上海海事大學高數(shù)3函數(shù)的極限ppt課件

1、 第一章 一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限第三節(jié), )(xfy 對0)4(xx 0)5(xx0)6(xxx) 1 (x)2(x) 3(自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限本節(jié)內容本節(jié)內容 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)的極限 .sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的過過程程表表示示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 通過

2、上面的觀察通過上面的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.XXAAoxy)(xfy A定義定義1 . 設函數(shù)設函數(shù)xxf當)(大于某一正數(shù)時有定義,假設,0X,)(,AxfXx有時當則稱常數(shù)時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當或幾何解釋幾何解釋:記作直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線,0 xxf當)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 A 為函數(shù)例例1. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時當Xx 01x因而01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1.10的水平漸近線為xyyxxysin

3、 例例2 2. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時恒有時恒有則當則當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)

4、數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 1.定義定義2. 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點0 x的某去心鄰域內有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當即,0,0當),(0 xx時, 有假設記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 x

5、AAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當00 xx時 , 0CC因而CCxx0lim總有機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 證明證明1)12(lim1xx證證:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當10 x時 , 必有1) 12()(xAxf因而,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當1

6、0 x時 , 必有2112xx因而211lim21xxx1 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 證明證明: 當當00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因而,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時00 xxxx故取,min00 xx則當00 xx時,00 xxx保證 .必有ox0 xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( Axf右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當),

7、(00 xxx時, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P38 題8 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 設函數(shù)設函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 保號性定理保號性定理定理定理1 . 假設假設,)(lim0Axfxx且 A

8、 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf)0)(xf證證: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x當時, 有.)(AxfA當 A 0 時, 取正數(shù),A則在對應的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P37定理3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對應的鄰域上 假設,0)(lim0Axfxx則存在使當時, 有.2)(Axf推論推論:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx(P37 推論)0 x0 xAAAx0

9、xy)(xfy 分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心鄰域內0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A證證: 用反證法用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內,0)(xf與已知所以假設不真, .0A(同樣可證0)(xf的情形)考慮: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假設 A 0 , 條件矛盾,故時,當0)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內容小結內容小結1. 函數(shù)極限的或X定義及應用2. 函數(shù)極限的性質:保號性定理與左右極限等價定

10、理思考與練習思考與練習1. 若極限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 設函數(shù))(xf且)(lim1xfx存在, 那么. a3 作業(yè) P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 是否一定有第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1, 121,2xxxxa？函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問問當當時時，、當當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習習 題題.)(:0