高等數(shù)學(xué)競賽

1、河南理工大學(xué)2008年度二、解答題（每小題10分，共計(jì)70分） 1x+a高等數(shù)學(xué)競賽試卷（理工科）1、設(shè)f(x)在區(qū)間(-,+)連續(xù)，F(xiàn)(x)=2ax-af(t)dt(a>0)，考試方式：閉卷 G(x)= xf(t)dt,試解答下列問題：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F'(x)；復(fù)查總分 總復(fù)查人 （3）求證：lima0F(x)=f(x)；一、填空題(第小題5分,計(jì)30分)2arctanx1.e3 (1+x2)21 2.設(shè)f(x)在x=0的鄰域具有二階導(dǎo)數(shù)，且limf(x)xx01+x+x=e3，則 f''(0)3. lim2+ex x0(4+sinx1+

2、exx)。 4.由曲面z=x2+y2和z=2-x2+y2所圍的體積V。5.積分 21x+11 (1+x-)exdx 2x。6.微分方程yy''-y'2=y2y'的通解為 。實(shí)變函數(shù)試卷 第1頁（共4頁）2. 設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f''(0)>0,f(0)=f'(0)=0，t是曲線y=f(x)上點(diǎn)(x,f(x)處的切線在x軸的截距，求limxf(t).x0tf(x)2u2u3. 設(shè)函數(shù)u=f(lnx+y)滿足2+2=(x2+y2)2，求函數(shù)f的表達(dá)xy3式。實(shí)變函數(shù)試卷 第2頁（共4頁）4.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,及F

3、(t)=(t)f(x2+y2+z2)dv2D(t)f(x+y)d2，G(t)=D(t)f(x2+y2)dz=ey5. 設(shè)曲面S為曲線 (1y2) 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下側(cè)，計(jì)算x=0t-tf(x)dx2曲面積分I=4zxdydz-2zdzdx+(1-z2)dxdx 。s其中(t)=(x,y,z)x2+y2+z2t2，D(t)=(x,y)x2+y2t2 （1）討論F(t)在區(qū)間(0,+)內(nèi)的單調(diào)性； （2）證明t>0時(shí)，F(xiàn)(t)>2G(t)。實(shí)變函數(shù)試卷 第3頁（共4頁）6. 如圖所示，設(shè)河寬為a，一條船從岸邊一點(diǎn)O出發(fā)駛向?qū)Π?，船頭總是指向?qū)Π杜c點(diǎn)O相對的一點(diǎn)B。假設(shè)在靜水中船速為常數(shù) 為常數(shù)V1，河流中水的流速9x-2y-2z+1=07.已知點(diǎn)M1(4,3,10)和直線L1，若M2是M1關(guān)于L1的對稱4x-7y+4z-2=0點(diǎn)，求過點(diǎn)M2且平行于直線L1的直線。V2，試求船過河所走的路