)；利用等量關(guān)系中的隱含條件，如 x-0 xay= x2+y2=a2 y0 ya例3 已知a、bR且a+b=1，求證a2+b2=1這是一道膾炙人口的名題，其證法有多種，常見的方法有：平方法、三角法、幾何法等，但另辟蹊徑，巧用“相等”與“不等”，又可別開生面，證明如下：證明：a b兩式相加得a+b1又

15、已知a+b=1，則上述兩不等式必同時(shí)取等號(hào)即a=,b=a2+b2=1例4 求滿足(x2+2x+3)(y2+1)=2的實(shí)數(shù)x,y解：x2+2x+3=(x+1)2+22 y2+11(x2+2x+3)(y2+1)2 當(dāng)且僅當(dāng)x2+2x+3=2,y2+1=1時(shí)成立解之得x=-1且y=0b)在“不等”關(guān)系中構(gòu)造“相等”關(guān)系. x=rcos途徑：設(shè)元構(gòu)造.例：x2+y21 (0r1) y=rsin數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)(或方程).例：x可設(shè)y1=,y2=x例5 求證： (nN，n2)證明：2n=(1+1)n1+n+n2，nN,右端展開式中的各項(xiàng)為正2n即例6 為使不等式x2+4xy+4y2+10x+ay+b0

16、對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y恒成立，求實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件.解：為使不等式恒成立，須且僅須x2+4xy+4y2+10x+ay+b為一個(gè)實(shí)數(shù)的平方加上一個(gè)正增量t，可令x2+4xy+4y2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x2+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4 10=2m a=20根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件有： a=4m b=m2+t(t0) b=25+t25所以當(dāng)a=20,b25時(shí)，原不等式恒成立.例7 已知x2+y21，求x+y的最大值.分析：這里，量x+y與x2+y2的直接關(guān)系可以通過2(x2+y2)(x+y)2得出，還可以通過換元令x=rcos，y=rsin，則有r210r1x+y=r

17、cos+rsin=rsin(+)r得出.3.由不等進(jìn)行估算估計(jì)變數(shù)或式子的取值范圍，對(duì)某些數(shù)學(xué)問題能起到挖掘隱含信息，找到思維的切入點(diǎn)，從而使困難的問題迎刃而解. x+y=6例8 求解方程組 z2=xy-9這是二個(gè)方程三個(gè)變量的方程組，按常規(guī)似乎有無數(shù)個(gè)解.但可對(duì)xy進(jìn)行估算，可知xy9，否則z20,x+y0x0,且y0且6=x+y2xy9故z2=xy-99-9=0z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它在數(shù)學(xué)解題中確有奇效，若能有意識(shí)地挖掘問題中潛在的不等關(guān)系，使兩者聯(lián)手，往往可以及時(shí)找到矛盾點(diǎn)由不等導(dǎo)出矛盾.例9 已知銳角，滿足+=2，求證+證明：假設(shè)+

18、，則-，-，-2，-(0，)coscos(-)sincoscos(-)=sin從而2=+=2矛盾故+，同理+，+=(二)不等式與函數(shù)、方程的關(guān)系前面談到“不等”與“相等”的相互依存，轉(zhuǎn)化，在不等式與函數(shù)、方程中尤為突出.1.一元二次不等式與二次函數(shù)，一元二次方程的關(guān)系(1)一元二次方程的根(二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))是對(duì)應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值，由此可引申出解一元高次不等式的“根軸法”，可以由數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)圖像求不等式的解集.(2)方程的條件根問題可以借助所設(shè)輔助函數(shù)與關(guān)于函數(shù)值的不等式，得出等價(jià)轉(zhuǎn)化.例10 2x-3x=k在-1,1內(nèi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.此題是有關(guān)一元二

19、次方程根的個(gè)數(shù)討論，通過構(gòu)造二次函數(shù)，討論其零值點(diǎn)的分布，借助不等式求出k的范圍.解：設(shè)y=2x2-3x-k=f(x)若方程2x2-3x-k=0在-1，1上有兩根，則 0 f(-1)0 9+8k0 f(1)0 2+3-k0 解之得：-k-1 -11 2-3-k0若方程2x2-3x-k=0在-1,1上僅有一根則 0 k- -1k5 f(-1)f(1)0 (5-k)(1-k)0綜上可知，k-,52.不等式與函數(shù)最值(1)求函數(shù)的最大值與最小值涉及的范圍極為廣泛，可使用的方法很多，代數(shù)的，三角的，幾何的問題中都有大量的求最值問題，求函數(shù)的值域也常歸結(jié)為函數(shù)的最值；許多實(shí)際問題的應(yīng)用題也能利用最值解決

20、.而最值問題往往歸結(jié)為不等問題，用不等式的性質(zhì)以及求解不等式的方法都可用于解決最值問題，代數(shù)課本上冊(cè)P26例2實(shí)際上是兩個(gè)極值定理，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，(課本上雖為二個(gè)正數(shù)，但可推廣到三、四個(gè)及多個(gè)的情形)在利用它解決問題時(shí)，要注意三個(gè)條件“一正、二定、三能等”即：這幾個(gè)數(shù)都必須是正數(shù).例如：當(dāng)xy=4，如果沒有x、y都為正數(shù)這個(gè)條件，就不能說x+y有最小值4，因?yàn)槿魓=y=-2雖滿足xy=4但x+y=-44.這幾個(gè)數(shù)必須滿足條件“和為定值”或“積為定值”，如果找不出“定值”這個(gè)條件，就不能應(yīng)用這兩個(gè)定理.例如：當(dāng)x0時(shí)，求y=x2+的最小值，若寫成y=x2+2=2(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x2=即x=1

21、時(shí)ymin=2=2)則最小值為2，這是錯(cuò)誤的.而應(yīng)該是這樣的：由于x2··=4為定值，故y=x2+=x2+3=，即ymin(顯然()3=8 即2要保證等號(hào)能成立，如果等號(hào)不能成立，則求出的仍不是最值，例如：當(dāng)0x時(shí)求y=sinx+的最小值，盡管y=sinx+2=4.但ymin是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng)sinx=時(shí)可推出sinx=2(sinx0)不成立，這只能說y4恒成立，因此ymin4必成立，實(shí)際上由y=t+在(0，1)上是單調(diào)減函數(shù)可知，當(dāng)sinx=1時(shí)ymin=5(2)不等式與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的最值xR時(shí) 當(dāng)a0時(shí)，x=-時(shí)，ymin=；當(dāng)a0，x=-時(shí)yma

22、x=當(dāng)xm,n(mn時(shí)，易畫出圖像(是拋物線的一部分)“看圖說話”.例11 若a0，y=ax2+bx+c的最值如下表 n-m-nm-最大值f(m)f(m)f(n)f(n)最小值f(n)f(-)f(-)f(m) 當(dāng)a0時(shí)，可依上表寫出類似結(jié)論.(3)重要函數(shù)y=x+c，(a0,x0)的單調(diào)性.利用不等式的性質(zhì)可證明，y=x+ f(m) 在(o，)上是減函數(shù)，在QS，+)上是增函數(shù).例12 求y=的最值解：y=+令t=2，于是y=t+在1,+)單調(diào)遞增，可知t=2，即x=0時(shí)ymin=(三)不等式與幾何的關(guān)系數(shù)學(xué)關(guān)系實(shí)質(zhì)上是反映現(xiàn)實(shí)生活中的量與量的關(guān)系的，因而往往具有一些實(shí)際意

23、義(或幾何意義)，不等關(guān)系也是這樣.1.構(gòu)造幾何圖形證明不等式1)對(duì)于一些含有“A+BC”結(jié)構(gòu)的不等式問題，可聯(lián)想“三角形兩邊之和大于第三邊.”構(gòu)造三角形證明例13 x、y、zR+，求證：+簡析： x2+y2-xy=x2+y2-2xycos60°由 y2+z2-yz=y2+z2-2yzcos60°聯(lián)想到余弦定理，構(gòu)造三棱錐 z2+x2-xz=x2+z2-2xzcos60°o-ABC得證(如圖)，AB= BC= CA=及ABC中，AB+BCAC2)對(duì)于一些含有“A·B或(A+B)·C”結(jié)構(gòu)的不等式問題，可聯(lián)想面積證明之例14 設(shè)ac,bc0,求證

24、：+簡析：()2+()2=()2()2+()2=()2即勾股定理，+=(+)聯(lián)想到梯形面積可用補(bǔ)形法構(gòu)造一個(gè)梯形.(如圖二)3)對(duì)于含有“a2+b2=c2”結(jié)構(gòu)的不等式問題，可聯(lián)想長方體中的對(duì)角線與棱長的公式，構(gòu)造長方體.4)對(duì)于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或”結(jié)構(gòu)的不等式問題可用解幾中的兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行構(gòu)圖求證.5)對(duì)含有“a2+b2=R2且aA+bB+C=0”結(jié)構(gòu)的不等問題，可構(gòu)造圓與直線的位置關(guān)系求證.2.運(yùn)用不等式知識(shí)解決幾何最值這類問題主要是通過建立目標(biāo)函數(shù)之后，應(yīng)用不等式知識(shí)(如函數(shù)單調(diào)性，基本不等式等)求出函數(shù)最值，這里不作詳述.(四)不等式與其它雜

25、題1.不等關(guān)系的探索.現(xiàn)實(shí)生活中量與量的不等關(guān)系是普遍的、大量的，高考中探索性問題即包含對(duì)不等關(guān)系的探索，下面舉例說明之：例15 已知Sn=1+(nN),設(shè)f(n)=S2n+1-Sn+1.試確定m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)，不等式f(n)m恒成立.分析：依題意f(n)=S2n+1-Sn+1=+(nN)由于f(n)無法求和化簡，故應(yīng)把f(n)看作n的函數(shù)，只須求出f(n)的最小值即可.略解：f(n)= + f(n+1)=+且f(n+1)-f(n)=+ -=(-)+(-)0f(n+1)f(n) (n1，nN)f(2)是f(n)(n1，nN)的最小值f(2)=要使f(n)m恒成立，只須f

26、(2)m恒成立，故m例16 已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1=b1,a2=b2,a1a2,an0,nN(1)試比較a3,b3及a4,b4的大小.(2)推測an與bn的大小，并證明你的結(jié)論.(結(jié)論：bnan對(duì)任意nN，n3成立)簡析：運(yùn)用歸納法進(jìn)行探測，猜出一般性的結(jié)果，用數(shù)學(xué)歸納法證明之.例17 定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足()對(duì)任意x、y(-1，1)有f(x)+f(y)=f() ()當(dāng)x(-1,0)時(shí)，有f(x)0，試研究f()+f()+f()與f()的關(guān)系.簡析：由()、()可知f(x)是(-1，1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù).f()=f()=f()=f()+f(-)=f()-f

27、()f()+f()+f()=f()-f()+f()-f()+f()-f()=f()-f()f()(01，f()0)2.不等式問題中的思維策略1)反客為主當(dāng)從正面按常規(guī)方法不易得出問題的解時(shí)，可以變換角度從側(cè)面入手尋找突破口.例18 當(dāng)p2時(shí)，不等式2x-1p(x2-1)恒成立，求x的取值范圍 x2-1=0 x2-10 x2-10簡析：若按常規(guī)思路，將問題轉(zhuǎn)化為 或 或 2x-10 2 -2分別解三個(gè)不等式組獲解，但太繁瑣.若“反客為主”將原不等式化為關(guān)于P的不等式：(1-x2)p+(2x-1)0構(gòu)造函數(shù)f(p)=(1-x2)p+2x-1問題轉(zhuǎn)化為對(duì)一切p2，f(p)0恒成立當(dāng)1-x2=0時(shí)易得

28、x=1 f(-2)0當(dāng)1-x20時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) 解之得x且x1 f(2)0綜上 x2)以退為進(jìn)有時(shí)從問題的整體去思考頗為費(fèi)解，但若退出局部著手，常能輕易找出問題的解決途徑.例19 在銳角ABC中，求證：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC簡析：觀察此題，求證式整體與局部，三個(gè)角的三角函數(shù)有輪換的特征可退出局部考察A、B的關(guān)系是否有sinAsinB證明：A+B=-CA-B0sinAsin(-B)=cosB同理 sinBcosCsinCcosA三式相加得sinA+sinB+siCcosA+cosB+cosC四、能力訓(xùn)練1.某廣場中心要建一燈柱，廣場邊緣A點(diǎn)距燈柱根部(B點(diǎn))100

29、米，已知該點(diǎn)的照明亮度I和燈光射到這點(diǎn)的光線與地面夾角的正弦成正比，和這點(diǎn)的光源P的距離r的平方成反比，若要使A點(diǎn)獲得最好的照明亮度，燈柱應(yīng)建多高?(精確到0.1米)本題考查三角函數(shù)、立體幾何解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、成比例的概念，利用不等式求最值的方法.2.已知xn=sin21·sin22·sin23sin2 yn=1-(cos21+cos22+cos2n)(nN)(1)判斷x1與y1，x2與y2的大小關(guān)系，加以證明.(2)猜想xn與yn的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若cosn=(cos)n+1，證明xn.本題考查三角函數(shù)的恒等變形，不等式的證明及觀察、歸

30、納由特殊到一般的推理能力.3.某科研所要到某藥廠買100桶藥劑作試驗(yàn)用，每天用一桶，無論多少桶每趟的運(yùn)費(fèi)都是100元，而每桶藥在科研所每天的儲(chǔ)存保質(zhì)費(fèi)用需2元，問應(yīng)分幾趟(每趟購量相等)購買，才能使總的花費(fèi)最省?(注：運(yùn)回當(dāng)天用一桶，不考慮買藥劑的費(fèi)用)本題主要考查學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的理解，建模(利用函數(shù)求最小值)和求解能力及等差數(shù)列的綜合運(yùn)用.4.某縣地處水鄉(xiāng)，縣政府計(jì)劃從今年起用處理過的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造池，(1)若該縣以每年1%的速度減少填河面積，并為保持生態(tài)平衡，使填河總面積永遠(yuǎn)不會(huì)超過現(xiàn)有水面面積的，問今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的百分之幾?(2)水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的

31、降低，為了保持其防洪能力不會(huì)下降，就要增加排水設(shè)備，設(shè)經(jīng)費(fèi)y(元)與當(dāng)年所填土地面積x(畝)的平方成正比，比例系數(shù)為a，又設(shè)每畝水面年平均經(jīng)濟(jì)收入為b元，所填的每畝土地年平均收入為c元，那么，要使這三項(xiàng)收入不少于支出，試求所填面積x的最大值.(其中a、b、c為常數(shù)).本題考查由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的能力，及求函數(shù)最值的方法，建立數(shù)學(xué)模型的能力，閱讀理解能力.5.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,且對(duì)任何實(shí)數(shù)都有f(x)2x，求a、b的值.本題考查一元二次不等式恒成立的充要條件和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，及由“不等”向“相等”轉(zhuǎn)化的能力.6.漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證

32、魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量，已知魚群的年增長量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k0)(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.(2)求魚群的年增長量達(dá)到的最大值.(3)當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍.本題考查二次函數(shù)區(qū)間上的最值，及不等式的實(shí)際應(yīng)用.7.m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0，(1)有兩個(gè)正根；(2)有兩個(gè)大于2的根；(3)一根在(0，1)內(nèi)，另一根在(1，2)內(nèi).本題考查一元二次方程二次函數(shù)的圖像，應(yīng)用不等式與它們的關(guān)系進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的能力.8.若a、b、c、dR，且a

33、2+b2=1，c2+d2=1，求證abcd，本題考查不等式的應(yīng)用，由相等關(guān)系向不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化.9.求·3yz=7850中的數(shù)字x，y，z.本題考查整數(shù)及不等式知識(shí)，由相等向不等的轉(zhuǎn)化.10.已知y=3x2+x-2，求log4y的值.本題考查反三角函數(shù)知識(shí).11.若正整數(shù)p、q、r使方程px2-qx+r=0在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，求p的最小值.本題考查方程，不等式知識(shí)，分析問題解決問題的能力.12.邊長為5的菱形，它的一條對(duì)角線的長不大于6，另一條對(duì)角線的長不小于6，則這個(gè)菱形兩對(duì)角線長度之和的最大值是多少?本題考查幾何極值與不等式的應(yīng)用.13.某工廠擬建一座平面圖形為矩形

34、且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池(如圖)由于地形限制，長寬都不能超過16米，如果池四周圍壁建造單價(jià)為每米長400元，中間兩道隔墻造單價(jià)為每米長248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出總造價(jià).(45000元)本題考查均值不等式，函數(shù)的單調(diào)性及用之求最值，建模能力，分析解決問題的能力.14.某工廠現(xiàn)有資金a萬元(a100)，由于堅(jiān)持改革開放，生產(chǎn)蒸蒸日上，每年資金遞增20%，每年底資助希望工程b萬元.(0b0.2a)，若m(mN)年后，該廠資金至少翻一番，求m的最小值.本題考查建模能力，不等式與數(shù)列知識(shí)15.試用幾何法證明：(a0,b

35、0)本題考查不等式的幾何意義，構(gòu)圖法. 能力訓(xùn)練參考答案 1.解：設(shè)燈柱高為h米，由題意I=k·sin/r2(k為正常數(shù))r=100/cosI2=k2·sin2/(100/cos)4=k2sin2cos4/108=··(2sin2)(cos2)(cos2)()3=(定值)當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2 即tg=/2時(shí)等式成立.A點(diǎn)照明度最好，這時(shí)h=AB·tg=100×=50=70.7米故為使A點(diǎn)獲得最好的照明亮度，燈柱的高應(yīng)為70.7米.2.解(1)： x1=sin21,y1=1-cos21=sin21 x1=y1

36、x2=sin21sin22,y2=1-(cos21+cos22)x2-y2=sin21sin22-sin21+cos22=-sin21cos22+cos22=cos22·cos210 x2y22(2)猜想xnyn證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)xkyk成立，即sin1sin22sin2k1-(cos21+cos22+cos2k)則xk+1=sin21sin22sin2k·sin2k+11-(cos21+cos2+cos2k)sin2k+1=1-(cos21+cos22+cos2k)1-cos2k+1=1-(cos21+cos22+cos2k+cos2k+1)+c

37、os2k+1(cos21+cos22+cos2K)1-(cos21+ cos22+cos2k+cos2k+1)=yk+1n=k+1時(shí)，不等式成立.故對(duì)nN，都有xnyn(3)xnyn=1-(cos21+cos22+cosn)=1-()2+()3+()n+1=1-=1-+()n+13.解：設(shè)每趟購x桶，則共購趟，每趟的儲(chǔ)存保質(zhì)費(fèi)為：2(x-1)+2(x-2)+2·2+2·1=x(x-1)元依題意，總花費(fèi)y=100(x-1)+10000/x=100x-10000/x-1002-100=1900當(dāng)且僅當(dāng)100x=10000/x即x=10時(shí)等號(hào)成立.故分10趟購買，每趟購買10桶總

38、費(fèi)用最省.4.解：(1)設(shè)該縣現(xiàn)有水面面積為M(畝)，今年所填面積為x(畝)，則由條件知x+x(1-1%)+x(1-1%)2+M即：x·M100xM即：xM/400故今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%(2)由條件可知：cx-(ax2+bx)0 ax2+(b-c)x0當(dāng)c-b0時(shí) x0，不能填池.當(dāng)c-b0時(shí) 0x，所填面積的最大值為畝5.解：f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2即lga-lgb=1f(x)2x對(duì)任何x都成立即x2+(lga+2)x+lgb2x恒成立=(lga)2-4(lga-1)0lga=2即a=100代入lga-lgb=1 得b=106.解(1)

39、由題意得y=kx(1-) (0xm(2)y=-(x-)2+，當(dāng)x=時(shí)ymax=km/4(3)依題意有：0x+ym即0+m-2k2但k00k2 x10 x1+x207.解(1) x20 x1·x20原方程有兩正根的充要條件是 =4(m+2)2-4(m2-1)0 x1+x2=2(m+2)0 x1x2=m2-10 m-解得： m-2 m-1或m1即當(dāng)-m-1或m1時(shí)，原方程有兩正根. x12 x1-20 (x1-2)+(x2-2)0(2) x22 x2-20 (x1-2)(x2-2)0 x1+x2-40 0 m- 2(m+2)-40 m0 x1x2-2(x1+x2)+40 (m2-1)-4

40、(m+2)+40 m-1或m5即當(dāng)m5時(shí)原方程有兩個(gè)大于2的根.(3)設(shè)f(x)=x2-2(m+2)x+m2-1，它的圖像是開口向上的拋物線如圖，方程f(x)=0的有兩實(shí)根x1,x2且滿足0x11x22的充要條件是 f(0)=m2-10 f(1)=m2-2m-40 f(2)=m2-4m-50解得： m-1或m1 1-m1+ m-1或m5當(dāng)1-m-1時(shí)，及方程有兩個(gè)實(shí)根，且一根位于(0，1)內(nèi)，另一根位于(1，2)內(nèi).8.證一：1=a2+b22ab14abcd即abcd1=c2+d22cd證二：a2+b2=1,c2+d2=1令a=cos,b=sin,c=cos,d=sin則abcd=sincos

41、sincos=sin2cos2(sin21,sin21)9.解：表示一個(gè)百位數(shù)是3的三位數(shù).300400即910x+527x=2=314y=1,Z=410.解：依題意arcsinx但-arcsinx必有arcsinx=x=1,y=2log4y= q24pr 11.解：依題意知： p+r-q0 其中p,q,rN 1 由(2)可設(shè)q=p+r-t,其中t1,代入(1)得p+r-t2整理成()2-2+()2-t0即+(·與矛盾p(+)2取r=t=1得p(1+1)2=4p5即Pmin=5此時(shí)q=5,r=112.解：設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，AC6,BD6，則 AO2+BO2=25 (1)令A(yù)O=3+x,BO=3-y(x0,y0)AO3BO由(1)知，x,y不同時(shí)為零且x0,AO2+BO2=(3+x)2+(3-y)2=25即(x-y)2+6(x-y)+9=16-2xyx-y=±-3AC+BD=2(3+x)+2(3-y)=12+2(x-y)當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，x-y取得最大值1，AC+BD的最大值是14.13.解：設(shè)污水池長為x米，則寬為米，于是總