3.1-3.2向量概念和線性關(guān)系ppt課件

1、1二二. 向量間的線性關(guān)系向量間的線性關(guān)系三三. 向量組的秩向量組的秩一一. n維向量維向量四四. . 向量空間向量空間第第3 3章章 向量與向量空間向量與向量空間23.1 n維向量確定小鳥的飛行狀態(tài)，需要確定小鳥的飛行狀態(tài)，需要以下若干個參數(shù)：以下若干個參數(shù)：小鳥重心在空間的位置參數(shù)小鳥重心在空間的位置參數(shù)小鳥身體的水平轉(zhuǎn)角小鳥身體的水平轉(zhuǎn)角小鳥身體的仰角小鳥身體的仰角鳥翼的轉(zhuǎn)角鳥翼的轉(zhuǎn)角所以，為確定小鳥的飛行狀態(tài)，會產(chǎn)生一組有序數(shù)組所以，為確定小鳥的飛行狀態(tài)，會產(chǎn)生一組有序數(shù)組 mtx y z ( , , )P x y z小鳥身體的質(zhì)量小鳥身體的質(zhì)量m m鳥翼的振動頻率鳥翼的振動頻率t t

2、還有還有 31.n 維維向向量量的的概概念念12 , . nina aanianin維維向向量量個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)所所組組成成的的數(shù)數(shù)組組稱稱為為，這這 個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的 個個第第分分量量，第第 個個個個分分?jǐn)?shù)數(shù)稱稱為為量量定定義義1 1分分量量全全為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的向向量量稱稱為為實(shí)實(shí)向向量量，.分分量量全全為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的向向稱稱為為復(fù)復(fù)向向量量量量例例如如：(1,2,3, ) nn維維實(shí)實(shí)向向量量(12 ,23 ,(1) )iinni 2第第 個個分分量量n維維復(fù)復(fù)向向量量1第第 個個分分量量n第第 個個分分量量4, , ,a bn 維維向向量量寫寫成成一一行行，稱稱

3、為為，也也就就是是列列向向列列矩矩陣陣，通通常常量量用用等等表表示示，如如：2.n 維維向向量量的的表表示示方方法法,TTTTabn 維維向向量量寫寫成成一一行行，稱稱為為，也也就就是是行行矩矩行行陣陣，通通常常用用向向量量等等表表示示，如如：12(,)Tnaa aa 12naaaa 0,0,0分分量量全全為為零零的的向向量量稱稱為為零零向向量量。行行向向量量和和列列向向量量總總被被看看作作是是兩兩個個不不同同注注意意：的的向向量量；行行向向量量和和列列向向量量都都按按照照矩矩陣陣的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算；.當(dāng)當(dāng)沒沒有有明明確確說說明明是是行行向向量量還還是是列列向向量量時時，都都

4、當(dāng)當(dāng)作作列列向向量量5若若干干個個同同維維數(shù)數(shù)的的列列向向量量（或或同同維維數(shù)數(shù)的的行行向向量量）所所組組成成的的集集合合叫叫做做向向量量組組3. 向向量量、向向量量組組與與矩矩陣陣?yán)缛纾?)ijm nAanm 矩矩陣陣有有 個個維維列列向向量量12,na aaA矩矩陣陣 的的向向量量組組稱稱為為列列向向量量組組,()ijm nAamn 類類似似地地 矩矩陣陣又又有有個個 維維行行向向量量 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajana1a2ajan6111212122212nnmmmnAaaaaaaaaa 12,TTTmaaaA矩矩陣陣 的的

5、向向量量組組稱稱為為行行向向量量組組 T1 T2 Tm.反反之之，由由有有限限個個向向量量所所組組成成的的向向量量組組可可以以構(gòu)構(gòu)成成一一個個矩矩陣陣12(,)mA 12,nnmmn 個個維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成一一個個矩矩陣陣12TTTmB 12,TTTmmnmn 個個 維維行行向向量量所所組組成成的的向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成一一個個矩矩陣陣71212(,)(,) (1,2, ) nniina aab bbabin 如如果果 維維向向量量與與的的對對應(yīng)應(yīng)分分量量都都相相等等，即即就就稱稱這這兩兩個個向向量量相相等等，記記向向?yàn)闉榱苛肯嘞嗟鹊龋?n二二 維維向向量量的的

6、運(yùn)運(yùn)算算 11221212,nnnnab ababa aab bb 向向量量稱稱為為向向量量的的向向量量加加法法和和：，記記為為 12,naaa ：向向量量稱稱為為向向量量負(fù)負(fù)向向量量的的負(fù)負(fù)向向量量() ：向向量量減減法法：兩兩個個向向量量只只有有維維數(shù)數(shù)相相同同時時，才才能能進(jìn)進(jìn)行行加加法法和和減減注注意意法法運(yùn)運(yùn)算算！ 1212(,),Tnnkka kakaa aakk ：設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量稱稱為為向向量量與與數(shù)數(shù) 的的數(shù)數(shù)量量乘乘乘乘向向積積。記記為為數(shù)數(shù)量量向向量量的的加加法法與與數(shù)數(shù)乘乘運(yùn)運(yùn)算算統(tǒng)統(tǒng)向向量量的的稱稱為為線線性性運(yùn)運(yùn)算算8滿滿足足運(yùn)運(yùn)算算律律： (1)(

7、2)()()(3)0(4)0 (5)1(6) ()()(7)(8)k lklklklkkk 1o ：（）對對任任意意的的向向量量 ，存存在在唯唯一一的的零零向向量量 ，使使得得注注意意40,00（ ）如如果果則則或或300; ( 1); 00. （ ） 2()o （ ）對對任任意意的的向向量量 ，存存在在唯唯一一的的負(fù)負(fù)向向量量- - ，使使得得9 向向量量之之間間除除了了運(yùn)運(yùn)算算關(guān)關(guān)系系還還存存在在著著各各種種關(guān)關(guān)系系，其其中中最最主主要要的的關(guān)關(guān)系系是是向向量量組組的的線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)。111212212122, , ,.mmmmmmknkkkkkkkk 設(shè)設(shè)為為 維維

8、向向量量組組， ， ，是是一一組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，則則表表達(dá)達(dá)式式 稱稱為為 定定義義向向量量組組，的的一一個個，而而， ，稱稱為為這這個個線線性性組組1 1 合合合合 線線性性的的組組系系數(shù)數(shù)12121122,mmmmkkk 若若向向量量是是向向量量組組的的一一個個線線性性組組合合 即即 則則稱稱可可由由向向量量組組線線性性表表示示。一一、線線性性組組合合，線線性性表表示示3.2 向量間的線性關(guān)系10例例如如：12342100050100,3001000001 210005010025303001000001 有有1234=2530 即即12341234 , 所所以以，稱稱 是是的的一一個個線線性

9、性組組合合，或或 可可以以由由線線性性表表示示. .1112(1,0,1)(2,3,0) ,(1,2,0)TTT向向量量不不能能由由向向量量組組線線性性表表示示. .12122211221122,(,),(, ).mmmmmmmmABkkkkkk 1 11 1 若若以以向向量量為為列列的的矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)初初等等變變換換 變變成成以以向向量量為為列列的的矩矩陣陣則則12,m 判判斷斷向向量量 可可否否由由向向量量組組線線性性表表示示的的定定理理。112210.kk 事事實(shí)實(shí)上上，若若假假設(shè)設(shè)，則則將將推推出出矛矛盾盾：,.?由由此此可可見見 有有的的向向量量可可由由某某一一向向量量組組線線性性表表

10、示示 而而有有的的則則不不行行那那么么如如何何判判斷斷一一個個向向量量能能否否由由某某一一個個向向量量組組線線 性性表表示示呢呢 12()()(,),()mAR AR BAa aaBA 向向量量 可可由由向向量量組組 線線性性表表示示 定定理理3 3. .其其2 2. .中中1 1 1212311123(1 21 3) ,(2,4, 2,6) ,(2, 1,1,3) ,(4,3,0,3) ,?TTTT 設(shè)設(shè)， ， ，試試問問能能否否由由線線性性表表出出 如如能能請請寫寫出出其其 例例1 1 表表達(dá)達(dá)式式。 解解： 因因?yàn)闉?131412312311224122424130055(,)12100

11、03436330099rrrrrr 3242359512240055,00010000rrrr 1231123(,)3,(,)2,RR 1123, 不不能能否否由由線線性性表表出出。1312312311111220,21432301,. 設(shè)設(shè)證證明明向向量量 能能由由向向量量組組線線性性表表示示 并并求求 例例2 2出出表表示示式式 2131412211111111103212-1001210121214301210000230101210000rrrrrrrB 證證：12312()(),2.R AR B 因因此此，向向量量 能能由由向向量量組組，線線性性表表示示。且且表表達(dá)達(dá)式式為為 141

12、、線線性性相相關(guān)關(guān)性性的的概概念念12121122:,0mmmmkkAk kkAk 定定給給定定向向量量組組如如果果存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使 則則線線性性相相關(guān)關(guān)稱稱向向量量組組 是是的的，否否則則稱稱它它義義2 2 線線性性無無關(guān)關(guān)1211122 , 1. ,0,0.nnnn 若若線線性性無無關(guān)關(guān) 則則只只有有當(dāng)當(dāng)時時 才才有有注注：成成立立意意二二、線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān),. 2.對對于于任任一一向向量量組組 不不是是線線性性無無關(guān)關(guān)就就是是線線性性相相關(guān)關(guān) ,0 .,0,.3 向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量時時 若若則則說說線線性性相相關(guān)關(guān) 若若則則說

13、說線線性性無無關(guān)關(guān)4. .包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的1212,.5. 兩兩個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是與與的的對對應(yīng)應(yīng)分分量量成成 比比例例，幾幾何何意意義義是是兩兩向向量量共共線線152、線線性性相相關(guān)關(guān)性性的的判判斷斷,:關(guān)關(guān)于于向向量量的的線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性表表示示之之間間的的相相互互關(guān)關(guān)系系 有有下下面面的的定定理理 1212,2,1mmmm 向向量量組組()()線線性性相相關(guān)關(guān)中中至至少少有有一一個個向向量量可可由由其其定定理理余余個個向向量量3.2.33.2.3線線性性表表示示證證明明：充充分分性性1122

14、11mmm 不不妨妨設(shè)設(shè) 11221110.mmm 故故 121,( 1)0m 因因不不全全為為 ，12,m 故故線線性性相相關(guān)關(guān). .120,mk kk 則則有有不不全全為為 的的數(shù)數(shù)使使12,m 因因?yàn)闉榫€線性性相相關(guān)關(guān)，必必要要性性10,k 不不妨妨設(shè)設(shè)則則32123111.mmkkkkkk 1122 0mmkkk 1. 即即能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示16,. 與與向向量量的的線線性性表表示示一一樣樣向向量量組組的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性 也也可可用用矩矩陣陣的的秩秩來來判判別別1212,(,) ,().mmAmR Am 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件

15、件是是 定定理理3 3. .矩矩陣陣的的秩秩2 2. .4 4小小于于即即（證證略略）1212,(,).1mmnRm 維維向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是 推推論論1212,2|,| 0.nnn 維維向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是 推推論論12,.3 ,mmnn 當(dāng)當(dāng)推推論論時時， 維維向向量量組組必必線線性性相相關(guān)關(guān)17.下下面面舉舉例例說說明明定定理理的的應(yīng)應(yīng)用用 121,0,0,0,1,0,0,0,1,.TTTnneeen 維維向向量量組組，稱稱為為 維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組 討討論論其其線線性性 相相關(guān)關(guān)性性例例12 (

16、,).nnEe een 解解 維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣是是 階階單單位位矩矩陣陣()2.R E即即等等于于向向量量組組中中向向量量個個數(shù)數(shù)，故故由由推推論論 知知此此向向量量組組是是線線 性性無無關(guān)關(guān)的的 1812312312102124157. 已已知知，試試討討論論向向量量 例例 組組，及及，的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性123102(,)124157 解解 2131r rr r 1020220553251022022000rr ，1231231212(,)2,(,)2,.RR 可可見見，向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)；向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)19123112223

17、331123, , .bbbb b b 已已知知向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 試試證證線線 3 3 性性無無關(guān)關(guān) 例例1231 12233, 0 xxxx bx bx b 設(shè)設(shè)有有， 使使 證證 131122233 )()()0,xxxxxx 亦亦即即 （123 因因，線線性性無無關(guān)關(guān)，故故有有112223331 ()()0,xxx 即即（）131223 0, 0, 0.xxxxxx 1230 xxx 123 ,.b b b所所以以 向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)20123,?111111( ,) ,(, ,) ,(, ) .222222TTTaaaa 例例4 4 問問 取取什什么么值值時時 下

18、下列列向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 解解 因因?yàn)闉?2312311|,| 0,2.aa 所所以以或或時時，行行列列式式，從從而而線線性性相相關(guān)關(guān)122113312111111112222221111 1002222111110022221(1)() ,2aaaccrraaaaccrraaaaaa21,. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性是是向向量量組組的的一一個個重重要要性性質(zhì)質(zhì) 下下面面介介紹紹一一些些與與之之有有關(guān)關(guān)的的結(jié)結(jié)論論12121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.2mmmmmmmRRmRRm 設(shè)設(shè)有有向向量量 與與向向量量組組則則當(dāng)當(dāng)推推時時， 可可由由線線性性表

19、表示示且且表表達(dá)達(dá)式式唯唯一一當(dāng)當(dāng)時時， 可可由由線線性性表表示示但但表表達(dá)達(dá)式式不不唯唯一一論論12121286,3.2.,P,5mmm 如如果果向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 而而向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則 可可由由線線性性表表示示，且且表表示示式式是是唯唯一一的的定定理理證證明明見見. (). ()兩兩個個推推論論1212,1.mm 設(shè)設(shè) 可可由由表表示示 則則表表示示式式是是唯唯一一的的充充要要條條件件是是推推線線性性無無關(guān)關(guān)論論22123123123(1)03,(,)(,)3,;RR 且且時時可可由由線線性性表表示示 且且表表達(dá)達(dá)式式唯唯一一1232123123123(1,1,

20、1) ,(1,1,1) ,(1,1,1) ,(0, ,).,(1),?(2),3.2,?(3).4,.TTT 設(shè)設(shè)試試問問當(dāng)當(dāng) 取取何何值值時時可可由由線線性性表表示示 且且表表示示式式唯唯一一可可由由線線性性表表示示 且且表表示示式式不不唯唯一一不不由由例例能能線線性性表表示示13212321110111( , )1111111111110rr 解解 因因?yàn)闉?221 110,0 0(3)(1 2)r 123123123(3)3,(,)3(,)2,.RR 當(dāng)當(dāng)時時不不能能由由線線性性表表示示123123123(2)0, (, )(,)13,;RR 時時可可由由線線性性表表示示 但但表表達(dá)達(dá)式

21、式不不唯唯一一2312,36,.2.m 若若向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則在在這這一一組組向向量量里里添添加加若若干干個個向向量量得得到到的的新新向向量量仍仍是是定定線線性性相相關(guān)關(guān)的的理理部部分分相相關(guān)關(guān)，整整體體必必相相關(guān)關(guān)12,.m 若若向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 則則從從中中取取出出的的任任意意非非空空部部分分組組都都線線推推性性無無關(guān)關(guān)論論整整體體無無關(guān)關(guān)，部部分分必必?zé)o無關(guān)關(guān)12,2 7,3. .mn 維維向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 向向量量的的維維數(shù)數(shù)增增加加后后, ,得得到到的的新新向向量量組組定定理理仍仍線線性性無無關(guān)關(guān)。無無關(guān)關(guān)組組添添加加分分量量仍仍無無關(guān)關(guān)12,

22、mn 維維向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 把把每每個個向向量量的的維維數(shù)數(shù)減減少少后后，得得到到的的新新向向量量組組推推論論仍仍線線性性相相關(guān)關(guān)。相相關(guān)關(guān)組組減減少少分分量量仍仍相相關(guān)關(guān)241. 線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)的的概概念念；（重重點(diǎn)點(diǎn)）2. 線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)的的判判定定方方法法： 定定義義，兩兩個個定定理理（難難點(diǎn)點(diǎn)）小小結(jié)結(jié)12122211221122,(,),(, ).mmmmmmmmABkkkkkk 1 11 1若若以以向向量量為為列列的的矩矩陣陣 經(jīng)經(jīng)初初等等變變換換 變變成成以以向向量量為為列列的的矩矩陣陣 則則1. 1. 12( )( )(,

23、),()mAR AR BAa aaBA 定定理理3 3. .2 2. .1 1 向向量量 可可由由向向量量組組 線線性性表表示示 2 2 其其中中. .1212,2,1mmmm 定定向向量量組組( () )線線性性相相關(guān)關(guān) 中中至至少少有有一一個個向向量量可可由由3 3理理3 3. .2 2. .3 3其其余余個個向向. . 量量線線性性表表示示25( )1.R Am 向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是推推論論1212,|,| 0.2nnn 維維向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件 是是推推論論12,3,.mmnn 推推當(dāng)當(dāng)時時， 維維向向量量組組

24、必必線線性性相相關(guān)關(guān)論論1212, (,) ,( ).mmAmR Am 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成4 4定定理理3 3. .2 2. .4 4 的的矩矩陣陣的的秩秩小小于于向向量量個個數(shù)數(shù)即即. . 2612121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.2mmmmmmmRRmRRm 設(shè)設(shè)有有向向量量 與與向向量量組組則則當(dāng)當(dāng)推推時時， 可可由由線線性性表表示示且且表表達(dá)達(dá)式式唯唯一一當(dāng)當(dāng)時時， 可可由由線線性性表表示示但但表表達(dá)達(dá)式式不不唯唯一一論論121212,3,.2.5mmm 如如果果向向量量組組線線5 5定定性性無無關(guān)關(guān) 而而向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則 可可由由線線性性表表示示，且且表表示示式式是是. . 理理唯唯一一的的. .兩兩個個推推論論1212,1.mm 設(shè)設(shè) 可可由由表表示示 則則表表示示式式是是唯唯一一的的充充要要條條件件是是推推線線性性無無關(guān)關(guān)論論2712,36,.2.m 若若向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則在在這這一一組組向向量量里里添添加加若若干干個個向向量量得得到到的的新新向向量量仍仍是是定定線線性性相相關(guān)關(guān)的的理理部部分分相相關(guān)關(guān)，整整體體必必相相關(guān)關(guān)12,.m 若若向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 則則從從中中取取出出的的任任意意非非空空部部