空間點、直線、平面之間的位置關系

1、.第八章立體幾何初步第1課時空間點、直線、平面之間的 位置關系考情分析考點新知理解空間點、線、面的位置關系；會用數學語言規(guī)范的表述空間點、線、面的位置關系了解公理1、2、3及公理3的推論1、2、3，并能正確判定；了解平行公理和等角定理理解空間直線、平面位置關系的定義，能判定空間兩直線的位置關系；了解異面直線所成角.1. (原創(chuàng))已知點P、Q，平面，將命題“P，QPQ”改成文字敘述是_答案：若點P在平面內，點Q不在平面內，則直線PQ不在平面內解析：正確理解符號語言表達空間點、線、面之間的位置關系，能正確進行自然語言、圖形語言和符號語言的相互轉化2. (原創(chuàng))有下列命題：空間四點共面，則其中必有三

2、點共線；空間四點不共面，則其中任何三點不共線；空間四點中有三點共線，則此四點共面；空間四點中任何三點不共線，則此四點不共面其中正確的命題是_(填序號)答案：解析：只須四點共面，任何三點不必共線；正確；錯誤3. (必修2P28習題1改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，與AD1平行的對角線有_條. 答案：1解析：與AD1平行的對角線僅有1條，即BC1.4. (必修2P31練習12改編)如圖所示，在三棱錐ABCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1) 當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；(2) 當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH是正方形答案：ACBD

3、ACBD且ACBD解析：易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EFEH，即ACBD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.5. (必修2P24練習3改編)設P表示一個點，a，b表示兩條直線，、表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是_(填序號) Pa，Pa； abP，ba； ab，a，Pb，Pb； b，P，PPb.答案：解析：當aP時，P，P，但a， 錯；aP時，錯；如圖， ab，Pb， Pa， 由直線a與點P確定唯一平面.又ab，由a與b確定唯一平面，但經

4、過直線a與點P， 與重合， b，故正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故正確1. 公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，這些公共點的集合是一條直線公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面2. 空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況公共點個數相交直線在同一平面內1平行直線在同一平面內沒有異面直線不同在任何一個平面內沒有3. 平行直線的公理及定理(1)

5、 公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行(2) 定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等備課札記題型1平面的基本性質例1畫一個正方體ABCDA1B1C1D1，再畫出平面ACD1與平面BDC1的交線，并且說明理由解：FCD1、F平面ACD1、EAC、E平面ACD1、EBD、E平面BDC1、FDC1、F平面DC1B，則EF為所求在長方體ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖所示，其中P點不在對角線B1D1)上(1) 過P點在空間作一直線l，使l直線BD，應該如何作圖？并說明理由；(2) 過P點在平面A1C1內作一直線m，使m與直線BD成角，其中，這

6、樣的直線有幾條，應該如何作圖？解：(1) 連結B1D1，BD，在平面A1C1內過P作直線l，使lB1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a) B1D1BD，lB1D1， l直線BD.圖(a)(2) BDB1D1， 直線m與直線BD也成角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角.當時，這樣的直線m有且只有一條，當時，這樣的直線m有兩條圖(b)題型2共點、共線、共面問題,例2)如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC=AD，BE=FA，G、H分別為FA、FD的中點(1) 證明：四邊形BCHG是平行四邊形(2) C、D、F、

7、E四點是否共面？為什么？(1) 證明：由已知FGGA，FHHD，可得GH=AD.又BC=AD， GH=BC. 四邊形BCHG為平行四邊形(2) 解：(解法1)由BE=AF，G為FA中點知，BE=FG， 四邊形BEFG為平行四邊形 EFBG.由(1)知BGCH， EFCH， EF與CH共面又DFH， C、D、F、E四點共面(解法2)如圖，延長FE、DC分別與AB交于點M、M， BE=AF， B為MA中點 BC=AD， B為MA中點 M與M重合，即FE與DC交于點M(M) C、D、F、E四點共面如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC、BD交于點M，E為A

8、B的中點，F為AA1的中點求證： (1) C1、O、M三點共線；(2) E、C、D1、F四點共面證明：(1) C1、O、M平面BDC1，又C1、O、M平面A1ACC1，由公理2知，點C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上， C1、O、M三點共線(2) 連結EF，A、B、C、D， E、F分別是AB，A1A的中點， EFA1B. A1BCD1， EFCD1. E、C、D1、F四點共面題型3空間直線位置關系問題例3已知A是BCD平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點(1) 求證：直線EF與BD是異面直線；(2) 若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角(1) 證明：假設EF與BD

9、不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與A是BCD平面外的一點相矛盾故直線EF與BD是異面直線(2) 解：取CD的中點G，連結EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.已知四棱錐PABCD的頂點P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的兩條對角線的交點，若AB3，PB4，則PA長度的取值范圍為_答案：(，5)解析：由題意知PO平面ABCD，AB3，PB4，設POh，OBx，則PA2h

10、29x216x2x29252x2，因為0<x<3，所以7<252x2<25，所以<PA<5.1. (2013·福州檢測)給出下列四個命題： 沒有公共點的兩條直線平行； 互相垂直的兩條直線是相交直線； 既不平行也不相交的直線是異面直線； 不同在任一平面內的兩條直線是異面直線其中正確命題是_(填序號)答案：解析：沒有公共點的兩條直線平行或異面，故命題錯；互相垂直的兩條直線相交或異面，故命題錯；既不平行也不相交的直線是異面直線，不同在任一平面內的兩條直線是異面直線，命題、正確2. 下列命題錯誤的是_(填序號) 如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平

11、面； 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面； 如果平面平面，平面平面，l，那么直線l平面； 如果平面平面，那么平面內所有直線都垂直于平面.答案：解析：根據長方體模型可知，是錯的3. 如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中： GH與EF平行； BD與MN為異面直線； GH與MN成60°角； DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的是_(填序號)答案：解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DEMN.4. 若直線l不平行于平面，且l，則下列命題正確的是_(

12、填序號) 內的所有直線與l異面； 內不存在與l平行的直線； 內存在唯一的直線與l平行； 內的直線與l都相交答案：5. 從正方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點中任意取4個不同的頂點，這4個頂點可能是：(1) 矩形的4個頂點；(2) 每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；(3) 每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；(4) 有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面體的4個頂點其中正確的結論有_個答案：4解析：四邊形ABCD適合(1)，四面體ACB1D1適合(2)，DB1C1D1適合(3)，DA1C1D1適合(4)，因此正確的結論有4個1. 若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異

13、面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若兩條直線無公共點，則兩條直線可能異面，也可能平行若兩條直線是異面直線，則兩條直線必無公共點2. (2013·南昌模擬)若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則下列命題中假命題的是_(填序號) 過點P有且僅有一條直線與l、m都平行； 過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直； 過點P有且僅有一條直線與l、m都相交； 過點P有且僅有一條直線與l、m都異面答案：解析：是假命題，因為過點P不存在一條直線與l、m都平行；是真命題，因為過點P有且僅有一條直線與l、m都

14、垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；是假命題，因為過點P也可能沒有一條直線與l、m都相交；是假命題，因為過點P可以作出無數條直線與l、m都異面，這無數條直線在過點P且與l、m都平行的平面上3. 如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K.求證： M、N、K三點共線證明： MPQ，直線PQ平面PQR，MBC，直線BC平面BCD， M是平面PQR與平面BCD的一個公共點，即M在平面PQR與平面BCD的交線l上同理可證：N、K也在l上 M、N、K三點共線4. 已知：a、b、c、d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a、b、c、d共面證明：證法1：若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設a、b、c相交于一點A， 直線d和A確定一個平面.又設直線d與a、b、c分別相交于E、F、G，則 A、E、F、G. A、E，A、Ea， a.同理可證 b，c. a、b、c、d在同一平面內證法2：當四條直線中任何三條都不共點時，如圖 這四條直線兩兩相交，則設相交直線a、b確定一個平面.設直線c與a、b分別交于點H、K，則 H、K.又H、Kc， c.同理可證 d. a、b、c、d四條直線在同一平面內1. 證明點線共面的常用方法：一是依據題中所給條件先確定一個平面，然后證明其余的點或線都在面內