微積分課后題2

1、習(xí)題四 A1用積分公式直接求下列不定積分。(1)9x44X、x dx= (9X_4X2Xx 衛(wèi))dx= 9X28X2(2)一 1(x . x )dx 二(x2 x 2)dx Vx2x2 c(3)3x4 3x21213dx = (3x - )dx = xarcta n x cx +1(4)3J(2ex + )dx = 2ex +3ln xx(5)(6)1rr(3e)5x c 二ln 35e57X *e2xdx 二(7e2)Xdx(7e2)xIn7e(3e)5xdx 二(35e5)xdx 二1(3e)5x c5ln3 512、x(7e ) c ln 7 22用積分公式直接求下列不定積分。(x 1)

2、2：；dxV(2X 2x )dx=(X22x2 x2)dx52x542-x2 2x2 c3(3)cos2xsin2 xcos2 xdx4cos2x,小c 、詐dx = 4 cot2x csc2xdx =2csc2x cx 11 -x(.1X ：1 X)dx=-匚X1 二x_dx = 2寸(1 _x)(1 +x)-dx2=2arcsin x c(7)(14x 4 c(9) Rdx 二(ex 1)(e2x -ex 1)'ex +1dx=(e2x _ex 1)dx2x eex x c21ux c(ae)x cIn ae3用第一類換元法求下列不定積分:(1) edx - - e*d(-x) _

3、 - eudu1(4) a7exdx 二(ae)xdx = uxdx 一In u(5)dxdx-d(3x)3224 9x31 $x)31(2x)1 du6 1 u2arctan?x c6(8) 一xdx 1d(1 2x2) J 1 du =luc = 】(1 2x2)cj1+2x244“22(10)sin 一lxin xdx =2 sin、xd、x = 2 sinudu = 2cosu c = 2 cos. x c(11)cosxesinxdx = esin xd sinx= eudu =eu c = e'5用第二類換元法求不定積分：1(3 ”3 嚴(yán)解：令 t=6x,則 dx = 6t

4、5dtx 3嚴(yán)"(it = 16t5t3 t21 .3.2 )dt = 6(tt tdt6t3dtt 11.31sin xc一 In t +1) + c = 2Y x 33' x + 戌儀 一 61 n(1 + 仮)(4.1 exdx解：令 t = 1 ex貝U x = ln(t21),dx 二縣 dt.t2-12t2一瀘二2t2-1原式=t"dt =2 (12(t1)2(t+1)1 )dt-2t ln(t -1) In(t 1) c=2.1 ex ln(1 + ex +11 + X(6) dx 解：令 t = ln x,則 = et ,d = etdt.x +xl

5、 nx1 + etet +1原式=f-ttetdt =-dt =lnet +t +c = l門 x + |nx +c飛雀t+t2 cost-3 .1 -sin212dx - -3sin t2 .鵲dtsin t原式-3 (esc21 -1)dt =3cott 3t cx仝3sarcsin? cx3二 x9 3 arcs incx(11)dxx2 ,4 x2解；令丄，則dx =x-1dt. t2.x244xx2eXdx = -1 x2de 尤' 2 -x2e exdx22=-1x2e_2 ixedx = -x2e_2x2 2-1 xex - e*xdx2 2-x2eJ2x1 _2xxe2

6、(x2X丄）c2tdt,1 - 4t26用分步積分法求下列不定積分(2)sin xxedx - - sin xde-x-esinx亠 iecosxdx(4)(ln-x)2d - In2xd 1 = ln2x 亠 Jdln2xx' x xx12 11 2 1ln x 2ln xdx ln x-2 lnxd xxxx1.22lnx 丄 cf11“2丄 ci丄 c、ln x2dx(ln x 2ln x 2) cxxxx * .-xsin x ,-e sin x-e cosx dxesin x ,x dx 二 e-le(sin x cosx) c2(8)2x；dx2 2 2 2In(1 x2)

7、dx = xIn(1x2) 一 xd In(1 x2) = xln(1 x2) 一' 1 +x二 xln(1 X2) 2 (1二 xln(1 X2) 2x 2arctanx c1 +xx _ 1x _1xln dx = I nd'x+1' x+12XX -1In2x 12+dInx -1x 1(10)X2 X -1 x211X2 X-1 x2 -11In ()dx 二In 2dx2 x12x1x12 x 1 x -1x2x-1111=一Inx ()dx2 x 12 x -1 x 1冷(x2 -1)In-X c(13)In In Xdx = In In xd In x =

8、 (In In x)In x - In xd In In x xr1二(In In x) In x - 一dx 二(In In x)In xIn x c x(14)Je"dx= J2 Jxde" = 2jxe“ 一2 Je'xd VX=2e % i x - 2e % c = 2e x(、. x -1) c2二arctanxdx 二x21(16)x2 1 _12 arcta nxdxx211arctan xdx -arctanxdxLL x2 +1xxarctanx - dx - arctanxd arctanx ，x2+1-1 (arcta nx)2 c1 2xar

9、ctanxln(1 x )2習(xí)題4 (B)1.求下列不定積分x20-1 1(1 ” 二f X2 一1斗ooE (1x) dx=(1-x)'8-2(1-x)*9 (1-x)00dx寺才冷（"寫心產(chǎn)C(2),x6x3 10dx =1. 3dx3_x6 -6x3 10.t2 -6t 10-dt 32=x3j12dt(t -3) e e -2亠2提為+択2 2 1二冋(t -3) . (t 一3)2 1 C =1 ln(x3 一 3、x6 -6x3 10) C3dx2=4x3d(x 2)x 2)2 -8=In(x 2、x2 4x-4) C(4)1 x dx =t2 -1= 2(応?

10、+ 尹=)dt =Fln|t 令t = .1 xIn |tI) Cx(x=1) In( 一1 x x) C(5)fJ,丄X21x fX2 一 x_ JxxeeYd(2ex)2刃dex+1 ex(1 ex)x 1=x -In(1 e ) x C1 +e1dex 二-ln(ex 2)d；1dexe_ E 2.)-ex' ex (e 2 )x arcs in x .dx =- arcsinx 丨.arcsinxxe d arcs in x 二 xdearcsinxxe-arcsinx .-e dxarcsinxxe2 arcsin x-1 - x dearcsinxxe2 arcsinx7,

11、1-x ex arcsin x .e dx1 - x2. X arcsin x .e dx 1-x2j(X、122、 arcsinx ,亠-x )e Cdxedex2X-2x e)dex2. (1)F(x) G(x)二2arctanex esin xF(x)-G(x)二dx +sinx cosxsin x cosx,dx = x Csin x cosxsin x- cosx cosx , dx sin x cosxsin x cosxdx=d(sinxcosx)sin x cosx=In | sin x cosx| C(3)F(x)二sin x(sin xcosx) + cosx dx= fd

12、xsin x cosx-d(sin x + cosx)=(:1sin x cosxsin x cosx(cosx sin x) - sin x dx si n x + cosxsinx -In | sinx cosx | xdx' sin x + cosxF(x)1(-1 n | sinx cosx | x) CG(x)二cosxdx =sin x cosxd( si rxcoxssi nxco(s-In | sixn cxos x-f si rx(cosx - sin x) sin x ,dxsin x + cosx) (xi nxsos dxx cosxi n xco scoxdx

13、 cocsG(x)1(In | sin x cosx | x) C3. (1)G(x)=亠sin x+ cosx.兀.nsinx cos cosx sin4422 sin(x 匸)4dxx| tanq - -) | CG(x) 2F(x)1 2sin xcosxdx 二sin x cosxsin* 2 x cos2x 2sin xcosx dxsin x cosx(3)F(x)4. ( 1)=(sin2一cosx 一呂2x 兀|tan( )|) ' Cdxx x2 -1¥dtdt1tt1_1一 1-|t|2=(sin x cosx)dx - - cosx sin x Csin

14、 xcosx=-arcsin |t | C1二-arcsi n | _ | C x(2)令dxtdt(1t2)t1 t2令,dxdxx、x 1、x -1x(x 1)Jx-1t2x -1x _t2 _1，tdxx(x 1)2dt1 - t2=-2arcta nt CdxX廠1=x21 )dt2匚(t "it211 2 2 -一押 1)2t2 1 Cx21(2)令 t ,(x : 0)時(shí),xdxFdtt3dtdxx4 1 x2 3x1 (1X4 ,1 x2t4+右11.t21（t ： 0）氓(t2冷.（廠31)' -2,t2 1 C1女 U； 1 C 3X2)?3x3(1 x2)

15、"1、1 x2 C+ 丄 J1 + x2 +Cx習(xí)題五(A)L)dt215. (1) 令 t ,(x0)時(shí),x3.根據(jù)定積分的幾何意義，說明下列各式的正確性。1 1（2）J/Xdx=2jjXdx1中第一象限面積的 2倍，而第一象限1 .陰影部分的面積可以表示為解：.xdx表示圖 1 1Lxdx '二 Lxdx=2Lxdx。中陰影部分的面積，它是圖, 4 -x2dx =二:心一222解：o、4-x2dx表示圖2所示的四分之一圓的面積，故 4根據(jù)定積分的性質(zhì)，比較下列各組定積分值的大小。1 1(1) o x2dx與 o x3dx解：因?yàn)?乞xid，所以x2 _x3(等號(hào)成立的x只

16、有有限個(gè))，又因?yàn)閤2,x3是連續(xù)函數(shù)從1 1而可積，由定積分的性質(zhì)可知x2dx ：: | x'dx。5.利用定積分的性質(zhì)，估計(jì)下列定積分值。5 二2(2)I = 4(1+sin x)dx4JT 5兀解：令 f(x) =1 sin2 x,x ,則f (x)二 2sin xcosx 二 sin2x。令 f (x)= 0得4 4-4X23 一 2-7n 一 4f(2)=2,fG)“,fe4)=32,因此1 < f x )0入si ix令 f ( x)=x,x那，則 f(x)=COsf (x)=f(x)在0,-上單調(diào)遞減，所以fmin二兀f(2)sin xfmax - xim0=1，即

17、-< f(X)乞 1,JIdx豈x6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) ddxX 20si ntdt解:dx :皿皿.dx xdt解: -dle'dt 二dx x2d x 33 一 f (t -x )sin tdt dx 1解:dxd x 33ddX1(t X)sintdt 二不x 3d1tsintdt_dxx 33d X1 x sintdt = x sin x -( sintdx=x3 s i nx 一 衣7.求下列極限。(1)2X x lim Ja x _asi tid t-3x si nx23(c-o(sc o s 1 ).xoSintdt Vsinx0Xeo -o 、-xx二叫

18、e (1 -cos x) e sin x = 0f (t)dt = lim ax >ax22x f(t)dt x2f(x)a=lim2 xx )a'x 2 2f (t)dt x f (x) = a f (a).x ln t . 01t 1dt 0lim t 12= limx 1 (x -1) x 1ln x=lXm12(x2-1)lnx=lim x 1 4x8.禾U用適當(dāng)代換，證明下列各題。x lnt右f (x)二1 1 t211證明：令m則t =tm1 dt，證明 f (x) = f ()。x.1 1 In，從而f(x)打匕(肯)dm1若f(x)在-a, a上連續(xù)，證明1 (丄

19、)2mmaf (x)dx - ； f (-x)dx = 0。.a匚眾 dm= f(-).m 1x證明:aaf(x)dx-f(-x)dx =a< aaf(x)dx f(-x)d(-x)< aT * f (-x)d(-x)令t = -x a f (t)dt 二a- f(t)dt = - f(x)dxa-aaaaa二 原式 =f (x)dx + j f (一x)d(x) = J f(x)dx_J f(x)dx=0。-a-a.-a-a9.設(shè) f (x)連續(xù)，x 一 0，且;f (t)dt 二 x2(1 x)，求 f (2)。3 解：兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)得：f(x2) 2x =2x(1 x)

20、 x2 =2x 3x2 , . f(x2) = 1x .令 x = .2,則f (2) =13 &。11.用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算下列定積分。0- X2)=-fd(x_2)=2(x_2)63 2321630 4 x21 2,x1d(arctan )二 20 2(4) f 亠 dx14x arcta n 2 24 2x -13 (x -1)(x-2)dx4 2(x -1) 1 , dx 二 (x-1)(x-2)(8)(9)(10)(12)= )dx=3I n(x2)In (x-1)=41 n2 I n33316 dx 二 16L2Sdx 二0 x 9 - 一 x 09dxx 9)23 1

21、63x2 016o"12edxexdxedx 二 e2 二)sin xdx 二 o2nd(-cosx) = -cosx4 arcs in <x14dx2 I” X(1 -'X)=2 1 ( arcsi nx)229fg(x+9)+90,2dxarcsin 仮-2 x .1 -( . x)2。16 ax3=2 14arcsin、xd (arcsin、. x)23 _4 3 2- 2 2=(arcsin) -(arcsin )1 2 227二214412.用變量代換法計(jì)算下列定積分。3 dxx d x2x"ant 詈dt 二州7 tant 4 sint=E -d(

22、cost)7 1 - cos21-3 -(4 2 1 - cost 1 cost1 )d(cost)=13 d(V cost) 1 =d(1 cost)4 1 - cost 2 4 1 cost1In (1 cost)n3 1ln(1 cost)二 24x2 1 -x2dx = 2 -10x2 1 - x2dxx = sint 2 2 sin21cos2td- 2 (sin2t)2dt0 2 01 三1cos4t lx dt 2n 1-兀02cos4tdt 匕2 dxn sect tant ,x sect 32 dt=3 costdt 二41 dxe dte 11e丄1 +exx ln t f

23、t/dit入III L1 丄/丄i A 1 t(t +1)2e廠*24 sec t tant2 etdte2dx(9)et J t(器沖0W)(11)-人04tanx In cosxdx 令t Jncosx , 2Ve2t(12)0 . sin x -sin3 xdx兀, -=4 cosxjsinxdx =cosx _sin xdx -cosx. sin xdx3二sinx J局t - 砧=2 g£t2)Wln2(13)21 t宀1dx 令x"n(t1) 0 2tdt1 t2ft2 /dt1 1 -=2 W 一百)dt=213.用分布積分法計(jì)算下列定積分。(1)ln2In2

24、0 xedx-xde二-xeIn 2ln 2ln 2-0。通一三-/ln2 1 -l n20/dxdx2ln2 xdx =皿04JI2e2xcosxdxe2xJT02cosxde2x1cosx e2x22e2xsin xdxo2e2x cosxdx1 -1I 從而2 441 1小2一20血X10-1 o2x1 x21dx =1 n2-20x T11 x2dxdx =1 n2-21-arcta nx1o31=ln 2-2 2°dx = 2_?1e14.計(jì)算下列定積分。(1)J； eEdx22-2ed(2-11e Xdx1 te 2tdt10tde=t etetdt =112x Indx

25、1-x,x 2 1 22 In dx x n 01 -x 21-x1 -X(1 -X 1 X)dx(1-x)2In 34 41c 22 2x0 1 Jx1 2In 32 x -11 In 3dx = 81 -x202("1, In 31rdxu?12(丄822 0 1 x 1-xIn 33ln 3。1XxdXt =dt2tztanx -2tan2xsec xdx = 2(secxsec xdx - secxdx)令 “sec3 xdx.secxd tan x "anx secx"32tan x sec xdx(1 In x dx = (1 In xdx + (In

26、 xdx = -(x In xsec xdx3 secxdx = 2、3 -13 secxdx=2巧- 03 (sec x -1) secxdx = 2運(yùn) - 03故:20空 secxdx。31兀3 secxdx = In secx + tanx 3 = 1 n(2 + V3) 00_ 1 _ _ _ 原式=2'、3 石1 n(2.3)-1 n(2、3) =2、3-1 n(2. 3)22.求下列曲線圍成的平面圖形的面積。(1) y 二ex, y = e與x = 0 ；解：如圖3所示，面積S-eIn ydy = In y ye e孫1解：如圖4所示，面積S =412丿(y+4)- 2y

27、吩 y =丄,y =x與x =2;x解:如圖5所示，面積S二f(x_)dx = 3I n21 x 2y 二 x2, y 二 x與y 二 2x；解:如圖6所示，面積S =2、710(2x x)dx(2x x 皿飛23.求由拋物線¥=< 4x -3及其在點(diǎn)（0, -3）和（3,0）處的切線所圍成的圖形的面積。解：y - -2x 4. y(0) =4,y (3) - -2。.過點(diǎn)(0, 一3)的切線為 y=4x-3，過3 3點(diǎn)（3,°）的切線為一“。當(dāng)4x2-“時(shí)* xp兩切線的交點(diǎn)為（護(hù)。如圖7所示，面積S = j(4x-3)-(-x2 4x-3)dx:(-2x 6)-(

28、-x2 4x-3)dx23 2329=耶 X "x 9)dxS24.求y = sin x與y =cosx在x = 0與x =2二之間所圍成的圖形的面積。-L2H解：如圖 8所示，面積 S 二 04(cosx-sinx)dx 亠 i4 (sinxcosx)dx亠 i5二(cosxsinx)dx745：=(sin x cosx)4(-cosx - sin x)04+ (sin x + cosx)5:225.設(shè)y =x ,x0,1，問t為何值時(shí)，圖中陰影部分的面積S與S2之和S最小？最大?t 221224321解：如圖 9 所示面積 S = S+S2 = J。(t2x2)dx+( (x2

29、_t2)dx = §t3t2+?1；S" =4t2 -2t =2t(2t -1).令S = 0得h =0,t2 =1。又 S(0),311 2.當(dāng)t=2時(shí)，S最小為i當(dāng)t=“時(shí)，S最大為亍29.設(shè)某產(chǎn)品投放市場(chǎng)后都轉(zhuǎn)化為商品，當(dāng)銷售量為Q （百臺(tái)）時(shí)，其邊際成本函數(shù)為41 21 32dhy2 4y = y3)=18-2 6C(Q)=4Q(萬元/百臺(tái))，其邊際收益函數(shù)為 R(Q)=8-Q(萬元/百臺(tái))。4求:總成本函數(shù)C(Q)和總收益函數(shù) R(Q);R和平均收益R。假若固定成本c0 =1 (萬元)。(2)問月銷售量為多少臺(tái)時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。并求出獲得最大利潤(rùn)時(shí)的總收益Q1

30、12Q1解:(1)由題意 C(Q) (4 Q)dQ - C0Qbe11 dx = -1 arcta nxd() = -arcta nx 4Q 1, R：Q)(8Q)dQ = 8Q Q4825 5(2) L=R-C = -Yq2 +4Q-1丄= -=Q+4,令L=0得唯一駐點(diǎn) Q=3.2.845又L0所以當(dāng)Q =3.2取極大值也是最大值。即當(dāng)月銷售量為3.2臺(tái)是才能獲得4-20 48最大利潤(rùn) L(3.25.4( 萬元)。此時(shí)只(3.2)=20.48,右=6.4230.生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本 C。=50萬元，邊際成本與邊際收益分別為MC二Q -14Q 111(萬元/單位)，MR =100 - 2Q

31、(萬元/單位)，試求廠商的最大利潤(rùn)。QQ 2解：利潤(rùn) L =RCC0 = 0 (1002Q)dQ J。(Q 14Q+111)dQ501Qb.g(x)dxa 6Q2-11Q-50。7 1_'丄Q212Q-11 二(Q-11)(Q-1)令0得Qi二IIQ2二1乂L - -2Q 12 。 L (11) - -10叮0為極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)。所以當(dāng)334Q =11時(shí)廠商有最大利潤(rùn) L(11)一(萬元)。332.計(jì)算下列廣義積分。He兀-:41 二 dxr21 (x )211arcta n(x )4 2二 arcta nx11/xji=+ _4址11兀 121 (xrr嚴(yán)7 ?lnx+0-In(

32、1 x2)hn242二 2x .e sin xdx 二-bee d(cosx)-2x -e cosx-be0e x cosxdx=1-2 dx#0becosxdx=1-2exd(sin 力=1-2 exsinxb00 2 0 e"XSinXdX=1-4I故I02x 1厶入 Ie sin xdx ='5dx2(6)0 , x(x)dx1lim i ； _x(2 -x)lim 0 1Jdx=。令口亍則x#1. x(2-x)：xu 1dx1 2du-丄22arcta n u:u2112_；,同理 lim2arctanu_01x(2_x)dx=2arcta nu1-2arcta nu

33、0=JI11xln2x (x-1)2="m 1 d(- lnx訂m"21，ln (1 ；)/ 1；ln (1；)+ lim ln 20 (1；)ln(1；)；1 刃dx 二 lim 2- lim ' 申丨0 1；ln x1 ；(x-1)=lim (一丄 1-i ln2ln (1；)；3 12 1 n2習(xí)題五（B）1.證：由積分中值定理可知:至少存在一點(diǎn)a,b，使得f(x)dx二 f().在 b a；2.,b上滿足洛爾定理,-至少存在一點(diǎn),ba,b使得 f ( )=0.7 f(x)在a,b上連最大值 M,bbm g(x)dx 乞 f (x)g(x)dx 弐 M g(x

34、)dx= m 玄b.f(x)g(x)dxa區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知：至少存在一點(diǎn)a b使得：b.f(x)g(x)dxbbf()f(x)g(x)dx 二 f ( ). g(x)dx.g(x)dxaa-X3.證：；F(-x)二- (x 2t)f(t)dt,令u 二-t則由f(-t) = f(t)可得：0XXF(_x)二-(x-2u)f(-u)(-du)二(x-2u)f (u)du = F(x)即F(x)為偶函數(shù)。00xx F(x) =x f(t)dt 2 t f (t)dt, 00xxF (x) = f (t)dt xf (x) -2xf (x) = f (t)dt -2xf (x).00x7 f

35、 (x)單調(diào)不增，f (t)dt _xf(x)= F(x) _0= F(x)單調(diào)不減04.解：令 f (x) =(1 -x2)e» =0得滅=1.： f (x)二-2xe» -2x(1-x2)e二-2xe(2 -x2)而 f (1)：0, f(1)為極大值；f (-1)>0. f(-1)為極小值。In tlnt5.解：令 f(x)=TV 占.0(x*f(x) xee2)lnte2f(x)一 t2 _2t 1lnte2dt " et22t 1dte(t1)ln t2dm>af(x)e2lnte t(t-1)水1-1e2e(t-1) 2出 TH e(t-1

36、)e2e2-In t叫dte2e(t-1) 2水二刀 e t(t-1)lntdt 丄 Jdt 二丄 lnA t -1 te ln(e T)16.解：f (x) =1 f(t)dt. xf (x) i f (t)dt上式兩邊對(duì) x求導(dǎo)得: x 1 1f (x) xf (x) =1 f (x)即f (x) .f (x) dx = In x c x' xf(x -t)dt - - f (u)du =1 - cos3x7 f(1) =1 c =1故 f (x) = ln x 1.7.解：令u = x -t則t二x - u,dt - -du,代入原式可得令x=1得 f (u)du =1-cos3

37、1;令x = -1 得 f (u)du = T cos31 兩式相加得 f(u)du=O.8.解：令u =x-t則t =x-u,dt =-du,代入原式可得 .f(u)ex_udu =ex f(ujedu = e2xxf (u)edu =ex.兩端對(duì)x求導(dǎo)得:f (x)e公二ex0f (x)二 e2x1 1 1 f(x)dx 二 e2xdx(e2 * -1).9.解:1 1 設(shè)人=f (x)dx則f (x)A-.1-x2,代入原式得01 x。1 x+ A(1 x2dx =arctanx 0 +1 廣丁1 A .1-x2dxA .1-x2dx.令 x = si nt 代入上式可得"04

38、22n2 兀1+cos2t兀 兀A=- A cos2tdt二一Adt=A二 A 二40402444-pl.10.解：令u二tx則u:0； x,dt二一代入原式左端得x11 xxf (tx)dt f (u)du = f (x) xsinx。.f(u)du=xf(x) x2sinx兩端對(duì)x求導(dǎo)得:0x 00.2tf (x) = f (x) xf (x) 2xsin x x cosx= f (x) = -sin x-xcosx=f (x) = 2cosx - xcosxdx = 2cosx - xs in x 亠 isin xdx = cosx - xs in x Ct55t11.解：兩邊對(duì) x 求

39、導(dǎo)得：tf (tx)二tf (x)f (u)du令x=1,由f(1)得 tf (t) t f(u)du1225由此推出f(t)在0,+ ：)內(nèi)可導(dǎo)。兩邊對(duì)t求導(dǎo)得tf (t) f(t)f(t) f (t)5555f(x) ln x C.由f (1) 得C = f (x)In x 1i52t12.解：在左端令u二2x -t ,貝U u : 2x x,-du二dt代入左端得:2x2xarctanx2 = (2x - u) f (u)(-du) =(2x-u) f (u)du =(2x - u) f (u)du -(2x-u) f (u)du2 0 02x2xx2xx2x f(u)du -2x f(

40、u)du - uf (u)du 亠 iuf (u)du。兩端對(duì) x求導(dǎo)得:00002xx2x務(wù)=2 f(u)du-2 f (u)duxf (x) =2 f(u)du-xf(x)。令 x = 1,由f(1)=1 可得: 1 x00xiy13.解：(1)求焦點(diǎn)!y2 1=nx -n2=(n 1)x&1 +n 1x2 .亠x”±n(n+1)' Yn(n+1)-n(n 1)Sn-n(n 1)xl n(n 1)n(n 1)心 o n(n1)1-x2dx 冷n(n 1):S4 ：.、= _、n 二 an3 n 21n(n 1)SnodaZn 4 an14. (1)如圖 1,-y4

41、)dy 土10(2)如圖 2, Vx2二x6dx 二0128 :7 ;Vy84 - (U)2dy 二064:1 02 2 2(3) 女口圖 3, Vy -二(arccosy) dy 亠 i (arccosy) dy0 e(4) 如圖 4, Vx -二 In xdx -二(e -2)11 1 如圖 5, Vx =2二(2+、1-x2)2-(2-、1-x2)2dx=2二 8、1-x2dx = 4二20015.解： 設(shè)切點(diǎn)A(x°, y°),則過A(x°, y°),的切線方程為y - y°二(x°)(x - x°)。即11y

42、76;xy =瑋 2x)(x-x°)= x (y x)，由命題可知 一 ('+卷)-、ydy2x0120 2x0 222313總筈二“"1切點(diǎn)W(2)切線方程為y=2xT。1 .4如圖6，Vx = - x dx012兀-： (2x -1)2dx.1 30216.解：設(shè)拋物線的方程為y =ax bx c，它通過點(diǎn) A(1,0)和 B(3,0)，故叮從而有-3a-拋物線的方程為y"x2"ax+3a"(x-2)2T1324244Q = a (x -4x 3)dxa;S2 = a _(x -4x 3)dx a. Q = $ a.03133依題意

43、有：1 1 12 2 2 2 4 2二二 a (x -4x 3) dx-二a (x-2) -1dx 二二 a (x-2) -2(x-2) 1dx 二38 二a1531V2 二：a (x2 -4x 3)2dx 二二 a (x - 2)4 - 2(x - 2)2 1dx =16'：V119a 二=15V28V1V2a2317.解：如圖 8，(1)3 二(ax-x2)dx=(? x0 23)1二(x2ax)dx 二aa3 -3a 23S=S S2a -3a 2,令 S(a) =0二 a(a 0)0 0 0；S、2aS'；"2 o即S( 12)為極小值也為最小值,且S(,12

44、)=11 Vx 二二(-x2 -x4)dx 二(x40 2富2匕18. 解:如圖 9, (1) V( ) = : exdx(1-e 1x2)dxZ 二230JI0r,由 v(a)= ?(1-e%) W lim V()=-In 2=a =2(2)設(shè)曲線上所求點(diǎn)為A( ,e_)，則過該點(diǎn)的切線方程為y-eM =()(x - )=-e(x-).-xe_ =(1-x)e.該切線與y軸的交點(diǎn)為：x=1.%MQ +1)2 n.面積 S( ) = . (1_x)e_dx = l 丄 e_.令 S()=0=_ 1=飛輕()=2e.0 2-xxe-x、219. 解: 0 吞fdxf：brxe0(1)2b 10(1心嚴(yán)訓(xùn)：0xd(市)blim11exx J 。1 e4常I 0 e (1 e )b 1 11 + ex一 b(g-右血 Pmln h1ex:_ x“e dx20.解：原式=2x21 e +exde1幾引叭診如:Je 24 4e21.解：J4x2e?Xdx = lim J2x2de"二冋(2)x2eb J -.-J2xe'xdx = lim (-2) Jxdex0 b，-= lim (-2)xe2x b_j :.一 e，xd