中值定理.(1)ppt課件

1、第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1、中值定理、中值定理 I、知識(shí)要點(diǎn)、知識(shí)要點(diǎn)一、羅爾定理一、羅爾定理二二 、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理四、四、 泰勒公式泰勒公式1、帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 2、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式f(x)在在x0處處f （n）(x0)存在，則有存在，則有 )()()(000 xxxfxfxf)()(!)(000)(nnnxxoxxnxf 即即

2、 Rnx）= o（xx0n） n階泰勒公式的佩亞諾余項(xiàng)階泰勒公式的佩亞諾余項(xiàng) 3、基本初等函數(shù)的麥克勞林公式、基本初等函數(shù)的麥克勞林公式)(! 212nnxxonxxxe ! 5! 3sin53xxxx)()!12()1(2121nnnxoxn )()!2()1(! 4! 21cos12242 nnnxonxxxx )1(x 1 x 2xnx)(nxo !2 )1( ! n )1()1( n )1ln(x x 22x 33x nxn )(nxo 1)1( n II、典型例題、典型例題一、利用中值定理證明中值等式一、利用中值定理證明中值等式1、利用羅爾定理證明中值等式、利用羅爾定理證明中值等式例

3、例1、0)()( ff分分析析：，利用羅爾定理即可。，利用羅爾定理即可。證明：令證明：令)()(xfexx 0)()( fefe0 )( xxxfe為為一一實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)）使使證證明明上上可可導(dǎo)導(dǎo)，上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè) (. 0)()(),(, 0)()(),(,)()1( ffbabfafbabaxf函函數(shù)數(shù)或或利利用用解解微微分分方方程程求求原原即即換換成成中中把把,0)()(xff 0)()( xfxf )()(xfxf兩邊積分兩邊積分1| )(|lnCxxf xCexf )(Cexfx )(，利用羅爾定理即可。，利用羅爾定理即可。令令)()(xfexx )()()(:xgexfx 令令

4、證證明明0)()()(),(, 0)()(),(,)(),()2( fgfbabfafbabaxgxf使使得得證證明明上上可可導(dǎo)導(dǎo)，上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)常用輔助函數(shù)：常用輔助函數(shù)：xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，等。等。)()(,)(xgxfxxf2 利用拉格朗日、柯西中值定理利用拉格朗日、柯西中值定理.)()()(),(:),(,)()1( bafffbababaxf使使上可導(dǎo)，證明上可導(dǎo)，證明上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)例例2、).()()()()()(afbffbafff 分分析析：要要證證拉格朗日值定理。拉格朗日值定理。

5、利用利用，在，在證明：令證明：令,)()()(baxfbxx 羅爾定理。羅爾定理。利用利用，在，在也可令也可令,)()()()(baxafxfbxx (2) 設(shè)設(shè) f (x) 在在a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在一點(diǎn)證明：存在一點(diǎn),(a,b)使使 2)()()(fbaf 證證)(xf在在a ，b上由拉格朗日中值定理得上由拉格朗日中值定理得)1( )()()(baabfafbf 2)(),(xxgxf 在在a ，b上由柯西中值定理得上由柯西中值定理得)2(2)()()(22bafabafbf 由由(1),(2)得得 2)()()(fbaf 3 利用拉格朗日結(jié)合介值定

6、理利用拉格朗日結(jié)合介值定理1)(),1 , 0(, 1)21(, 0)1()0()1 , 0( 1 , 0)(3 ffffxf使使證證明明上上可可導(dǎo)導(dǎo)，上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)例例證明證明 上上連連續(xù)續(xù)，在在令令 1 ,21)()(xxfxF 021121)21()21( fF011)1()1( fF0)(,1 ,2111 f）（根據(jù)零點(diǎn)定理，知根據(jù)零點(diǎn)定理，知，上滿足羅爾定理的條件上滿足羅爾定理的條件，在在又又0)(1 xF1)(, 0)(),1 , 0(), 0(1 fF即即使使二、函數(shù)恒等式的證明二、函數(shù)恒等式的證明xexffxfxfxf )(, 1)0(),()(),()(則則且且滿

7、滿足足在在證證明明：若若函函數(shù)數(shù)0)()()( xxexfexfx 所以所以 fx）= C ex ，再由，再由 f0）= 1 C = 1，所以所以 fx）= ex 。 xexfx)()( 令令證證明明例例1、的反函數(shù)。的反函數(shù)。是是證明：證明：且且單調(diào)增加有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，單調(diào)增加有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，例例)()(,)()()(, 0)0()(200 xfxgabdxxgdxxfbaffxfba ),()()()()(00ttfdxxgdxxftFtft 證證明明：令令0)()()()()()( tftf ttftfgtftFCtF )(0)0( F0)( tF0)( aF特特別別三、泰勒公式三、泰勒公式(帶

8、佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式) 用用于極限運(yùn)算于極限運(yùn)算 )(2)()()2(! 2121 )(! 4! 21 lim22242225420 xoxxxxxoxxxoxxx )1ln(coslim2202xxxexxx )(21)(4! 21! 41lim44440 xoxxoxx 61 例例1.)2cos(cos32, 01階階無(wú)無(wú)窮窮小小的的是是設(shè)設(shè)例例xxxx 2、泰勒公式用于無(wú)窮小的階的估計(jì)、泰勒公式用于無(wú)窮小的階的估計(jì) 2.,50sin)cos()(2baxxxxbaxxf階無(wú)窮小，求階無(wú)窮小，求的的時(shí)為時(shí)為當(dāng)當(dāng)，若若例例 xbxaxxf2sin2sin)( 解

9、解 0! 321babba.31,34 ba)()! 5! 4()! 32()1(553xoxbabxbabxba 3、泰勒公式用于求函數(shù)在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)、泰勒公式用于求函數(shù)在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù) 例例1 fx在在x = 0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且有的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且有1)(sinlim30 xxxfxx求求 )0( ),0( ),0(fff 解解 由題設(shè)可得由題設(shè)可得30)(sinlimxxxfxx 322430)(! 2)0()0()0()(! 31limxxoxfxffxxoxxx 1)(! 31! 2)0()0()0(1 lim33320 xxoxfxfxfx1! 312)0( , 0)0

10、( , , 01)0( fff37)0( , 0)0( , 1)0( fff 3.2、洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則 I、知識(shí)要點(diǎn)、知識(shí)要點(diǎn)型極限型極限00 一、一、 ;)()(,)1(都都趨趨于于零零及及函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xFxfax (洛必達(dá)洛必達(dá)LHospital法則法則); 0)()()(,)2( xFxFxfa都存且都存且及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在);()()(lim)3(或?yàn)闊o(wú)窮大或?yàn)闊o(wú)窮大存在存在xFxfax .)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 那那末末 二、二、 ;)()(,)1( 都趨于都趨于及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)xFxfax型極限型極限 ; 0

11、)()()(,)2( xFxFxfa都存且都存且及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(xFxfxFxfxFxfaxaxax 那末那末或?yàn)闊o(wú)窮大或?yàn)闊o(wú)窮大存在存在型型未未定定式式解解法法三三、00,1 ,0 ,0 方法方法: :將其它類型未定式化為將其它類型未定式化為,00 型型 0. 1步驟步驟:)(1)()()(xgxfxgxf 或或)(1)()()(xfxgxgxf 化為化為.,00 型型 . 2步驟步驟:經(jīng)過(guò)通分、變量代換化為經(jīng)過(guò)通分、變量代換化為,00步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 )(ln)()()(xfxgxgexfy

12、II、典型例題、典型例題方法：先化簡(jiǎn)初等變換、等價(jià)無(wú)窮小替換、非零方法：先化簡(jiǎn)初等變換、等價(jià)無(wú)窮小替換、非零因子極限先求出、變量替換），再用洛必達(dá)法則因子極限先求出、變量替換），再用洛必達(dá)法則 一、一、 利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限xxexxx2sin1lim13202 例例42081lim2xexxx 20281limtettxtx 161161lim0 tetx)11ln(lim2xxxx )1()1ln(11lim20txtttt 令令原式原式解：解：20)1ln(limtttt ttt2111lim0 21)1(2lim0 tttt例例2 )1sin1(lim220 xxx

13、 xxxxx22220sinsinlim 原原式式40)sin)(sin(limxxxxxx 30sinsinlimxxxxxxx 203cos1lim2xxx 31321lim2220 xxx例例3 解解nnn)arctan2(lim4 例例解法一：解法一： 原極限原極限1arctan2lim xxxe 1arctan2lim xxxe 解法二：先求解法二：先求: xxxarctan2lnlim 1arctanln2lnlim xxx 原極限原極限.2 e.2111arctan1lim22 xxxx)1(12lim22xxxe .2 e 注：數(shù)列極限利用函數(shù)極限來(lái)求注：數(shù)列極限利用函數(shù)極限來(lái)

14、求210)1ln(1)1(limxxxxxxx )1()1ln()1(lim0 xxxxxex 2)1(2)1ln(lim0exxex xexxx 10)1(lim例例5、 )00(例例6 設(shè)設(shè)f(x)在在x0二階可導(dǎo)，求二階可導(dǎo)，求 20000)(2)()(limhxfhxfhxfh 解解 ：00但不可再用洛必達(dá)法則，但不可再用洛必達(dá)法則，hhxfhxfh2)()(lim000 原式原式下一步應(yīng)利用二階導(dǎo)數(shù)定義下一步應(yīng)利用二階導(dǎo)數(shù)定義 ： 00hxfhxfxfhxfh2)()()()(lim00000 )()(2100 xfxf )(0 xf .,)21(arccos3217baxaxxb無(wú)無(wú)窮窮小小，求求為為等等價(jià)價(jià)與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)例例 122121)21(113lim)21(arccos3lim bxbxxabxxax 解解1)21(36lim121 bxxab132, 01 bab有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在證證明明有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在設(shè)設(shè)例例0)(,0)0(