計(jì)算水力學(xué)--5有限差分的基本理論(1)

1、 Leila for 水文11 版權(quán)所有課 程 內(nèi) 容 基本概念 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似 差分方程 截?cái)嗾`差和相容性 收斂性 穩(wěn)定性 Lax等價(jià)定理Leila for 水文11 版權(quán)所有 1. 1. 基本概念圣維南方程組： 無法求解析解 Z(x, t)，Q(x, t)連續(xù)的圣維南方程組： 數(shù)值計(jì)算方法 Z(i, j)，Q(i, j) i=0， 1， ，m j=0， 1， ，nLeila for 水文11 版權(quán)所有 1. 1. 基本概念 基本概念xt0 x-x2tt| 求解域| 網(wǎng)格| 節(jié)點(diǎn)| 時(shí)間步長| 空間步長x t 平面平面Leila for 水文11 版權(quán)所有 1. 1. 基本概念本章主要研究

2、：構(gòu)造差分方程、分析數(shù)值誤差數(shù)值解主要是求解節(jié)點(diǎn)上的末知變量的數(shù)值主要是求解節(jié)點(diǎn)上的末知變量的數(shù)值，利用，利用有限的節(jié)點(diǎn)上的值有限的節(jié)點(diǎn)上的值來代替整個(gè)來代替整個(gè)求解域內(nèi)的求解域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)值連續(xù)函數(shù)值。概念離散、誤差、均勻網(wǎng)格、非均勻網(wǎng)格離散、誤差、均勻網(wǎng)格、非均勻網(wǎng)格Leila for 水文11 版權(quán)所有 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似 差分、差商的基本概念 00limlimxxu xxu xduudxxx 導(dǎo)數(shù)定義：差 分：差 商：ux、uxLeila for 水文11 版權(quán)所有 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似 uuxxux 向前差分： uuxuxx 向后差分

3、：uuxxuxx 中心差分：xt0ii+1i-1j-1j+1j對(duì)“哪個(gè)點(diǎn)”進(jìn)行差分很重要！Leila for 水文11 版權(quán)所有 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似 一階向前差商 一階中心差商 一階向后差商 二階中心差商Leila for 水文11 版權(quán)所有v 通過對(duì)差商近似點(diǎn)（通過對(duì)差商近似點(diǎn)（i i，j j）的）的TaylorTaylor展開，可以分析差商對(duì)展開，可以分析差商對(duì)偏導(dǎo)近似的精度偏導(dǎo)近似的精度 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似Taylor展開法展開法 Taylor 展開法Leila for 水文11 版權(quán)所有 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似T

4、aylor展開法展開法 一階向前差商： 一階向后差商：Leila for 水文11 版權(quán)所有 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)的差商近似偏導(dǎo)數(shù)的差商近似Taylor展開法展開法 二階中心差商：Leila for 水文11 版權(quán)所有 偏導(dǎo)數(shù)用其差商近似來代替 偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的代數(shù)方程稱之為 差分方程。 3. 3. 差分方程差分方程在點(diǎn)（i, j）成立: 對(duì)流方程0uuCtx0jjiiuuCtxLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程i-1ijj+11jjjiiiuuutt1jjjiiiuuuxxLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程 在點(diǎn)（i，j

5、）的對(duì)流方程可以近似 Courant 數(shù)差分方程 110jjjjiiiiuuuuCtxtCx111jjjiiiuuuLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程離散表達(dá) 設(shè)，求解域（） 定解條件,0( )(0, )( )u xf xutg t00ijuf i xug j tLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題 例 定解問題00008,( )0( , )( )1txuuCtxtxu x tf xu x tg t ，0Leila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題 采用FTBS格式1100

6、0()012,3()112,3jjjjiiiiijuuuuCtxuf i xiug j tj， ， ，Leila for 水文11 版權(quán)所有a. 取 1 ，0.5 ， C=1.0 則 b取1，2，C=1.0則 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題Leila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題t txLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題xt tLeila for 水文11 版權(quán)所有v對(duì)同一定解問題的同一差分格式（對(duì)同一定解問題的同一差分格式（FTBS）其不同的空）其不同的空間與時(shí)間步長，將得到間與時(shí)間步

7、長，將得到不同的結(jié)果不同的結(jié)果，如果作為原始定解，如果作為原始定解問題的近似解，那一個(gè)解問題的近似解，那一個(gè)解精度高精度高呢？呢？v不穩(wěn)定的解是不能作為原定解問題的近似解的。不穩(wěn)定的解是不能作為原定解問題的近似解的。v偏導(dǎo)數(shù)的差商近似并非一種，同一偏微分方程的差分方偏導(dǎo)數(shù)的差商近似并非一種，同一偏微分方程的差分方程也并非一個(gè)，可以有若干個(gè)，對(duì)原始定解問題也相應(yīng)程也并非一個(gè)，可以有若干個(gè)，對(duì)原始定解問題也相應(yīng)有有若干種差分格式若干種差分格式。 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題Leila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題 FTCS格式i-1jj+

8、1ii+111102jjjjiiiiuuuuCtxLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題 FTFS格式ijj+1i+1110jjjjiiiiuuuuCtxLeila for 水文11 版權(quán)所有 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題 蛙跳格式ijj-1i+1i-1j+11111022jjjjiiiiuuuuCtxLeila for 水文11 版權(quán)所有 馬斯京根法差分格式 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題1jiujiu11jiu1jiuM11111111102jjjjiiiijjjjiiiiuuuutuuuuCxtttCxxKCLe

9、ila for 水文11 版權(quán)所有v 顯式格式：由第顯式格式：由第j j時(shí)間層上的值，可直接算出第時(shí)間層上的值，可直接算出第j+1j+1時(shí)時(shí)間層上的值的格式。間層上的值的格式。v 隱式格式：不能直接從隱式格式：不能直接從j j時(shí)間層上值直接解出，需聯(lián)時(shí)間層上值直接解出，需聯(lián)立求解立求解j+1j+1層上的值的格式。層上的值的格式。 3. 3. 差分方程差分方程定解問題定解問題對(duì)同一個(gè)定解問題，可以有多種差分格式，多種步長參數(shù)來近對(duì)同一個(gè)定解問題，可以有多種差分格式，多種步長參數(shù)來近似，從而也得到若干個(gè)差分近似解。那么這些解似，從而也得到若干個(gè)差分近似解。那么這些解是否可以都作是否可以都作為原定解

10、問題的近似解為原定解問題的近似解？那些解？那些解精度高精度高？為什么？為什么？| 相容性、穩(wěn)定性及收斂性分析Leila for 水文11 版權(quán)所有相容性：是指當(dāng)自變量的步長趨于零時(shí)相容性：是指當(dāng)自變量的步長趨于零時(shí), ,差分格式與差分格式與微分問題的微分問題的截?cái)嗾`差的范數(shù)截?cái)嗾`差的范數(shù)是否趨于零是否趨于零, ,從而可看出從而可看出是否能用此是否能用此差分格式來逼近微分問題差分格式來逼近微分問題。 4. 4. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性Leila for 水文11 版權(quán)所有 4. 4. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性 以FTBS格式為例 Leila for 水文11 版權(quán)所有 4. 4

11、. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性 等價(jià)方程 截?cái)嗾`差Leila for 水文11 版權(quán)所有 4. 4. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性 FTCS格式的截?cái)嗾`差 FTFS格式的截?cái)嗾`差 蛙跳格式的截?cái)嗾`差 Leila for 水文11 版權(quán)所有Thinking aboutThinking about： 馬斯京根法差分格式的截?cái)嗾`差 Leila for 水文11 版權(quán)所有 4. 4. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性 對(duì)流方程的差分方程等價(jià)形式 差分方程和相應(yīng)的微分方程相容Leila for 水文11 版權(quán)所有 4. 4. 截?cái)嗾`差和相容性截?cái)嗾`差和相容性 定解條件 截?cái)嗾`差 差分算子 定解

12、問題相容Leila for 水文11 版權(quán)所有相容性：是指當(dāng)自變量的步長趨于零時(shí)相容性：是指當(dāng)自變量的步長趨于零時(shí), ,差分格式與差分格式與微分問題的微分問題的截?cái)嗾`差的范數(shù)截?cái)嗾`差的范數(shù)是否趨于零是否趨于零, ,從而可看出從而可看出是否能用此是否能用此差分格式來逼近微分問題差分格式來逼近微分問題。收斂性：是指當(dāng)自變量步長趨于零時(shí)收斂性：是指當(dāng)自變量步長趨于零時(shí), ,要求差分格式要求差分格式的的解解趨于微分方程定解問題的解。要求差分格式的趨于微分方程定解問題的解。要求差分格式的解解( (數(shù)值解數(shù)值解) )與微分方程定解問題的解與微分方程定解問題的解( (精確解精確解) )是一是一致的。致的。

13、5. 5. 收斂性收斂性Leila for 水文11 版權(quán)所有 5. 5. 收斂性收斂性 差分格式的解: 離散誤差: 微分問題的解: 差分格式收斂:jiu,ijUx t,jjiiijuUx t,lim0 xt相容性是收斂性的必要條件相容性是收斂性的必要條件, , 相容性是形式上的逼近，相容性是形式上的逼近，收斂性是解的逼近，相容性不一定能保證收斂性收斂性是解的逼近，相容性不一定能保證收斂性. .Leila for 水文11 版權(quán)所有 5. 5. 收斂性收斂性 微分問題: FTBS格式:0,0( )uuCtxu xg x 1100jjjjiiiiiiuuuuCtxug x,ijU x t真解：真

14、解：jiu數(shù)值解：數(shù)值解：Leila for 水文11 版權(quán)所有11,ijijijijU x tU x tU x tU xtCOxttx 5. 5. 收斂性收斂性| 離散誤差| 由截?cái)嗾`差分析有Leila for 水文11 版權(quán)所有 5. 5. 收斂性收斂性|當(dāng)和，即，則 | 寫成：111,jjjiiiOxtt 11max1maxmax,jjjiiiiiiOxtt1maxmax,jjiiiit Oxt 111,jjjiiiOxtt Leila for 水文11 版權(quán)所有 5. 5. 收斂性收斂性Leila for 水文11 版權(quán)所有| 說明當(dāng)說明當(dāng)0101時(shí)時(shí), ,本問題的本問題的FTBSFT

15、BS格式收斂。這種離散化格式收斂。這種離散化誤差的最大絕對(duì)值趨于零的收斂性情況稱為一致性收斂。誤差的最大絕對(duì)值趨于零的收斂性情況稱為一致性收斂。00i 5. 5. 收斂性收斂性jtt ,0limmax0jixti maxOtjiix，Leila for 水文11 版權(quán)所有誤誤 差差 分分 類類差分方程解析解數(shù)值解偏微分方程：解析解*u uu uu 收斂性關(guān)心：Leila for 水文11 版權(quán)所有| 相容性是收斂性的必要條件| 穩(wěn)定性與收斂性有一定穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。的聯(lián)系。LaxLax等價(jià)定理Lax等價(jià)定理:對(duì)一個(gè)適定的線性微分問題及一個(gè)與其相容的差分格式，如果該格式穩(wěn)定則必收斂，不

16、穩(wěn)定必不收斂。換言之，若線性微分問題適定，差分格式相容，則穩(wěn)定性是收斂性的必要和充分的條件。 LaxLax等價(jià)定理相容性收斂性穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有 根據(jù)此定理，在線性適定和格式相容的條件下，只要證明了格式是穩(wěn)定的，則一定收斂；若不穩(wěn)定，則不收斂。 由于收斂性的證明往往比穩(wěn)定性更難，故人們就可以把注意力集中在穩(wěn)定性的研究上。LaxLax等價(jià)定理Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| von Neumann分析（線性偏微分問題） 穩(wěn)定性| 數(shù)值試驗(yàn) （需滿足物理規(guī)律）Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性0,0( )uuCtxu x

17、f x| 滿足物理規(guī)律： 定解問題:C0 ：特征線向下游傳播C0 ：特征線向上游傳播Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性數(shù)值試驗(yàn)xt0FTBS：= =1 1 000000011jjiiLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性數(shù)值試驗(yàn)xt0FTBS：= =2 2 2 2 4 4 1616 3232 8 8 64 0000000112jjjiii Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| 依賴區(qū)間AB 和決定域PABFTCS格式ABPeLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性PABABPFTFS格式FTBS格式| 依賴區(qū)

18、間AB 和決定域PABLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| 影響區(qū)域FTCS格式1112jjjjiiiiuuuuLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| 影響區(qū)域FTFS格式FTBS格式111jjjiiiuuu111jjjiiiuuuLeila for 水文11 版權(quán)所有| 由此可知：v同一微分問題，當(dāng)采用不同差分格式時(shí)，其依賴依賴區(qū)間區(qū)間、決定區(qū)域決定區(qū)域和和影響區(qū)域影響區(qū)域可以是不一致的。v依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域是由差分格式本身的構(gòu)造所決定的并與 有關(guān) t tx x 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有0,00uuCtx

19、u x 例 定解問題| FTBS格式計(jì)算00,1,2,3,0, 1, 2,jiuji 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有|假設(shè)在第j層上的第i點(diǎn),由于計(jì)算誤差，得到: 設(shè)i0，j0， 1，即，相應(yīng)于FTBS格式：j ji iu =u = 110001100jjjiiiiuuuuui， 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性 誤差逐漸衰減傳播110.50.5jjjiiiuuuLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性誤差無衰減傳播11jjiiuuLeila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性誤差震蕩放大傳播1

20、12jjjiiiuuu Leila for 水文11 版權(quán)所有| 算例表明了當(dāng) 值不同時(shí)計(jì)算誤差所產(chǎn)生的影響t tx x 誤差逐漸衰減傳播 誤差無衰減傳播 誤差震蕩放大傳播t t1.01.0 x x 數(shù)值誤差有不同的傳播方式，格式使誤差逐漸衰減傳播稱為差分格式穩(wěn)定，否則稱為不穩(wěn)定。 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| 單增長型的不穩(wěn)定稱為靜力不穩(wěn)定性j+1Leila for 水文11 版權(quán)所有 6. 6. 穩(wěn)定性| 過沖型振蕩的不穩(wěn)定稱為動(dòng)力不穩(wěn)定性j+1Leila for 水文11 版權(quán)所有 von Neumann穩(wěn)定性分析方法0,0( )uuCt

21、xu xf x111jjjiiiuuu0i00iiu111jjjiii | 定解問題| FTBS格式| 初值誤差| 誤差傳播方程 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有| 誤差展開成傅氏級(jí)數(shù) | 代入誤差傳播方程 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有| 對(duì)任意的k有 | G為放大因子 1ik tGe 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有cossinik xek xik x221 41sin2k xG 1G 21 41sin12k x241sin02k x101| FTBS格式穩(wěn)定條件 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)

22、所有 Von NeumannVon Neumann穩(wěn)定性分析法主要用于穩(wěn)定性分析法主要用于線性初值問題的穩(wěn)定性分析。對(duì)于非線性問題用局部線性化的穩(wěn)定性分析。對(duì)于非線性問題用局部線性化的方法加以推廣。的方法加以推廣。 局部線性化方法假定非線性系數(shù)變化得很緩慢，因假定非線性系數(shù)變化得很緩慢，因而可用局部網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值代入后作為常數(shù)處而可用局部網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值代入后作為常數(shù)處理，并認(rèn)為每一網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的計(jì)算穩(wěn)定性與相鄰結(jié)理，并認(rèn)為每一網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的計(jì)算穩(wěn)定性與相鄰結(jié)點(diǎn)無關(guān)，以網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上最小的局部穩(wěn)定極限值作為點(diǎn)無關(guān)，以網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上最小的局部穩(wěn)定極限值作為整個(gè)差分問題的穩(wěn)定極限值。整個(gè)差分問題的穩(wěn)定極

23、限值。 6. 6. 穩(wěn)定性Leila for 水文11 版權(quán)所有馬斯京根法的穩(wěn)定性4 4FTFS格式的穩(wěn)定性2 2蛙跳格式的穩(wěn)定性3 3 3FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1 6. 6. 穩(wěn)定性不同格式的穩(wěn)定性分析Leila for 水文11 版權(quán)所有 FTCS格式11102jjjjiiiiuuuuCtx誤差傳遞方程： FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1ijj+1i+1i-1Leila for 水文11 版權(quán)所有放大因子G FTCS格式的穩(wěn)定性3 1 1Leila for 水文11 版權(quán)所有 FTFS格式110jjjjiiiiuuuuCtx誤差傳遞方程： FTFS格式的穩(wěn)定性2 2ijj+1i+1Leila for 水文11 版權(quán)所有放大因子G FTFS格式的