材料力學(xué)答案

1、第二章 軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能2-1 試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。圖2-12-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指岀軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為q°題2-2圖(a) 解：由圖2-2a(1)可知，軸力圖如圖 2-2a(2)所示，圖 2-2a(b) 解：由圖2-2b(2)可知，軸力圖如圖 2-2b(2)所示，圖 2-2b2-3 圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm 2，載荷F=50kN。試求圖示斜截面 m- m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為斜截面m-m的

2、方位角 a -50，故有桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為2-5某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，圖中還同時(shí)畫岀了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限二p、屈服極限二s、強(qiáng)度極限二b與伸長率，并判斷該材料屬于何種類型(塑性或脆性材料)°題2-5解：由題圖可以近似確定所求各量。勺：220MPa ,cs : 240MPa每：440MPa ,3： 29.7%該材料屬于塑性材料。2-7 一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。若桿徑 d =10mm，桿長I=200mm，桿端承受軸向拉力F = 20kN作用，試計(jì)算拉力作用時(shí)與卸去后桿的軸向變形。題2-6圖3解：c=4 20

3、 烏 豊=2.55 108Pa = 255MPaA n 0.0102m2查上述C- £曲線，知此時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)檩S向變形為拉力卸去后，有占.00364 ,廠0.00026故殘留軸向變形為2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F =32kN，板寬 b =100mm，板厚=15mm，孔徑d =20mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。題2-9圖解：根據(jù)查應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得根據(jù)(JmaxF(b-d) S得2-10 圖示板件，承受軸向載荷 F作用。已知載荷F=36kN，板寬 bi=90mm， b2=60mm，板厚j. =10mm，孔徑d =10mm，圓角半徑R =1

4、2mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。題2-10圖解：1.在圓孔處根據(jù)查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有2在圓角處根據(jù)查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有3.結(jié)論恥乂 =117MPa （在圓孔邊緣處）2-14 圖示桁架，承受鉛垂載荷 F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為 A，許用應(yīng)力均為1，試確定載荷F的許用值F。題2-14圖解：先后以節(jié)點(diǎn) C與B為研究對(duì)象，求得各桿的軸力分別為 根據(jù)強(qiáng)度條件，要求由此得2-15 圖示桁架，承受載荷 F作用，已知桿的許用應(yīng)力為 。若在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的 條件下，試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的值（即確定節(jié)點(diǎn) A的最佳位置）。解：1.求各桿軸力設(shè)桿AB和BC的軸力

5、分別為FN1和Fn2，由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件求得2. 求重量最輕的值由強(qiáng)度條件得結(jié)構(gòu)的總體積為由得由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的a值為2-16 圖示桁架，承受載荷 F作用，已知桿的許用應(yīng)力為。若節(jié)點(diǎn)A和C間的指定距離為 丨，為使結(jié)構(gòu)重量最輕，試確定二的最佳值。題2-16圖解：1.求各桿軸力由于結(jié)構(gòu)及受載左右對(duì)稱，故有2.求二的最佳值由強(qiáng)度條件可得結(jié)構(gòu)總體積為由得由此得二的最佳值為2-17 圖示桿件，承受軸向載荷 F作用。已知許用應(yīng)力耳=120MPa，許用切應(yīng)力習(xí)=90MPa，許用 擠壓應(yīng)力:bs = 240MPa，試從強(qiáng)度方面考慮，建立桿徑d、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。題2-17圖解：根

6、據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷F的許用值分別為Ft =號(hào)匸（a）42 2F廠血 口卜玉（b）4F s = nlh （c）理想的情況下，在上述條件下，由式（&）與（c）以及式（*與（b），分別得于是得由此得2-18 圖示搖臂，承受載荷F1與F2作用。已知載荷Ft=50kN，F(xiàn)2=35.4kN，許用切應(yīng)力 .=100MPa，許用擠壓應(yīng)力Gs=240MPa。試確定軸銷 B的直徑d。題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程7 Fx -0與7 Fy =0，分別得由此得軸銷處的總支反力為2.確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強(qiáng)度條件（這里是雙面剪）由軸銷的擠壓強(qiáng)度條件 得結(jié)論：取軸銷直徑 d _

7、0.015m=15mm。2-19 圖示木榫接頭，承受軸向載荷F = 50 kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應(yīng)力。題2-19圖解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為2-20 圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料相同，許用應(yīng)力勺=160MPa，許用切應(yīng)力習(xí)=120 MPa，許用擠壓應(yīng)力:bs = 340 MPa，載荷F = 230 kN。試校核接頭的強(qiáng)度。題2-20圖解：最大拉應(yīng)力為最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為F = 45kN作用。已知木桿的kbs=10MPa，許用切應(yīng)力2-21 圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷截面寬度 b =250mm，沿木紋方向的許用拉應(yīng)力二=6MPa，許用擠壓應(yīng)力 =1M

8、Pa。試確定鋼板的尺寸:.與丨以及木桿的高度 h題2-21圖解：由拉伸強(qiáng)度條件 得h 2$b a45 1030.250 6 106m =0.030m(a)由擠壓強(qiáng)度條件 得F2b屜345F032 0.250 10 106m = 0.009m = 9mm(b)由剪切強(qiáng)度條件得取沖0.009m代入式（a），得結(jié)論：取$ 9mm， l -90 mm， h 亠48mm2-22 圖示接頭，承受軸向載荷 F作用。已知鉚釘直徑 d=20mm，許用應(yīng)力 =160MPa，許用切應(yīng) 力.=120MPa，許用擠壓應(yīng)力；bs=340MPa。板件與鉚釘?shù)牟牧舷嗤Ｔ囉?jì)算接頭的許用載荷。題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸

9、強(qiáng)度 由圖2-22所示之軸力圖可知,2.考慮鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度3 考慮鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度結(jié)論：比較以上四個(gè) F值，得2- 23 圖a所示鋼帶AB，用三個(gè)直徑與材料均相同的鉚釘與接頭相連接，鋼帶承受軸向載荷F作用。已知載荷 F=6kN，帶寬b=40mm，帶厚=2mm，鉚釘直徑d= 8mm，孔的邊距a=20mm，鋼帶材料的許用 切應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力:bs=300MPa，許用拉應(yīng)力=160MPa。試校核鋼帶的強(qiáng)度。題2-23圖解：1 .鋼帶受力分析分析表明，當(dāng)各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時(shí)，通常即認(rèn)為各鉚釘剪切面的剪力相同。鉚釘孔所受擠壓力 Fb

10、等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb相同，鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為孔表面的最大擠壓應(yīng)力為在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b）,切應(yīng)力為鋼帶的軸力圖如圖 c所示。由圖b與c可以看岀，截面1-1削弱最嚴(yán)重，而截面 2-2的軸力最大，因此， 應(yīng)對(duì)此二截面進(jìn)行拉伸強(qiáng)度校核。截面1-1與2-2的正應(yīng)力分別為第三章軸向拉壓變形3- 2 一外徑 D= 60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長丨=400mm，兩端承受軸向拉力F =200kN作用。若彈性模量 E = 80GPa，泊松比J =0.30。試計(jì)算該桿外徑的改變量D及體積改變量 V。解：1.計(jì)算D由于故有

11、2. 計(jì)算V變形后該桿的體積為故有34 圖示螺栓，擰緊時(shí)產(chǎn)生厶l=0.10mm的軸向變形。已知：d1 = 8.0mm， d2 = 6.8mm， d3 = 7.0mm ；11=6.0mm， b=29mm， l3=8mm ； E = 210GPa，二=500MPa。試求預(yù)緊力 F，并校核螺栓的強(qiáng)度。題3-4圖解：1.求預(yù)緊力F各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，由此得2.校核螺栓的強(qiáng)度此值雖然超過c，但超過的百分?jǐn)?shù)僅為2.6 %，在5 %以內(nèi)，故仍符合強(qiáng)度要求。3-5 圖示桁架，在節(jié)點(diǎn) A處承受載荷F作用。從試驗(yàn)中測(cè)得桿1與桿2的縱向正應(yīng)變分別為 5= 4.0X 10-4與&2= 2.0 X 1

12、0-4。已知桿1與桿2的橫截面面積 A1= A2=200mm2，彈性模量E1= E2=200GPa。試確定載荷F及其方位角二之值。題3-5圖解：1.求各桿軸力2.確定F及B之值由節(jié)點(diǎn) A的平衡方程 v Fx =0和v Fy =0得化簡(jiǎn)后，成為Fni - FN2 =2Fsin 9及(b).3 （ Fni 亠 F n2 ） = 2Fcos 9聯(lián)立求解方程（a）與（b），得由此得3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷 F作用。已知板的厚度為 ：，長度為丨，左、右端的寬度分別為bi與b2，彈性模量為E。試計(jì)算板的軸向變形。題3-6圖解：對(duì)于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為 形所需之力)為 k

13、，試求當(dāng)載荷F作用時(shí)端點(diǎn)B的鉛垂位移由圖可知，若自左向右取坐標(biāo) 代入式（a），于是得X，則該截面的寬度為位移3-7 圖示桿件，長為l，橫截面面積為 A，材料密度為 ，彈性模量為E，試求自重下桿端截面題3-7圖解：自截面B向上取坐標(biāo)y , y處的軸力為該處微段dy的軸向變形為于是得截面B的位移為3-8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷f，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設(shè)沿地樁單位長度的摩擦力為 f，且f = ky 2,式中，k為常數(shù)。已知地樁的橫截面面積為A，彈性模量為E，埋入土中的長度為l。試求地樁的縮短量。解：1.軸力分析摩擦力的合力為根據(jù)地樁的軸向平衡，由此得截面y處的軸力為2.地樁

14、縮短量計(jì)算截面y處微段dy的縮短量為積分得將式（a）代入上式，于是得題3-8圖(a)3-9 圖示剛性橫梁 AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度（即產(chǎn)生單位軸向變題3-9圖解：載荷F作用后，剛性梁 AB傾斜如圖(見圖3-9)。設(shè)鋼絲繩中的軸力為 Fn ,其總伸長為 內(nèi)。圖3-9以剛性梁為研究對(duì)象，由平衡方程v Ma =0得由此得由圖3-9可以看岀，可見，內(nèi)(b)根據(jù)k的定義，有于是得3-10 圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計(jì)算節(jié)點(diǎn) A的水平與鉛垂位移。題3-10圖(a) 解：禾U用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為如圖3 10(1)所示，根據(jù)變形

15、Ji與4確定節(jié)點(diǎn)B的新位置B',然后，過該點(diǎn)作長為 1+2的垂線，并過其 下端點(diǎn)作水平直線，與過 A點(diǎn)的鉛垂線相交于 A'，此即結(jié)構(gòu)變形后節(jié)點(diǎn) A的新位置。于是可以看出，節(jié)點(diǎn) A的水平與鉛垂位移分別為圖 3-10(b) 解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為于是由圖3 10(2)可以看岀，節(jié)點(diǎn) A的水平與鉛垂位移分別為3-11 圖示桁架ABC，在節(jié)點(diǎn)B承受集中載荷 F作用。桿1與桿2的彈性模量均為 E，橫截面面積 分別為A1=320mm2與A2 =2 580mm 2。試問在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點(diǎn) B的鉛垂位移最 小，r應(yīng)取何值(即確定節(jié)點(diǎn) A的最佳位置)。題3-1

16、1圖解：1.求各桿軸力由圖3-11a得圖 3-112. 求變形和位移由圖3-11b得及3. 求B的最佳值由 d4y /d B = 0 ,得由此得將A與A2的已知數(shù)據(jù)代入并化簡(jiǎn)，得解此三次方程，舍去增根，得由此得B的最佳值為3-12 圖示桁架，承受載荷 F作用。設(shè)各桿的長度為 丨，橫截面面積均為 A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 =B :，其中n與B為由試驗(yàn)測(cè)定的已知常數(shù)。試求節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移。題3-12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為于是得節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移為3-13 圖示結(jié)構(gòu)，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點(diǎn) C承受 集中載荷F作用。已知載荷 F = 20kN，各桿

17、的橫截面面積均為 A=100mm2，彈性模量E = 200GPa，梁長l = 1 000mm。試計(jì)算該點(diǎn)的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1.求各桿軸力由a Fx =0，得由7 Fy =0，得2 求各桿變形3求中點(diǎn)C的位移由圖3-13易知，圖 3-133-14 圖a所示桁架，承受載荷 F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試求節(jié)點(diǎn)B與C間的相對(duì)位移B/C。題3-14圖解：1.內(nèi)力與變形分析禾U用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿得變形分別為2.位移分析如圖b所示，過d與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節(jié)點(diǎn) C的鉛垂線相交于e與h，然后， 在de與gh延長線取線段?3與勺2,并在其端點(diǎn)

18、 m與n分別作垂線，得交點(diǎn) C'即為節(jié)點(diǎn)C的新位置。可以看出，3-15 如圖所示桁架，設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移。題3-15圖(a)解：各桿編號(hào)示如圖 3-15a，各桿軸力依次為 該桁架的應(yīng)變能為圖 3-15依據(jù)能量守恒定律，最后得(b)解：各桿編號(hào)示如圖b列表計(jì)算如下：1200345于是，依據(jù)能量守恒定律，可得3-16 圖示桁架，承受載荷 F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求節(jié)點(diǎn) B與C間的相對(duì)位移B/c。題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計(jì)算如下：12345由表中結(jié)果可得 依據(jù)得3-17 圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用

19、。已知板的厚度為 ？，長度為丨，左、右端的寬度分別為d與b2，彈性模量為E，試用能量法計(jì)算板的軸向變形。題3-17圖解：對(duì)于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達(dá)式為2 2v _dx = 0 Fn dx(a)呂 02EA(x)°2E0b(x)由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為將上式代入式(a),并考慮到FN =F ,于是得設(shè)板的軸向變形為，則根據(jù)能量守恒定律可知，或由此得3-19 圖示各桿，承受集中載荷 F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為 EA，試求支反力與最大軸力題3-19圖(a) 解：桿的受力如圖 3-19a(1)所示，平衡方程為 一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為

20、一度靜不定。圖 3-19aAC，CD與DB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補(bǔ)充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19a(2)所示，最大軸力為(b) 解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為 一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖 3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補(bǔ)充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19b(2)所示，最大軸力為3-20 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2的橫截面面積相同，彈性模量均為E，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力習(xí)=160MPa,許用壓應(yīng)力:c=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。題3-20圖解：容易看岀，在載荷F作用下，桿2伸長，桿1縮短

21、，且軸向變形相同，故Fn2為拉力，F(xiàn)n1為壓力，且大小相同，即以剛性梁BC為研究對(duì)象，鉸支點(diǎn)為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根據(jù)強(qiáng)度條件，取3-21 圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度相同，試求各桿軸力。題3-21圖(a)解：此為一度靜不定桁架。設(shè)Fn,ab以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿AB為研究對(duì)象，由送Fy= 0,得fn,bc fn,ab = F(a)后取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，由Fx =0和7 Fy =0依次得到FN ,ad = fn,ag(b)及02Fn ,ad COS45 = Fn ,ab(c)在節(jié)點(diǎn)A處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系(節(jié)點(diǎn) A鉛垂向下)蟲BC -蟲AB2蟲

22、ADcos45(d)物理關(guān)系為將式(e)代入式(d)Ai 一 FnbcI 盲，F(xiàn)n，abI內(nèi)京，"ADFn ,AD ' 2lEA(e)，化簡(jiǎn)后得聯(lián)解方程(a).(c)和(d)，得tf(拉),(b)解：此為一度靜不定問題。Fn,bcFn,ab寧尸(壓)，F(xiàn)n,ad=Fn,ag導(dǎo)(拉)考慮小輪A的平衡，由V Fy=O，得由此得在F作用下，小輪 A沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下,42 ： 0，故有Fni的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-22 圖示桁架，桿 1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成,許用應(yīng)力分別為=40MPa，E3=200GPa。若載荷 F=160

23、kN， A1 =二2=60MPa，二3=120MPa，彈性模量分別為 Ei=160GPa，E2=100GPa，A2= 2A3，試確定各桿的橫截面面積。題3-22圖解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)C處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和bo圖 3-22由圖a可得平衡方程、Fx=0, Fn1=-Fn2(a)1' Fy =0，； Fn2 Fn3 = F(b)2由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為Al2Al1cta n30-Al3(c)sin 30根據(jù)胡克定律，有將式(d)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為聯(lián)解方程(a)，(b)和(c '，并代入數(shù)據(jù)，得FN1 =22.6kN (壓)，F(xiàn)N2 =26.1

24、kN (拉)，F(xiàn)N3 =146.9kN (拉)根據(jù)強(qiáng)度要求，計(jì)算各桿橫截面面積如下：根據(jù)題意要求，最后取3-23 圖a所示支架，由剛體 ABC并經(jīng)由鉸鏈 A、桿1與桿2固定在墻上，剛體在 C點(diǎn)處承受鉛垂載荷F作用。桿1與桿2的長度、橫截面面積與彈性模量均相同，分別為1=100 mm, A=100 mm2，E=200GPa。設(shè)由千分表測(cè)得 C點(diǎn)的鉛垂位移；mm，試確定載荷F與各桿軸力。題3-23圖解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體 ABC將繞節(jié)點(diǎn)A沿順時(shí)針方向作微小轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖 b所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程7 M A =0，得F N1由變形圖中可以

25、看岀，變形協(xié)調(diào)條件為(b)二2訓(xùn)2根據(jù)胡克定律,FN1 1A11EA將上述關(guān)系式代入式（b），得補(bǔ)充方程為聯(lián)立求解平衡方程（Al2F nz1EA(c)a）與上述補(bǔ)充方程，得F -4F5F與各桿軸力C'CC :AC)(圖 b)，F(xiàn) N2=2F_ 5(d)2.由位移：y確定載荷 變形后，C點(diǎn)位移至 又由于 由此得將式（0與（d）的第一式代入上式，于是得 并從而得且直線AC與AB具有相同的角位移 ：，因此，C點(diǎn)的總位移為3-24 圖示鋼桿，橫截面面積A=2500mm2，彈性模量 E=210GPa，軸向載荷F=200kN。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。（a）間隙：=0.6 mm ；（b）

26、間隙：=0.3 mm。題3-24圖解：當(dāng)桿右端不存在約束時(shí)，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為當(dāng)間隙=0.6 mm時(shí)，由于二：，僅在桿C端存在支反力，其值則為當(dāng)間隙=0.3 mm時(shí)，由于、下：，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。圖 3-24桿的平衡方程為補(bǔ)充方程為由此得而C端的支反力則為3-25 圖示兩端固定的等截面桿 AB，桿長為丨。在非均勻加熱的條件下，距 A端x處的溫度增量為2 2T TbX /I ，式中的Tb為桿件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為E與：X。試求桿件橫截面上的應(yīng)力題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長此為一度靜不定問題。假如將B端約束

27、解除掉，則在X處的桿微段dx就會(huì)因溫升而有一個(gè)微伸長全桿伸長為2 求約束反力設(shè)固定端的約束反力為F，桿件因F作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件可得3 求桿件橫截面上的應(yīng)力3-26 圖示桁架，桿 BC的實(shí)際長度比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為？。如使桿端B與節(jié)點(diǎn)G強(qiáng)制地連接在起，試計(jì)算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EAo題3-26圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號(hào)15。由強(qiáng)制裝配容易判斷，桿13受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點(diǎn) G和C的受力圖分別示如圖 3-26a和b。圖 3-26根據(jù)平衡條件，由圖a可得FN1 = FN2 = FN3由圖b可得FN4 = Fn5，F(xiàn)n3 = 2F

28、n4 cos3° =、' 3Fn4變形協(xié)調(diào)關(guān)系為（參看原題圖）口 cos60色壘Al3cos30(b)(c)依據(jù)胡克定律，有Ah =汕EA(i =15)(d)將式（d）代入式（c），得補(bǔ)充方程A如EA2Fw、3I FnI3EA EA(e)聯(lián)立求解補(bǔ)充方程（e）、平衡方程（a）與（b），最后得 即F N,BC =Fn,GD =Fn,GE(9-2、3)EA A一 23l(拉)(壓)F _F 0 3-2)EA a n,cd n,ce -23l3-27 圖a所示鋼螺栓，其外套一長度為 l的套管。已知螺栓與套管的橫截面面積分別為Ab與At，彈性模量分別為Eb與瓦，螺栓的螺距為 p?，F(xiàn)將

29、螺母旋緊1/5圈，試求螺栓與套管所受之力。螺帽與螺母的變形 忽略不計(jì)。題3-27圖解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉(zhuǎn)1/5圈，即旋進(jìn)：=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。設(shè)螺栓所受拉力為 FNb，伸長為1b，套管所受壓力為 FNt，縮短為It，則由圖b與c可知，平衡方程為FNb - FNt = 0而變形協(xié)調(diào)方程則為利用胡克定律，得補(bǔ)充方程為FNblFNt l _ .(b)AbEbAtEt最后，聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(b)，得螺栓與套管所受之力即預(yù)緊力為 式中，3-28 圖示組合桿，由直徑為 30m

30、m的鋼桿套以外徑為 50mm、內(nèi)徑為30mm的銅管組成，二者由兩 個(gè)直徑為10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40C，試計(jì)算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為 Es = 200GPa 與 Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為 : is =12.5 X 10-6 °C -1 與''lc=l6 X 10®C-1。題3-28圖解：設(shè)溫度升高T時(shí)鋼桿和銅管自由伸長量分別為鼻和 禮，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變形協(xié)調(diào)條件為或?qū)懗蛇@里，伸長量 Als和縮短量 Alc均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得將靜力平衡條件 FNs = FNc = f代入上式

31、，得注意到每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，故其切應(yīng)力為由此得3-29 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA，梁BD為剛體，試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補(bǔ)充方程。(1) 若桿2的實(shí)際尺寸比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為；(2) 若桿1的溫度升高T,材料的熱膨脹系數(shù)為；。題3-29圖(1)解：如圖3-29(1)a所示，當(dāng)桿2未與剛性桿BD連接時(shí)，下端點(diǎn)位于 D，即DD"八。當(dāng)桿2與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn)鉛垂位移至 D，同時(shí)，桿1的下端點(diǎn)則鉛垂位移至 C。過C 作直 線C'垂直于桿1的軸線，顯然 丞二Al1，即代表?xiàng)U1的彈性變形，同時(shí)， DD”二Al2，即代表?xiàng)U2的彈 性變形。與上述變

32、形相應(yīng)，桿 1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(1)b所示。圖 3-29(1)可以看出，即變形協(xié)調(diào)條件為 而補(bǔ)充方程則為 或解：如圖3-29(2)a所示，當(dāng)桿1未與剛性桿BD連接時(shí)，由于其溫度升高，下端點(diǎn)位于C，即，i 21幻。當(dāng)桿1與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn) C鉛垂位移至C ，而桿2的下端點(diǎn)D則鉛垂位移至D 。過C 作直線C'e垂直于直線CC ,顯然，eC”= Al,即代表?xiàng)U1的彈性變形，同時(shí)， DD = Al2 ,代表?xiàng)U2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(2)b所示。圖 3-29(2)可以看出，故變形協(xié)調(diào)條件為而補(bǔ)充方程則為或

33、3- 30 圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為A, E與坊，試確定該桁架的許用載荷F。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿 3的設(shè)計(jì)長度l變?yōu)閨 A。試問當(dāng)：為何值時(shí)許用載荷 最大，其值Fmax為何。題3-30圖解：此為一度靜不定問題。節(jié)點(diǎn)C處的受力及變形示如圖3-30a和bo圖 3-30由圖a得平衡方程為Fn1 = Fn2，2F N1 cos30 F N3 = F由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為h = Al3cos30(b)依據(jù)胡克定律,有Ah 二巫(i =1,2,3)(c)EA將式(c)代入式(b)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為4,F N3F N1(b')3將方程(b')與

34、方程 聯(lián)解，得由此得為了提高F值，可將桿3做長：，由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為式中，劇3與月1均為受載后的伸長，依題意，有了 后，應(yīng)使三根桿同時(shí)達(dá)到 司，即由此得此時(shí)，各桿的強(qiáng)度均充分發(fā)揮岀來，故有第四章扭轉(zhuǎn)4- 5 一受扭薄壁圓管，外徑D = 42mm，內(nèi)徑 d = 40mm，扭力偶矩 M = 500N ?m，切變模量G=75GPa。試計(jì)算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并計(jì)算管表面縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為該圓管表面縱線的傾斜角為4-7 試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當(dāng)Ro/10時(shí)，薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切

35、應(yīng)力公式的最大誤差不超過4.53%。解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為 設(shè)&/ 83，按上述公式計(jì)算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為T2口2 R 8 2 n32 8 按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為極慣性矩為由此得T“”Ro 冷)=0謠步2)(2宀叭(b)/d 1/m(dx)(b)(c)(d)(e)比較式與式(b)，得當(dāng)：;=$ =10 時(shí)，6可見，當(dāng)Ro/ 8 10時(shí)，按薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式計(jì)算T勺最大誤差不超過 4.53%。4-8 圖a所示受扭圓截面軸，材料的T-7曲線如圖b所示，并可用I =CY1/m表示，式中的 C與m為由試驗(yàn)測(cè)定的已知常數(shù)。試建立扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，并畫橫截面上的切應(yīng)力分

36、布圖題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到dp1 dx根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為p處的切應(yīng)力為T= C(P孚)1/mdx由靜力學(xué)可知，dA二C(5)1/m p(m1)/mdA訂A p 'dx'A取徑向?qū)挾葹閐p的環(huán)形微面積作為 dA，即dA =2 np p將式(d)代入式(c)，得 由此得(3m 1)T2 nCm(d)(3m 1)/m2將式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為 橫截面上的切應(yīng)力的徑向分布圖示如圖4-8。圖4-84-9 在圖a所示受扭圓截面軸內(nèi)，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面 ADFC切岀單元體

37、 ABCDEF（圖b）。試?yán)L各截面上的應(yīng)力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的。題4-9圖解：?jiǎn)卧w ABCDEF各截面上的應(yīng)力分布圖如圖 4-9a所示。圖4-9根據(jù)圖a,不難算岀截面 AOO1D上分布內(nèi)力的合力為同理，得截面 OCFOj上分布內(nèi)力的合力為方向示如圖c。設(shè)Fxi與Fx2作用線到X軸線的距離為 ，容易求岀根據(jù)圖b，可算岀單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為同理，左端面上的合力為方向亦示如圖 c。設(shè)Fz2作用線到水平直徑 DF的距離為ey （見圖b），由得同理，F(xiàn)z,作用線到水平直徑 AC的距離也同此值。根據(jù)圖b，還可算岀半個(gè)右端面 DO, E上豎向分布內(nèi)力的合力為設(shè)Fy3作用線到豎向

38、半徑 O,E的距離為ez2 （見圖b），由得同理，可算岀另半個(gè)右端面 O,FE以及左端面 AOB、OCB上的豎向分布內(nèi)力的合力為方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為ez。2由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對(duì)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對(duì)力構(gòu)成四個(gè)力偶，顯然，這是一個(gè)空間力偶系的平衡問題。既然是力偶系，力的平衡方程（共三個(gè)）自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的 T在數(shù)值上均等于M。4-11 如圖所示，圓軸 AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截面 A承受扭力偶矩 M作用。圓軸的直徑d = 56m m，許用切應(yīng)力.訂=80MPa，套管的外徑 D = 80mm，壁厚

39、:二6mm，許用切應(yīng)力 2=40MPa。試求扭力偶矩 M的許用值。題4-11圖解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M。1. 由圓軸AB求M的許用值由此得M的許用值為2由套管CD求M的許用值此管不是薄壁圓管。由此得M的許用值為可見，扭力偶矩 M的許用值為4-13 圖示階梯形軸，由 AB與BC兩段等截面圓軸組成，并承受集度為 m的均勻分布的扭力偶矩作 用。為使軸的重量最輕，試確定 AB與BC段的長度與12以及直徑di與d2。已知軸總長為丨，許用切應(yīng)力為題4-13圖解：1.軸的強(qiáng)度條件在截面A處的扭矩最大，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得3,6ml",nBC段上的最大扭矩在截面B處，其值為由

40、該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得2 最輕重量設(shè)計(jì)軸的總體積為根據(jù)極值條件得由此得丨2 =(3)3/2丨： 0.46515從而得l1 =l -l2 二1 (3)3/2| ： 0.5351516mJ/3 .1/3,3j/2 16mld2 =()l2 =()3門0.775d1n5, n(b)(c)(d)該軸取式(a) (d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4-14 一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F = 1kN作用。設(shè)彈簧的平均直徑 D = 40mm，彈簧絲的直徑d = 7mm，許用切應(yīng)力.=480MPa，試校核彈簧的強(qiáng)度。 解：由于故需考慮曲率的影響，此時(shí)，結(jié)論：max :：，該彈簧滿足強(qiáng)

41、度要求。4-20 圖示圓錐形薄壁軸 AB，兩端承受扭力偶矩 M作用。設(shè)壁厚為？，橫截面A與B的平均直徑分 別為dA與dB，軸長為l，切變模量為 G。試證明截面 A和B間的扭轉(zhuǎn)角為題4-20圖證明：自左端 A向右取坐標(biāo)X，軸在X處的平均半徑為式中，截面X的極慣性矩為依據(jù)得截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為4-21 圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。題4-21圖(a)解：此為靜不定軸，但有對(duì)稱條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為 M a和M b，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩 M相反。由于左右對(duì)稱，故知由a Mx =0可得即(b) 解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代

42、之以支反力偶矩M B，示如圖4-21b圖 4-21b變形協(xié)調(diào)條件為'B =0利用疊加法，得申 _ Ma _M (2a) + Mb(3a)GI p GI p GI p將式(b)代入式(a)，可得進(jìn)而求得1ma= M (轉(zhuǎn)向與Mb相反)3(c) 解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對(duì)稱條件，容易得到M A和M B的轉(zhuǎn)向與m相反。(b)(d) 解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩MB，從變形趨勢(shì)不難判斷，M B的轉(zhuǎn)向與m相反。變形協(xié)調(diào)條件為；：B =0(c)利用疊加法，得到(x從左端向右取)；B,m'；：B,Mm(a -x),dx -MB(2a)ma2M BaGIG

43、I2GIGI(d)將式(d)代入式(c)，可得 進(jìn)而求得M A的轉(zhuǎn)向亦與m相反。4-22 圖示軸，承受扭力偶矩Mi=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應(yīng)力 =40MPa，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角捫=0.25( °/ m，切變模量 G = 80GPa。試確定軸徑。題4-22圖解：1.內(nèi)力分析此為靜不定軸，設(shè)B端支反力偶矩為 Mb，該軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖4-22a圖 4-22利用疊加法，得將其代入變形協(xié)調(diào)條件訂=°，得該軸的扭矩圖示如圖 4-22b。2. 由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件求 d由扭矩圖易見，將其代入扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，由此得3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件求 d將最大扭矩值代入得結(jié)論：最后

44、確定該軸的直徑 d _57.7mm。4-23 圖示兩端固定階梯形圓軸AB，承受扭力偶矩 M作用。已知許用切應(yīng)力為 勺，為使軸的重量最輕，試確定軸徑 di與d2。題4-23圖解：1.求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為 Ma與Mb，則軸的平衡方程為'Mx=0, Ma，Mb-M=O(a)AC與CB段的扭矩分別為T=MA， T2-Mb代入式(a)，得Ti -T2 - M =0(b)設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為:AC與cb，則變形協(xié)調(diào)條件為* AC CB = 0(C)利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有_ T1a: _ 2T2a'AC，' CB -GI p1GI p2代入式(

45、c)，得補(bǔ)充方程為2 蟲 T2 =0(d)W2丿最后，聯(lián)立求解平衡方程(b)與補(bǔ)充方程(d)，得42d；Md； 2d：d；Md2 2d：(e)2.最輕重量設(shè)計(jì)從強(qiáng)度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使 作用時(shí)，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求 由此得AC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等，且當(dāng)扭力偶矩8M將式(e)代入上式，得 并從而得T2根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，于是得軸的直徑為4-24 圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷F作用。已知載荷 F=750N，軸1和軸2的直徑分別為di=i2mm和d2=15mm，軸長均為l=500mm，搖臂長度 a =300mm，切變模量 G = 80GPa，試求

46、軸端的扭轉(zhuǎn) 角。題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為A A 或1=2(a)這里，：和：分別為剛性搖臂 1和2在接觸點(diǎn)處的豎向位移。設(shè)二搖臂間的接觸力為 F2，則軸1和2承受的扭矩分別為J 二F(F?a，T2 二F?a(b)物理關(guān)系為GIP1:-T2l2 _Glp2(c)將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得4-26 如圖所示，圓軸 AB與套管CD借剛性突緣E焊接成一體，并在突緣 E承受扭力偶矩 M作用。圓軸的直徑 d=38mm，許用切應(yīng)力“ =80MPa，切變模量 Gt=80GPa;套管的外徑 D = 76mm，壁厚= 6mm,許用切應(yīng)力2= 40MPa，切變模量

47、G2 = 40GPa。試求扭力偶矩 M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學(xué)關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為T2 = M廠2(b)物理關(guān)系為: -T1l11T2l22 (c)Gl RG2IP2將式(c)代入式(b)，并注意到G1 I p1l2G2 I p2ll“D4(2T24L28廠 T2=0.1676T233 764(1 0.84214)(d)將方程與（d）聯(lián)解，得2由圓軸的強(qiáng)度條件定M的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為3.由套管的強(qiáng)度條件定M的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為結(jié)論：扭力偶矩的許用值為4-27 圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一體，并承受扭力偶

48、矩M=100N -m作用。試校核其強(qiáng)度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力分別為:s=80MPa與:c=20MPa，切變模量分別為Gs=80GPa與Gc=40GPa，試校核組合軸強(qiáng)度。題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面B），假想地將組合軸切開，并設(shè)鋼軸與銅管的扭矩分別為Ts與Tc，則由平衡方程 工M x =0可知，Ts 二兩個(gè)未知扭力矩，一個(gè)平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即(b)(c)(d)S 二 c設(shè)軸段AB的長度為丨，則將上述關(guān)系式代入式（b），并注意到 Gs/Gc=2，得補(bǔ)充方程為Ts _（M -2Tc） I psI pc聯(lián)

49、立求解平衡方程（a）與補(bǔ)充方程（c），于是得IpsMTspcps2 強(qiáng)度校核將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（d），得對(duì)于鋼軸，對(duì)于銅管，4-28 將截面尺寸分別為 ©100mm x 90mm與0 90mm x 80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加 扭力偶矩M°=2kN m后，將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力偶矩M0后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內(nèi)管兩端施加M0后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為Mol Gl pi去掉Mo后，有靜力學(xué)關(guān)系Ti =Te幾何關(guān)系為0物理關(guān)系為.二衛(wèi),爲(wèi)二旦Gl piGl pe將式(d)和式代入式(c)，得或?qū)懗捎纱说肨e=(M

50、o -Ti)=1.395(Mo -T) I pi聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得2.計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為(b)(c)(d)(e)4-29 圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在直徑為100mm的圓周上，突緣的厚度為 =10mm，軸所承受的扭力偶矩為M = 5.0kN m,螺栓的許用切應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力bs=300MPa。試確定螺栓的直徑d。題4-29圖解：1.求每個(gè)螺栓所受的剪力 由得2.由螺栓的剪切強(qiáng)度條件求由此得3.由螺栓的擠壓強(qiáng)度條件求 由此得結(jié)論：最后確定螺栓的直徑d -14.57mm。栓則均勻排列在直徑為

51、上的切應(yīng)力。D2的圓周上。設(shè)扭力偶矩為M，各螺栓的材料相同、直徑均為d，試計(jì)算螺栓剪切面題4-30圖4-30 圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個(gè)螺栓均勻排列在直徑為D1的圓周上，另外四個(gè)螺解：突緣剛度遠(yuǎn)大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認(rèn)為：螺栓i剪切面上的平均切應(yīng)變 ：i與該截面的形心至旋轉(zhuǎn)中心O的距離ri成正比，即式中，k為比例常數(shù)。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為而剪力則為最后，根據(jù)平衡方程得于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4-31 圖a所示托架，承受鉛垂載荷F=9kN作用。鉚釘材料均相同，許用切應(yīng)力門=140MPa，直徑均為d=10mm。試校核鉚釘?shù)?/p>

52、剪切強(qiáng)度。題4-31圖解：由于鉚釘均勻排列，而且直徑相同，所以，鉚釘群剪切面的形心C，位于鉚釘2與鉚釘3間的中點(diǎn)處（圖b）。將載荷平移至形心 C，得集中力F與矩為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應(yīng)力相等，其值均為在附加力偶作用下，鉚釘1與4剪切面上的切應(yīng)力最大，其值均為Ip由圖中可以看岀，33n = r4 = 60 10 m， b = r3 = 20 10 m所以，代入式（a），得將上述兩種切應(yīng)力疊加，即得鉚釘1與4的總切應(yīng)力即最大切應(yīng)力為4-34 圖示半橢圓形閉口薄壁桿，a=200mm， b=160mm， §1 =3mm， 62 = 4mm， T=6 kN m，試求最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。題4-34圖解：截面中心線所圍面積為由此得于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為4-35 一 -長度為丨的薄壁管，兩端承受矩為 M的扭力偶作用