電磁場(chǎng)習(xí)題課參考

1、電磁場(chǎng)習(xí)題課東華大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院習(xí)題11-1 在直角坐標(biāo)系中，試將微分形式的麥克斯韋方程寫成8個(gè)標(biāo)量方程。1-2 試證明：任意矢量E在進(jìn)行旋度運(yùn)算后再進(jìn)行散度運(yùn)算，其結(jié)果恒為零，即 Ñ × (Ñ ´ E) = 0 (1)1-3 試由微分形式麥克斯韋方程組，導(dǎo)出電流連續(xù)性方程1-4 參看1-4題圖，分界面上方和下方兩種媒質(zhì)的介電常數(shù)分別為 e1和 e2，分界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E與單位法向矢量n21之間的夾角分別是 q1和 q2。假設(shè)兩種媒質(zhì)分界面上的電荷面密度 rS = 0，試證明： (1)上式稱為電場(chǎng)E的折射定律。1-5 參看1-4題圖，分界面上方

2、和下方兩種媒質(zhì)的磁導(dǎo)率分別為 m1和 m2，假設(shè)兩種媒質(zhì)的分界面上的表面電流密度矢量JS = 0，把圖中的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E換成磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B。試證明： (1)上式稱為磁場(chǎng)B的折射定律。若 m1為鐵磁媒質(zhì)，m2為非鐵磁媒質(zhì)，即 m1>>m2 ，當(dāng) q1 ¹ 90° 時(shí)，試問 q2的近似值為何？請(qǐng)用文字?jǐn)⑹鲞@一結(jié)果。1-6 已知電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為E = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z) (1)通過微分形式的法拉第電磁感應(yīng)定律，求磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B(不必寫出與時(shí)間t無關(guān)的積分常數(shù))。1-7 一平板電容器由兩塊導(dǎo)電圓盤組成，圓盤的半徑為R

3、，間距為d。其間填充介質(zhì)的介電常數(shù) e 。如果電容器接有交流電源，已知流過導(dǎo)線的電流為I(t) = I0sin(wt)。忽略邊緣效應(yīng)，求電容器中的電位移矢量D。1-8 在空氣中，交變電場(chǎng)E = jAsin(w t - b z)。試求：電位移矢量D，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。 (6)1-9 設(shè)真空中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為試求空間位移電流密度的瞬時(shí)值。1-10 試證真空中麥克斯韋方程對(duì)于下列變化具有不變性式中，為真空中的光速。習(xí)題22-1 參看圖2-5-1，無限大導(dǎo)板上方點(diǎn)P(0, 0, h) 處有一點(diǎn)電荷q。試求：z > 0半無限大空間的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E和電位移矢量D，以及導(dǎo)板上的面電荷密度

4、 rS和總電荷量q。2-2 參看圖2-6-3，如果將4塊導(dǎo)板的電位分別改為：上板120 V，左板40 V，下板30 V，右板90 V。按下面步驟和要求用迭代法計(jì)算4個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的電位值：(1) 列出聯(lián)立方程；(2) 用塞德爾迭代法求解；(3) 計(jì)算最佳加速因子 a；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比較兩種迭代法的結(jié)果和收斂速度。兩種迭代方法的迭代次數(shù)都取n = 4。解：(1) 列聯(lián)立方程： (1)用消元法可求得準(zhǔn)確解為y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (2)(2) 塞德爾迭代法初值選取平均值 y1 = y2 = y3 = y4 = (120+

5、40+30+90)/4 = 70 (V) (3)第1次迭代： (4)第2次迭代： (5)第3次迭代： (6)第4次迭代： (7)第5次迭代： (8)各磁迭代結(jié)果列在2-2題表中。表中數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點(diǎn)后一位：y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (9)(3) 計(jì)算最佳加速因子 a (取p = 4)2-2題表1 各次迭代值與差分方程的準(zhǔn)確值、分離變量法計(jì)算值對(duì)照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準(zhǔn)確值分離變量法計(jì)算值y1 = y1152.550.3151.9552.3652.4652.5y2 = y1270.6373.9174.7274.

6、9374.9875y3 = y2160.6363.9164.7364.9364.9865y4 = y2285.3186.9387.3687.5787.4987.5 (10)(4) 用超松弛迭代法求解，迭代公式如下： (11)代入加速因子 a，得(初值仍選取平均值) (12)第1次迭代 (13)第2次迭代 (14)第3次迭代 (15)第4次迭代 (16)各次迭代值列在下表之中：2-2題表2 各次迭代值與差分方程的準(zhǔn)確值、分離變量法計(jì)算值對(duì)照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準(zhǔn)確值分離變量法計(jì)算值y1 = y1151.2449.9052.5752.4952.552.5y2 = y12

7、70.3374.2575.0075.0075.075y3 = y2159.6164.3064.9965.0065.065y4 = y2286.0687.2287.5287.5087.587.5(5) 比較兩種迭代法的結(jié)果和收斂速度：超松弛迭代法第4次迭代結(jié)果與塞德爾迭代法第5次迭代結(jié)果相同。2-3 參看圖2-7-1，如果平板電容其中電荷分布的線密度為 r = e0(1 + 4x2)，其余條件相同，用矩量法(伽遼金法)求兩導(dǎo)板之間的電位分布函數(shù) y。選擇基函數(shù)為fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3, (1)解：根據(jù)已知條件可知，其邊值問題的泊松方程和邊界條件為 (2)如果

8、用直接積分法，并且由邊界條件確定積分常數(shù)，則上面微分方程式的準(zhǔn)確解為當(dāng)然，這么簡單而且又有準(zhǔn)確解的微分方程是用不著通過矩量法來求解的。把簡單問題作為例子的目的，只不過是為了便于比較而已。題目中給出的基函數(shù)為f1(x) = x(1 - x) ， f2(x) = x(1 - x2) ， f3(x) = x(1 - x3) (3)電位分布函數(shù)為y (x) = k1x (1 - x) + k2x (1 - x2) + k3x (1 - x3) (4)選權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同：w1(x) = x (1 - x) ， w2(x) = x (1 - x2) ， w3(x) = x (1 - x3) (5)代數(shù)(

9、矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (6) (7)列出矩陣方程如下 (8)于是可得到電位分布函數(shù)如下 (9)本題若選取權(quán)函數(shù)為w1(x) = -1 ， w2(x) = -x ， w3(x) = -x2 (10)代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (11) (12)列出矩陣方程如下： (13)展開系數(shù)的結(jié)果相同，但計(jì)算過程要簡單一些。2-4 參看例2-7-1以及該題示意圖圖2-7-1。如果在該問題中選擇權(quán)函數(shù)為 (1)上式中，R是余數(shù)，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通過這種方式來選擇權(quán)函數(shù)，又稱為最小二乘法。在其他已知條件均不變的情況下，用最小二乘法來求解兩導(dǎo)板之間的電位分布函數(shù) y。解：代數(shù)(矩

10、陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (2) (3)列出矩陣方程，并求得展開系數(shù)的解為 (4)本題若選取權(quán)函數(shù)為w1(x) = -1 ， w2(x) = -x (5)得到的矩陣方程及展開系數(shù)的解為 (6)電位分布函數(shù)為 (7)2-5 若帶點(diǎn)球的內(nèi)外區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為試求球內(nèi)外各點(diǎn)的點(diǎn)位。2-6 已知空間電場(chǎng)強(qiáng)度E = 3ex + 4ey - 5ez，試求（0，0，0）與（1，1，2）兩點(diǎn)間的電位差。2-7半徑為的球內(nèi)充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，球外是介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。若已知球內(nèi)和球外的電位為式中為常數(shù)，求（1） 兩種介質(zhì)中的和；（2） 兩種介質(zhì)中的自由電荷密度。2-8一半徑為的薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一

11、薄層絕緣膜，如圖題2-6所示，球內(nèi)充滿了總電荷量為的體電荷，球殼上又另充有電量，已知內(nèi)部的電場(chǎng)為，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：圖題2-8（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球外表面的面電荷分布。2-9中心位于原點(diǎn)，邊長為的電介質(zhì)立方體極化強(qiáng)度矢量為。（1）計(jì)算面和體極化電荷密度；（2）證明總的極化電荷為零。習(xí)題33-1 通過直角坐標(biāo)系試證明，對(duì)于任意的標(biāo)量函數(shù) y 和矢量函數(shù)A都滿足下面關(guān)系：(1) Ñ ´ (Ñy) º 0 ；(2) Ñ × (Ñ ´ A) º 03-2 同軸線內(nèi)、外半徑分別為a和b，內(nèi)外導(dǎo)體之間介

12、質(zhì)的介電常數(shù)為 e，電導(dǎo)率為 s。設(shè)在同軸線內(nèi)外導(dǎo)體上施加的電壓為Uab ，求內(nèi)外導(dǎo)體之間的漏電流密度J。3-3 求圖3-3-2中1/4墊圈兩個(gè)彎曲面r = a和r = b之間的電阻。3-4 參見3-4題圖。某輸電系統(tǒng)的接地體為緊靠地面的半球。土壤的平均電導(dǎo)率為 s =10-2 S/m。設(shè)有I = 500 A的電流流入地內(nèi)。為了保證安全，需要?jiǎng)澇鲆话霃綖閍的禁區(qū)。如果人的正常步伐為b = 0.6 m，且人能經(jīng)受的跨步電壓為U = 200 V，問這一安全半徑a應(yīng)為多大？3-5 參看圖2-5-6，半徑為a，間距為D的平行雙線傳輸線，周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 e，電導(dǎo)率為 s。利用例2-5-2的結(jié)果，計(jì)

13、算平行雙線每單位長度的分布漏電導(dǎo)G1。3-6 參看圖3-2-1(a)，半徑分別為a和b的兩個(gè)同心球殼(a < b)之間是電導(dǎo)率為 s = s0(1 + k/r)的導(dǎo)電媒質(zhì)，試求兩球殼之間的電阻Rab。再問此題中的電流位 y 是否滿足普拉斯方程。3-7 已知一根長直導(dǎo)線的長度為1km，半徑為0.5mm，當(dāng)兩端外加電壓為6V時(shí)，線中產(chǎn)生的電流為1/6A，試求：導(dǎo)線的電導(dǎo)率；導(dǎo)線中的電場(chǎng)強(qiáng)度；導(dǎo)線中的損耗功率。3-8 當(dāng)恒定電流通過無限大的非均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時(shí)，試證任意一點(diǎn)的電荷密度可以表示為習(xí)題44-1 通過直角坐標(biāo)系試證明，對(duì)于任意的矢量A都滿足下面關(guān)系：Ñ ´ (

14、9; ´ A) º Ñ(Ñ × A)Ñ2A (1)4-2 已知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為a，通過的電流為I，且電流均勻分布，試求柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。z-aaOIIxy習(xí)題圖4-3 4-3 若在y = - a處放置一根無限長線電流ez I，在y = a處放置另一根無限長線電流ex I，如習(xí)題圖4-3所示。試求坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。4-5 證明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的。4-6 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求此球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖 題4-64-7 兩個(gè)相同的半徑為b，各有匝的同軸線圈N，相距d，如圖題4

15、-7所示。電流I以相同方向流過兩個(gè)線圈。（1）求兩個(gè)線圈中點(diǎn)處的；（2）證明：在中點(diǎn)處等于零；（3）使中點(diǎn)處也等于零，則b和d之間應(yīng)有何種關(guān)系？（這樣一對(duì)線圈可用于在中點(diǎn)附近獲得近似的均勻磁場(chǎng)，稱為亥姆霍茲線圈）圖題4-74-8 一圓形截面的無限長直銅線，半徑為1cm，如圖題4-8所示，通過電流為25A，在銅線外套上一個(gè)磁性材料制成的圓筒，與之同軸，圓筒的內(nèi)，外半徑為2cm及3cm，相對(duì)磁導(dǎo)率為2000。（1）求圓筒內(nèi)每米長的總磁通量；（2）求圓筒內(nèi)的磁化強(qiáng)度M；（3）求圓筒內(nèi)的磁環(huán)電流Jm和JmS。圖題4-8習(xí)題55-1 通過直角坐標(biāo)系驗(yàn)證矢量恒等式：Ñ × (E

16、5;H) = H × (Ñ×E)E × (Ñ×H) (1)5-2 根據(jù)下面復(fù)數(shù)形式的簡諧場(chǎng)表達(dá)式，利用麥克斯韋方程求出其相應(yīng)的電場(chǎng)或磁場(chǎng)表達(dá)式，并把復(fù)數(shù)形式改寫成瞬時(shí)值形式。5-3 將下面瞬時(shí)形式的簡諧場(chǎng)表達(dá)式改寫成復(fù)數(shù)形式，并利用麥克斯韋方程求出其相應(yīng)的電場(chǎng)或磁場(chǎng)表達(dá)式。5-4 電流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為 (1)試求：(1)寫出波印亭矢量的瞬時(shí)值S；(2)寫出復(fù)數(shù)波印亭矢量SC；(3)總的平均輻射功率PS。5-5 在微波環(huán)境中，如果平均功率密度 |Sav| < 10 mW/cm2對(duì)人體是安全的。分別計(jì)算以電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H表示的

17、相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)。已知E = h0H，h0 = 120p W。5-6 設(shè)一天線輻射的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為E = iAsin(wt - kz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)將電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E改寫成復(fù)數(shù)形式；(2)通過麥克斯韋方程求磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H；(3)瞬時(shí)波印亭矢量S；(4)復(fù)數(shù)波印亭矢量SC。5-7 空中交變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量只有x分量Ex = acos(wt - kz) + bsin(wt + kz) (1)試求：(1)由麥克斯韋方程求出磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H；(2)瞬時(shí)波印亭矢量S；(3)復(fù)數(shù)波印亭矢量SC。5-8 將下列指數(shù)形式(復(fù)數(shù)形式)的場(chǎng)表達(dá)式變換成正、余弦形式(瞬時(shí)值形式

18、)的場(chǎng)表達(dá)式，或者做相反的變換。(注意，在取實(shí)部之前應(yīng)加上時(shí)間因子ejw t)(1) E = iE0ejae-jkz ； (2) E = jE0； (3) E = iE0cos(wt - kz)j2E0cos(wt - kz + p)5-9 已知磁導(dǎo)率為 m，介電常數(shù)為 e 的均勻媒質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為E = (i + jj)Aej(wt-bz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)瞬時(shí)波印亭矢量S，復(fù)數(shù)波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)電場(chǎng)能量密度we和磁場(chǎng)能量密度wm。習(xí)題66-1 一頻率為f = 100 MHz的均勻平面電磁波在簡單媒質(zhì)(mr =

19、1，er = 4，s = 0)中沿 +z方向傳播，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為E = iEx(z, t)，電場(chǎng)的振幅值為E0 = 10-4 V/m。當(dāng)t = 0，z = 0.125 m時(shí)，電場(chǎng)的瞬時(shí)值達(dá)到振幅值E0 。試寫出電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H的瞬時(shí)表達(dá)式。6-2 已知自由空間中電磁波的振幅為A，極化方向?yàn)閖，圓頻率為 w，傳播方向?yàn)?z)，試寫出該電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。6-3 試證明在色散媒質(zhì)中相速vp和群速vg之間滿足下面關(guān)系：上兩式中，b 和 l 分別是色散媒質(zhì)中電磁波的相位常數(shù)和波長。6-4 已知某色散媒質(zhì)的色散關(guān)系為，其中 l0是該波在真空中的波長，k，m是正實(shí)數(shù)，求群

20、速vg 。6-5 已知自由空間電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為 (1)試求其相伴的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H，并指出電磁波的極化方式。6-6 試判斷Ex = 2cos(w t - bz)，Ey = 3cos(w t - bz + 90°) 是什么極化波，并寫出Ex和Ey分量所滿足的軌跡方程式。6-7 試判斷下列各波的極化狀態(tài)(線極化應(yīng)指出極化方向，圓極化應(yīng)指出旋轉(zhuǎn)方向)。(1) Ex = Bsin(w t - bz) ， Ey = Acos(w t - bz + 90°)(2) Ey = -Acos(w tbx) ， Ez = Acos(w t - bx + 90°)(3) E

21、z = Bcos(w t + by - 270°) ， Ex = Acos(w t + by)(4) Ex = Aej(w t+b z) ， Ez = Aej(w t+b z+90°)(5) 6-8 試證明：(1) 一個(gè)橢圓極化波可以分解為一個(gè)左旋和右旋的圓極化波；(2) 一個(gè)圓極化波可以由兩個(gè)旋向相反的橢圓極化波疊加而成。6-9 已知無限大均勻理想介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為E = (i2 + j2 - kj)e-j(x-y) (1)試說明該波的極化狀態(tài)，并計(jì)算它的波長 l。6-10 z = 0平面是無限大分界面，z < 0一側(cè)為真空，z > 0一側(cè)為相對(duì)磁

22、導(dǎo)率和相對(duì)介電常數(shù)分別為mr = 1和 er = 2.25的理想介質(zhì)。圓頻率為 w 的線極化均勻平面電磁波從真空一側(cè)向分界面垂直投射。已知z = 0分界面上，入射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為Ei(x, y, 0, t) = iEix = i300pcos(w t) (mV/m)。試求：(1) 分界面兩側(cè)電磁波的相位常數(shù)k，波長 l，相速vp和波阻抗 h ；(2) 分界面兩側(cè)入射波、反射波和傳輸波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量表達(dá)式；(3) 驗(yàn)證分界面上滿足電磁場(chǎng)邊界條件和能量守恒定律。6-11 把6-10已知條件中的入射波改為垂直入射面極化，即Ei(x, y, 0, t) = jEiy = j300pco

23、s(w t) (mV/m)，按上面3個(gè)步驟重作一遍。6-12 分別把前兩題中得到的反射波和傳輸波在分界面上的表達(dá)式作為已知條件，重做3個(gè)步驟。6-13 在什么條件下，兩種無耗介質(zhì)分界面上垂直入射的均勻平面電磁波反射系數(shù)R和傳輸系數(shù)T的大小相等？6-14 一右旋圓極化波從空氣垂直入射到位于z = 0的理想導(dǎo)體板上，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為 (1)試求：(1) 確定入射波和反射波的極化狀態(tài)；(2) 理想導(dǎo)體板上的感應(yīng)面電流密度矢量JS；(3) 寫出空氣中總的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E的表達(dá)式。6-15題圖6-15 參見題圖，光學(xué)儀器中經(jīng)常使用的等腰三角形玻璃棱鏡。玻璃的相對(duì)介電常數(shù)為 er = 4，相對(duì)磁導(dǎo)率為 mr

24、 = 1。試計(jì)算反射光功率流密度與入射光功率流密度之比。6-16 左旋圓極化波 (4)從空氣垂直入射到無限大介質(zhì)塊上。介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 m0 ，介電常數(shù)為9e0。試求：(1) 入射波的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Hi表達(dá)式，反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Er和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Hr表達(dá)式，傳輸波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Et和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Ht表達(dá)式；(2) 分別計(jì)算入射波、反射波和傳輸波的功率流密度。(3) 如果介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 m0，介電常數(shù)為4e0，入射波、反射波和傳輸波的平均功率流密度與例6-5-3是否不同？6-17 均勻平面電磁波由空氣入射到z = 0的理想導(dǎo)體平面上，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為Ei (x, z) = j10e-j(6x + 8

25、z) (V/m) (8)試求：(1) 波的頻率f和波長 l，以及它的傳播方向；(2) 入射波電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Ei和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Hi的瞬時(shí)值形式表達(dá)式；(3) 確定斜入射波的入射角(傳播方向的單位矢量或方向余弦)；(4) 反射波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Er和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量Hr表達(dá)式；(5) 總的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H的表達(dá)式。習(xí)題77-1 已知矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a×b = 2.850 ´ 1.262 cm2，內(nèi)部填充空氣(m0, e0)。波導(dǎo)所傳輸信號(hào)的工作頻率為f = 8×109 Hz，求主模的截止頻率fc (10) ，截止波長 l c (10)，波導(dǎo)波長 lg(10

26、) 和波阻抗。已知光速為c = 2.998×108 m/s。解：截止波長和截止頻率分別為 (1)由工作頻率和截止頻率來求波導(dǎo)波長為 (2)先求出工作頻率對(duì)應(yīng)的工作波長，再求波導(dǎo)波長 (3)TE10模(H10模)的波阻抗為 (4)7-2 已知矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a ´ b = 2.286 ´ 1.016 cm2，內(nèi)部填充空氣(m0, e0)。波導(dǎo)所傳輸信號(hào)的工作頻率為f = 2 ´ 1010 Hz。試求矩形波導(dǎo)中能傳輸?shù)牟ㄐ湍Ｊ?。已知光速為c = 2.998×108 m/s。解：與工作頻率f對(duì)應(yīng)的工作波長為 (1)先求出若干種波型模式的截止波長

27、，然后再判斷 (2)與工作波長0相比較可知，矩形波導(dǎo)中所能夠傳輸?shù)牟ㄐ湍Ｊ接校篢E10模(H10模)，TE20模(H20模)，TE01模(H01模)，TE30模(H30模)，TM11模(E11模)，TE11模(H11模)，TM21模(E21模)和TE21模(H21模)，共8種波型模式。7-3 已知矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a ´ b，填充空氣(m0, e0)。試寫出：(1) TM11模(E11模)的場(chǎng)量表達(dá)式；(2) x = 0壁內(nèi)表面上的電流密度矢量JS。解： TM11模(E11模)的場(chǎng)量的特征值為 (1)(1) TM11模(E11模)的場(chǎng)量z分量的表達(dá)式為 (2)由教材式(7-1-1

28、4)可知，對(duì)于TM11模(E11模)有 (3)TM11模(E11模)的場(chǎng)量橫截面方向4個(gè)分量的表達(dá)式為 (4)(2) x = 0壁內(nèi)表面上的電流密度矢量在x = 0壁內(nèi)表面上，TM11模(E11模)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H的x分量是法向分量，Hx = 0，因此有 (5)7-4 已知矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a ´ b，填充空氣(m0, e0)。試寫出：(1) TE11模(H11模)的場(chǎng)量表達(dá)式；(2) x = a壁內(nèi)表面上的電荷密度 rS 。解： TE11模(H11模)的場(chǎng)量的特征值為 (1)(1) TE11模(H11模) z分量的場(chǎng)表達(dá)式為 (2)由教材式(7-1-14)可知，對(duì)于TE11模(

29、H11模)有 (3)TE11模(H11模)的場(chǎng)量橫截面方向4個(gè)分量的表達(dá)式為 (1)上式中 (2)是TE11模(H11模)的特征值。(2) x = a壁內(nèi)表面上的電荷密度在x = a壁內(nèi)表面上電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Ex分量的負(fù)值是該壁內(nèi)表面的法向分量，因此有 (3)7-5 有一空氣填充的矩形波導(dǎo)，橫截面的尺寸為a = 2.25 cm，b = 1.00 cm，工作于TE10模(H10模)狀態(tài)，工作頻率為f = 10 GHz。在不發(fā)生擊穿現(xiàn)象的情況下，矩形波導(dǎo)內(nèi)所能通過的最大傳輸功率為何？解：設(shè)寬邊中心線上場(chǎng)強(qiáng)振幅為E0，并且不存在反射波時(shí)，橫截面尺寸為a ´ b的矩形波導(dǎo)中TE10模(H10模)

30、的電磁場(chǎng)為 (1)TE10模(H10模)的復(fù)數(shù)波印亭矢量和平均波印亭矢量分別為 (2)在波導(dǎo)任意橫截面上通過的平均功率可通過下面積分來完成 (3)上式中沿x方向的定積分 (4)于是便可求得矩形波導(dǎo)任意橫截面上通過的平均功率 (5)假設(shè)空氣中發(fā)生擊穿的電場(chǎng)強(qiáng)度為E(擊穿)，而矩形波導(dǎo)寬邊中心線上電場(chǎng)強(qiáng)度最大駐波分布處場(chǎng)強(qiáng)振幅E0 。如果場(chǎng)強(qiáng)E0不超過擊穿強(qiáng)度E(擊穿)，該矩形波導(dǎo)就不會(huì)發(fā)生擊穿。7-6 矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a ´ b = 2.3 ´ 1.0 cm2。如果該波導(dǎo)分別以 l0 = 5 cm，l0 = 4.7 cm，l0 = 4 cm，l0 = 3 cm和 l0

31、= 2 cm 5種工作波長來工作。試問：(1) 若波導(dǎo)填充空氣，哪些工作波長的信號(hào)不能在波導(dǎo)中傳輸？哪些工作波長信號(hào)能以TE10模(H10模)單模傳輸？哪些工作波長的信號(hào)會(huì)出現(xiàn)多模傳輸？(2) 若該波導(dǎo)填充 mr = 1，er = 4的介質(zhì)，哪些工作波長的信號(hào)能以TE10模(H10模)單模傳輸？哪些工作波長的信號(hào)多模傳輸？解：(1)先求出若干種波型模式的截止波長，然后再判斷 (1)根據(jù)已知條件可知，工作波長為 l0 = 5 cm和 l0 = 4.7 cm的信號(hào)，因?yàn)楣ぷ鞑ㄩL l0大于TE10模(H10模)的截止波長4.6 cm，所以處于截止?fàn)顟B(tài)。工作波長為 l0 = 4 cm和 l0 = 3

32、cm的信號(hào)滿足a < l0 < 2a單模傳輸條件，能以TE10模(H10模)單模傳輸。工作波長為 l0 = 2 cm的信號(hào)，能夠以TE10模(H10模)和TE20模(H20模)兩種模式傳輸。(2)填充 mr = 1，er = 4的介質(zhì)后，這5種信號(hào)在介質(zhì)中的波長比工作波長縮小了兩倍，分別變?yōu)閘0 = 5 (cm) l = 2.5 (cm) 能以TE10模(H10模)單模傳輸；l0 = 4.7 (cm) l = 2.35 (cm) 能以TE10模(H10模)單模傳輸；l0 = 4 (cm) l = 2 (cm) 能夠以TE10模(H10模)和TE20模(H20模)兩種模式傳輸；l0

33、= 3 (cm) l = 1.5 (cm) 能夠以TE10模(H10模)、TE20模(H20模)、TE01模(H01模)、TE30模(H30模)、和TM11模(E11模)、TE11模(H11模)、TE21模(H21模)、TM21模(E21模)8種模式傳輸；l0 = 2 (cm) l = 1 (cm) 能夠以TE10模(H10模)、TE20模(H20模)TE01模(H01模)、TE30模(H30模)、和TM11模(E11模)、TE11模(H11模)、TE21模(H21模)、TM21模(E21模)、TM31模(E31模)、TE31模(H31模)10種模式傳輸。7-7 欲使工作頻率為f = 1.5

34、GHz的信號(hào)在橫截面為a ´ b = 5.0 ´ 2.0 cm2的矩形波導(dǎo)中以TE10模(H10模)單模傳輸，試問該波導(dǎo)中所需要填充介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率 mr和相對(duì)介電常數(shù) er分別應(yīng)為多少？解：先求出TE10模(H10模)和TE20模(H20模)的截止波長lc(10) = 2a = 2 ´ 5 = 10 (cm) ， lc(20) = a = 5 (cm) (1)該信號(hào)的工作波長為 (2)填充相對(duì)磁導(dǎo)率為r和相對(duì)介電常數(shù)為r的介質(zhì)后，以工作波長表示的單模傳輸條件為 (3)因此有 (4)從上式中可解出4 < mrer £ 16 (5)能以TE10模(H

35、10模)單模傳輸。7-8 矩形波導(dǎo)橫截面的尺寸為a ´ b = 7.0 ´ 3.0 cm2，傳輸工作頻率為f = 1.0 GHz的信號(hào)。試求：(1)當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)部填充空氣時(shí)，信號(hào)能否以TE10模(H10模)單模傳輸？(2) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 4的媒質(zhì)時(shí)，信號(hào)能否在波導(dǎo)中以TE10模(H10模)單模傳輸？(3) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 9的媒質(zhì)時(shí)，波導(dǎo)中會(huì)出現(xiàn)哪幾種工作模式？(4) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 25的媒質(zhì)時(shí)，波導(dǎo)中會(huì)出現(xiàn)哪幾種工作模式？解：與工作頻率f對(duì)應(yīng)的工作波長為 (1)先求出若干種波型模式的截止波長，然后再判斷 (

36、2)(1) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)部填充空氣時(shí)，工作波長l0 = 29.98(cm) > lc (10) = 14.0 (cm) (3)處于截止?fàn)顟B(tài)，波導(dǎo)中不傳輸任何模式。(2) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 4的媒質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的波長為 (4)處于截止?fàn)顟B(tài)，波導(dǎo)中不傳輸任何模式。(3) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 9的媒質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的波長為 (5)處于TE10模(H10模)單模傳輸狀態(tài)。(4) 當(dāng)波導(dǎo)中填充 mr = 1，er = 25的媒質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的波長為 (6)處于多模傳輸狀態(tài)，傳輸?shù)哪Ｊ接校篢E10模(H10模)、TE20模(H20模)和TE01模(H01模)。7-9 假設(shè)矩

37、形波導(dǎo)中單模傳輸頻率為f = 50 Hz的市電。試問：(1) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)部填充空氣時(shí)，矩形波導(dǎo)橫截面寬邊的尺寸a應(yīng)該選多大？(2) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)填充 mr = 10，er = 10的介質(zhì)時(shí)，a值又如何選擇？解：市電的工作波長為 (7)(1) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)部填充空氣時(shí)，根據(jù)TE10模(H10模)的單模傳輸條件可知 (8)(2) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)填充 mr = 10，er = 10的介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)中的波長為 (9)根據(jù)TE10模(H10模)的單模傳輸條件可知 (10)無論是否填充介質(zhì)，人類在地球上無法實(shí)現(xiàn)這樣的金屬波導(dǎo)。7-10 已知圓形波導(dǎo)的半徑為a = 1.389 cm，內(nèi)部填充空氣。假設(shè)波導(dǎo)中傳輸信號(hào)的頻率為f

38、 = 8.6 GHz，f = 8.6 GHz，試計(jì)算圓形波導(dǎo)主模的截止波長和波導(dǎo)波長 ，并問此時(shí)波導(dǎo)中還存在著那些模式？解：主模TE11模(H11模)的工作波長、截止波長和波導(dǎo)波長分別為 (1)TM01模(E01模)的截止波長為 (2)因此還可以傳輸TM01模(E01模)。7-11 試寫出空氣填充的尺寸為a ´ b ´ d = 8 ´ 6 ´ 5 cm3矩形諧振腔的前三個(gè)最低模式及其諧振頻率。解：取m = 1，n = 1，l = 0，該模式為TM110模(E110模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (1)取m = 1，n = 0，l = 1，該模式為TE1

39、01模(H101模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (2)取m = 0，n = 1，l = 1，該模式為TE011模(H011模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (3)7-12 試寫出空氣填充的尺寸為a ´ b ´ d = 4 ´ 3 ´ 5 cm3矩形諧振腔的前三個(gè)最低模式及其諧振頻率。解：取m = 1，n = 0，l = 1，該模式為TE101模(H101模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (1)取m = 0，n = 1，l = 1，該模式為TE011模(H011模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (2)取m = 1，n = 1，l = 0，該模式為TM11

40、0模(E110模)，其諧振波長和諧振頻率分別為 (3)習(xí)題88-1 已知磁化等離子體的張量介電常數(shù)為 (1)試求：(1) 電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E = iEx + jEy + kEz對(duì)應(yīng)的電位移矢量D的表達(dá)式；(2) 如果電位移矢量D = iDx，試求它所對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E。解：(1) 根據(jù)已知條件可得 (2)即 Dx = e0(4Ex - j3Ey)， Dy = e0(j3Ex + 4Ey)， Dz = 2e0Ez (3)(2) 若D = iDx ，則Dy = Dz = 0 Ez = 0 j3Ex4Ey = 0 (4)可得 (5)即 (6)從電位移矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系可求得 (7)從上式中可

41、解出 (8)因此有 (9)8-2 頻率為f = 10 MHz的均勻平面電磁波在B0 = 0的非磁化等離子體中傳播。已知等離子體頻率fp = 8 MHz，試求等離子體中的相速vp和波長 l。解：由已知條件可得 (1)等離子體中的相速和波長分別為 (2)8-3 8-4 已知磁化等離子體中恒定磁場(chǎng)為B0 = iB0，已知e1 = 4，e2 = 3.46，e3 = 0。求等離子體中的自由電子濃度(密度)N和外加恒定磁場(chǎng)B0。解：由相對(duì)張量介電常數(shù)中的三個(gè)元素 (1)可知，當(dāng) e3 = 0時(shí)電磁波的圓頻率恰好等于等離子體頻率，即 w = wp ，因此有 (2)從上式中可解出等離子體頻率 wp和磁旋頻率

42、wg ，由等離子體頻率 wp可求得等離子體中的自由電子濃度N，由磁旋頻率 wg可求得外加恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0 (具體計(jì)算略)。8-8 已知磁化鐵氧體的張量磁導(dǎo)率為 (1)試求：(1) 磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H = iHx + jHy所對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B；(2) 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量為B = iBx所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。解：(1)根據(jù)已知條件可得 (2)即 Bx = m0(0.8Hx - j0.5Hy)， By = m0(0.5Hx + j0.8Hy)， Bz = m0Hz (3)(2)若B = iBx，則By = Bz = 0 Hz = 0 j5Hx + 8Hy = 0 (4)可得 (5)即 (6)

43、從磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系可求得 (7)從上式中可解出 (8)因此有 (9)8-5 在z ³ 0的區(qū)域中有磁化電離氣體，恒定磁場(chǎng)為B0 = kB0。均勻平面電磁波 (3)由z < 0一側(cè)向z = 0平面垂直入射。求反射波和傳輸波，并說明反射波的極化狀態(tài)。解：本題即教材中例8-1-2，反射波為橢圓極化波，旋轉(zhuǎn)方向與電磁波的頻率及等離子體中的參數(shù)有關(guān)。8-6 將8-5題中的電離氣體換成鐵氧體，恒定磁場(chǎng)仍為B0 = kB0。作類似的計(jì)算。解：本題中，反射波為橢圓極化波，旋轉(zhuǎn)方向與電磁波的頻率及鐵氧體中的參數(shù)有關(guān)。8-7 在z ³ 0的空間中充滿了磁化等離子體，

44、自由電子濃度(密度)為N = 1017 m-3，外加磁場(chǎng)為B0 = k0.1 T。頻率為f = 1 GHz的線極化波從的空間垂直入射到磁化等離子體上，求進(jìn)入等離子體的功率占入射功率的百分?jǐn)?shù)。提示：參看例8-2-4原教材例11.2-4解：假設(shè)真空中入射波場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式為 (8)上式中電場(chǎng)的振幅A可看作是實(shí)常數(shù)。與原教材例11.2-2同，將磁線極化波分解成左、右旋的圓極化波。下面我們來判斷左、右旋圓極化波能否進(jìn)入磁化等離子體而形成正、負(fù)旋圓極化的傳輸波。先來判斷正旋圓極化波能否傳播。計(jì)算回旋頻率 (9)入射波的圓頻率為 (10)而等離子體頻率為 (11)于是可算出 (12)由于電磁波的圓頻率 w &

45、lt; wg < w2，因此能夠以正旋圓極化波的方式沿z軸正方向傳播。下面來考察負(fù)旋圓極化波能否在磁化等離子體中傳播。利用前面計(jì)算數(shù)據(jù)可得 (13)由于電磁波的圓頻率 w < w4，因此傳輸波不能以負(fù)旋圓極化波方式傳播。能夠引起正旋圓極化波的右旋圓極化入射波為 (14)為了求反射波與傳輸波，須要計(jì)算正旋圓極化波的反射系數(shù)和傳輸系數(shù)。在計(jì)算正旋圓極化波的波阻抗之前，先來計(jì)算 (15)亦可直接求得 (16)于是，可計(jì)算正旋圓極化波的波阻抗為 (18)反射系數(shù)與傳輸系數(shù)分別為 (19)進(jìn)入磁化等離子體中的正旋圓極化波電磁場(chǎng)為 (20)磁化等離子體中正旋圓極化波的波印亭矢量為 (21)線極化的入射波波印亭矢量為 (22)傳輸波與入射波的功率流密度之比為 (23)8-8 參看例8-4-1。由張量磁導(dǎo)率(m)求磁化鐵氧體對(duì)負(fù)旋圓極化波所呈現(xiàn)的等效磁導(dǎo)率 m。解：(參看原教材例11.6-1)磁化鐵氧體中負(fù)旋圓極化波的磁場(chǎng)表達(dá)式為 (1)上式中 (2)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間所滿足的矩陣關(guān)系為 (3)展開上式可得