數(shù)值分析報告課后問題詳解

1、第一章緒論本章的學習要求(1) 會求有效數(shù)字。(2) 會求函數(shù)的誤差及誤差限。(3) 能根據(jù)要求進行誤差分析。二本章應掌握的重點公式(1)絕對誤差：設 x為精確值，x為x的一個近似值，稱 e：=x”-X為x的絕對誤差。(2)相對誤差:(3)絕對誤差限:e*(4)相對誤差限:x x(5) 元函數(shù)的絕對誤差限：設一元函數(shù)(6)元函數(shù)的相對誤差限:(7)二元函數(shù)的絕對誤差限:設一元函數(shù) f x, y二0,則；1疋y丿；y 。(8)二元函數(shù)的相對誤差限:三本章習題解析1.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，（1）試指出它們有幾位有效數(shù)字，（2）分別X 片估計A及A2=的相對誤差限。Xi =1.102

2、1,X2 =0.031,X3 =3856x4 =56.430解：（1） X1有5位有效數(shù)字，X2有2位有效數(shù)字，X3有4位有效數(shù)字，X4有5位有效 數(shù)字。（2）A =曲2禺凸=x2x3，夬訂x3,芻訂x2,由題可知：A”為A的近似值，X1 , X2 X 分別為X1, X2,X3近似值。1X1 X2 X3次1次2次3= 0.215x2 x3110 x/x/-10“ x1x/ 110JIL222X2，X4 為 X2，丄，芻同理有傀”為A2的近似值,X4 ' &4（X4 ）X4的近似值，代入相對誤差限公式:* 欽A；）£A2&X4X；JXLX:丁予宀102.正方形的

3、邊長大約為 100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解：設正方形的邊長為X，則面積為s =x2，dT2x，在這里設X為邊長的近似值,面積的近似值：由題可知:Idx丿即：2x” ； x空1推出:1X 試 0.005cm。3.測得某房間長約L”=4.32m,寬約為d =3.12m，且長與寬的誤差限均為0.01m，試問房解:4.解:相對誤差限為：；r s”二F列公式如何計算才比較準確:(2)(3)S0.0744.0.0055。當x的絕對值充分小時，計算當N的絕對值充分大時,當X的絕對值充分大時,(1 )當 XT 0時,2xe -12計算計算(2)當Nt處時,4.32 3.122xe；2

4、，-2x2xe -1 e 14xe -1r Xx 3x_xe e -e2x X XX、X/ X_x r2 e 12e e e 2e e e3x_x.e e e e e12dx = argtgx1 X2x 2x-2xN 1= argtg(N 十1 )_argtgN N間面積S=Ld的誤差限和相對誤差限分別為多少？/SrS設s=ld則有： =d ,蘭=1。在這里I； d ，S分別為I , d，s的近似值: £cdl"-d ”；|； d =3.12 0.01 4.32 0.01 =0.0744cm2=argtg1 N N 1當XT畑時,X ：一x£(x 1X；5. 列&

5、#163; 滿足遞推關系yn=10yn1-1， n=1,2,，若y0 = ；2 ： 1.41，計算到y(tǒng)10時誤差有多大？這個計算數(shù)值穩(wěn)定嗎?，則有:解：已知準確值y()= J2，近似值y0 =1.41，設他們的誤差為& =y1 y, =(i°y0i)pi°y0=100一丫0譏0*2= y2_y?= (10y1-門-(敗-)=100以此類推所以0 =10_%0=叫-1)"1"°。； 010=10 y。-y°=1010010I=10 721.41 蘭1010 1-2 1 82 10 匕 106.計算f =(72-1 6，取421.

6、4 ,直接計算和用1來計算，哪一個最好?(3+242.)解：依題意構造函數(shù) f x = x1 ”，貝y f 1 x =65x -1，由絕對誤差公式(廣)=f (xV(x=6x(1.41 *V21.4=6X0.0124X1X10=0.0030727.求二次方程x2-16x+仁0的較小正根，要求有 3位有效數(shù)字。解:由求根公式：x二一16 4。所以。 x1=8+J63, x2=8-J63對比可知:較小的根為x2=863，由相近數(shù)相減原理則有:： 8. 63 8 - ： 63x2 =8 - 63 =0.06278638.如果利用四位函數(shù)表計算 1 - cos20,試用不同方法計算并比較結(jié)果的誤差。解

7、:1 - cos2° ： 1 - 0.994 =0.006.2 0 26.092 10*“ 衛(wèi) sin 20.03491 -cos201+cos2 1.9949.設x的相對誤差限為3,求 x100的相對誤差限。解：由題意可知：設 f x =x100, 則有f' (x尸100X99在這里設為X的近似值，廣 為f的近似值，由已知 x的相對誤差限為、：。所以：；f”f11廠x匚J 100(X99（x（貯）叫100； x= 100、.10.已知三角形面積S=；absinc,其中c為弧度，滿足0<c<，且a,b,c,的誤差分別為2.：bbc解：由誤差定義：蜃<|Aa|

8、 +|Ab| +cscc證明面積誤差 as滿足abcosc，代入上式可得:|- .c，又因為：=-bsinc，一Sca 21asinc:b 2：s 1:c 2As <1bsin c|Aa| +1 a sin c|Ab +1一 ab cosc222兩邊同除以s可得:1bs inc|1 absi n(21asinc2abs inc2Ababcosc2-abs inc2約分可得:成立。所以命題n "亠因為：0<c< 則有：tgc>c>0.，2第二章插值法本章的學習要求(1 )會用拉格朗日插值和牛頓插值求低階插值多項式。(2) 會應用插值余項求節(jié)點數(shù)。(3) 會

9、應用均差的性質(zhì)。本章應掌握的重點公式()線性插值：L1 x = l0 x y0 l1 x y1。(2)拋物插值：L1 x = l0 x y0 li x y! l2 x y2。n(3) n 次插值：Ln xlk x yk。k J0、f鋼(4) 拉格朗日插值余項：Rn x = f x；-Ln x =n 1 x 。n +1!(5) 牛頓插值公式：NX = fxof k,xi! X-Xof儀0必Xn X-XoX-XiX-Xn4。(6)(7)Xo,Xi,XnLaXXo XXiXXj X Xj.iX Xn(8)牛頓插值余項：Rn x = f X - Nn X 二 fxo, Xi Xn ! 'n 1

10、 X 。三本章習題解析1.給定 （x, f（X ）的一系列離散點（1, 0）, （2, 5）, （3, 6）, （ 4, 3），試求 Lagrange插值多項試。解：設所求插值多項式為 p x =l3 X =|0 x y 11 x y J 2 x y，且已知:Xo=1，y°=0,X1=2，y1=-5，X2=3，= -6,X3=4，y3=3，代入插值基函數(shù)公式：可得：xx-X1 x-X2 X-X3= X- 試用Newton插值公式求一個三次插值多項式n3 X，并由此求f 0.5的近似值。 x-3 x-X0=0, y° 一-7，人=1，y1-4,X2=22=5，X3=3,y 2

11、6。則X。X1X。X2 X0 X312解：(1) n=3,取0.5附近的4個點為宜。故取，,xX-X0 X-X2 X-X3= X" x-3 x-411 X -（X1 X。XX1 X2 ）（X1 X3）（仆-化-2 ）,xX-X0 X-X1X-X3= x-1 x-2 x-41 2 x（X2X0 XX2 X1 ）（X2 X3 ）（玄1 沢1 ）化簡代入p x得：p x =x3-4xL3 X i=|0 x y l1 x y l2 x y，按照習題1求出插值基函數(shù)。代入L3 X。2.若 f X =2x6 -3x5 X31，求 f30,3ll36，f 30,3|37。解：由 f 6 x =2

12、6!,所以：f 6=26!，f 7x=f 7i：l： 0.由均差的性質(zhì)（三）可知:30,3|36 二學2 6!6!f 30,3|37 =七廠07!=03.給定函數(shù)表Xi012345f（X-7-452665128(1) 試用Lagrange插值法求一個三次插值多項式山X，并由此求f 0.5的近似值?？傻茫篖3 x ;=x3 2x _7，所以:f 05 . q2 1 -5.875(2)設牛頓插值多項式為N3 X 二f Xo f |IXo，Xi x -Xo f|X，XiX x-Xo x-Xif |IXo，Xi，X2，X3 X Xo X X1 x X2，列差商表:yi一階插商二階插商三階插商0-71-

13、4325933262161所以：N3 X = -7 3 x -o3 x-o x-1|亠 Ix-o x-1 x-2 = x3 2x - 7 =-5.875n kk4.設Xj為互異節(jié)點（j=o,1,2,n ）求證：7 Xj| j x三X，k=o,1,2,，n其中i j xj=o為n次插值基函數(shù)。證明：根據(jù)題意：設f x = x*，所以有y = f x j - x j，結(jié)合上式所以有：nnn' xjl j x 八 f Xj 1 j x 八 l j x y =Ln Xj，j 0j =0j ：0由余項定理可知：f xj =Ln Xj Rn Xj，且由定理二可知，當0乞j乞n時，尺xj =0所以就

14、有f Xj二Ln Xj二Xjk。在這里令變量Xj =X，所以命題:nj =0，成立。E(b_a $ max fII (x )。8a童至5.設 f X c2 l.a,b 1且 f a i= f b ；=0 ,求證：max f xu'a : x: b證明：由題可知：x0 = a,y0 = 0, x b, = 0，故可構造線性插值多項式即為下式:L1 X =lo X f Xo l1 x f X1，記為（"式，因為f x =L1 X R1 X，記為（2）式，其中R X ：嚴x-a x-b，記為（3） 式，將（1） （3）代入（2）整理：6.若iix _bx -af (-)f x &q

15、uot;L1 XR1 x =Jb f af bR1廠 x-a xbx-a所以:f X = 2!II入，可推出：f（X»WX,f&(b-a.2!4f ManXn -anjXnJx -a x -b1再放縮得 max f(x$ 蘭一(ba max f" (xa塵申 8a空II-aix ao有n個不同實零點捲，x?,川Xn,證明：kXj0,0 乞 k 乞 n 2 f Xjan,k 二n"證明：由題可知：f x有n個不同實零點，故 f x還可以表示成根形式的多項式，即:f X =an X1X -X2 IH X - Xn ；由導數(shù)的定義可知：f. f x -f Xjf

16、 Xj 吧 xXj二唄總廣唄乩八“ X-X2 X-X2 X-xX-Xnan x X1 x X2Xj Xjx Xj1x xn在此設：X = xk -kXjIf Xj丄 nan 7 Xj X1Xj -XjA XjXj1Xj -Xnn1_ 1，記為（1）式a： xx Xn首冇1當 k=n1 時，如 °（x）=（ n T J，則（1）變?yōu)橐唬籥x當0 乞n-2，則（1）式變?yōu)?,綜上所述：nxk0,0 Ek 乞 n2'、Xj *j 土，k = n Tjf xan,7.給定函數(shù)表Xi-2-10123f (Xj )-5111725已知以上數(shù)據(jù)取自一個多項式，試確定這個多項式的次數(shù)；并求出

17、這個多項式。解：用牛頓法：N X =f Xo !亠 f lx0,x X x0 !亠 f lx0,x1,x2J x-x0 x-片 +f I.Xo,X1,X2,X3,X4,xJ Xg x _x X-X2 X-X3 X-X4 ，列插商表:Xif區(qū)）一階插商二階插商三階插商四階插商五階插商-2-5-116010-311001276310325186100N X 嚴5 6(x 2) -3(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)(x-0)=x3 -x 1，為三次。8.對函數(shù)f x ， g x及任意常數(shù)a,b,證明:af x bg x J X 0, XiXn I = af Ro , Xi,Xn I * b

18、g xo , Xi ,，'，Xn 。證明：由高等數(shù)學的知識，我們構造函數(shù)F X二af x bg x，于是就有下式成立:af x bg x jxo,Xi, xJ-F x %必，各 1n=zj- Xj -Xo XjF(Xj)X1Xj -Xj 丄 Xj-Xj 1 Xj-Xnaf Xj bg Xj心 XjXo XjX1XjXj 丄 XjXj1XjXn由分式法則:f Xjnb"j =0g Xjna'，j - Xj -XoXjX1XjXj 1XjXj1 XjXn v XjXoXjX1XjX2 XjXj 1XjXn=af lo ,X1 x 1 bg ko,X1，Xn 1,所以命題成

19、立。10.給定函數(shù)表Xi0.00.20.40.60.8f (Xi )1.000001.221401.491821.822122.22554試分別用Newt on前插值公式和Newt on后插值公式計算 f 0.05的近似值。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，分別代入 Newt on前插值公式和Newt on后插值公式可得 f 0.05 =1.05126.11. 右要給出f(X)_COSX， x0,衛(wèi) 的一張按等距步長 h分布的函數(shù)表，并按線性插值計IL 2算任何x 0王I的cosx的值。問當h取多大才能保證其截斷誤差的絕對值不超過

20、22104。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，代入余項公式，即可求出h < 0.02。12. 設f (x廬C2H2 Ia,b】，采用Lagrange插值余項的證明方法，證明：埃爾米特插值余項f2n卡匕2R X 二 f X -H2n1 x" X。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，將定理2代入余項公式即可求得，在此不做說明。13. 求不超過3次的多項式H X，使其滿足H -1 =9, H I -1 =15, H 1 =1, H 1 - -1。分析：基于

21、本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，設所求多項式為：h x二aoa1Xa3X2a3X3,代入條件，即可求得：H x = x3 -4x2 4x。14. 求不超過4次的多項式P X，使其滿足 P 0 = P' 0=0, P1=P 1=1,P 2 =1。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，設所求多項式為分析p x = a0 ' a1x a2x2 a3x3 a4x4,代入條件，即可求得：p x =x2 x-32。15.給定函數(shù)表Xi0123f(X )00.521.5(1)

22、 在邊界條件f1 0 =0.2 , f1 3=1下求三次樣條插值函數(shù)S X ；(2) 在邊界條件f"(0)=_0.3，f"(3)=3.3下求三次樣條插值函數(shù)S(X卜分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，代入樣條插值函數(shù)公式，即可求得，在此不做說明。0.48x3 -0.18x2 +0.2x,x 10,1 |32結(jié)果為：(1)s(x) = <1.04(x1)+1.25 (x1 ) +1.28(x1)+0.5,xEl,232.10.68 x -2 ； -1.86 x -20.68 x -22.0,x：二 |2,3

23、 1I0.5x3 -0.15x2 0.15x,1.0,1 132(2) s x - -1.2 x-11.35 x -11.35 x-10.5,x：= 1,21.3 x-2 -2.25 x-20.45 x-22, 12,3 第三章函數(shù)逼近及最小二乘法一本章的學習要求(1) 會用最小二乘法求擬合曲線。(2) 會將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)。二本章應掌握的重點公式線性曲線擬合公式：nn二0 八0 t0 ti，= S0 八°ti ti ，i7nr1 八i r ti 1 ti，i蘭nn° ti yi，ti yi。三本章習題解析1.設© °(x )沖X )忙4(X卜是

24、區(qū)間0,1上帶權P (x)=x的最高項系數(shù)為1的正交多1項式序列，其中' o X =1，求k x dx及行x和' 2 X 。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣工11 丄k = 0n的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：x'xdx»2，k 0 ；' X =x-2；L0k1X /o|0,k 式032X *63x5102.判斷函數(shù)二x =1, T ix =x,，-，在I -1,1上帶權' i x =1正交，并求3 3(x )使其在-1，1上帶權P(x)=1與化(x), * 3, * 2(x)正交。分

25、析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為：X3 _3X。53. 證明：若函數(shù)組© o（x）,© Jx ”4 n Jx ）是在a,b上帶權P（x ）正交的函數(shù)組，貝U叫（X艸1（X ）'4n 1（X ）必然是線性無關的函數(shù)組。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣 的同學可自行證明。4. 已知點列X。- -2 ,xi- -1 ,x2= 0 ,x3= 1 ,x4= 2 及權函數(shù)門 |% = 0.5, ' I X =X =X3 =1,門i x

26、4 =1.5，利用公式（47）和（4 8）構造對應的正交多項式 Po X , 口 X , P2 X。分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，在這里只給出結(jié)果。結(jié)果為2Po X "， P! X =X_5，一土 x，-46115.515Xi01234yi1.003.856.509.3512.05P2 X=X5.已知數(shù)據(jù)表求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：設所要擬合的直線方程為：y=a° wx，這里 m = 4 , n=1 , ox=1, 】x=x ,44仲 0化）=送伴 o（Xi o（Xi）=5，仲 0° 1 E

27、1* 0）=送 5° o（Xi $ 1（xJ=10，1j=011i44（化中 1 ）=無 P 1（Xi 滬 1（Xi 戶30，仲 of）吃種 o（Xi “ =32.75，'i=07化f電化（xp®,所以可得到以下方程組：鑑；：卜卷；5解得：ao =1.03,=2.76，所以所求方程為 y =1.03 2.76x。6.已知數(shù)據(jù)表Xi12345678yi33455667求擬合這些數(shù)據(jù)的直線方程。解：設所要擬合的直線方程為：y =a0 a1X，這里 m = 7，n =1，。X；=1，1 X yX，77 0 Xi 0 Xi 二8， 1 八 10 八 0 Xi 1 Xi 二3

28、6，i =0777i1 Xii Xi = 285， n心° x yi =41，8, 36 曲。/41：36,285a1!2®i _07 7y = 2.22 0.95x。打f 八.，Xi y =216，所以可得到以下方程組: ,7八解得：30 =2.22，a0.95，所以所求方程為:7.某發(fā)射源的發(fā)射強度公式為I = I0：t，現(xiàn)測得|與t的一組數(shù)據(jù)如下表ti0.20.30.40.50.60.70.8li3.162.381.751.341.000.740.56試用最小二乘法根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定參數(shù)|0和的值。解：先將I =loeF線性化，即兩邊取以10為底的對數(shù)，變?yōu)镮glg |

29、0 a|g；，設yrlg： Alg10，Aa|ge，所以上式變?yōu)?人0 2衫。這里m = 7，n=1，7”0（x 尸，* 1（x）=x，代入公式得：仲 0*0 ）=遲們化（Xi）°0（Xi）=8，i=077<*0*X*1*® 化（Xi1（Xi ）=3.5，3 1*1）=三3 ®1（XiW1（Xi 產(chǎn)2.03，77仲 0f 尸遲們 i*3xi）yi =0.8638，仲 J ）=% i化（Xi Wi =0.08062，i =0i =0所以可得到以下方程組8, 3.5暑。8638 I,解得：傀".08777，3.5,2.03 一 A 一 0.08062

30、一A ： -0.04618，相應的 I。: 5.64, a : 2.89。8.試用最小二乘法根據(jù)以下數(shù)據(jù)表Xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求y =aebx的最小二乘擬合曲線。解：先將y =aebx線性化，即兩邊取以10為底的對數(shù)，變?yōu)閘g ' = lg blge x，設y = lg y , eAo = lg -'， Ai = b Ig ，所以原式變?yōu)椋貉?二 Ao Ax。這里 m = 4，n = 1，4 ,：=i，1 x二x，代入公式得八,=Xi "o Xi =5，i 244(*0*X*理 o )=頭 e o(X

31、i 步 1 (Xi )=7.5，(* 1* 1 戶遲 a i* i(Xi P 1(Xi i875，i蘭i47W°f )=瓦伸 0(Xi Wi=33.33，伸 f 戶遲們 Q 1(Xi )yi =51.2275，所以可以得到以下方程組：|5,7.5| A°= 33.33 I,解得：厲=3 708，1(7.5,11.875 | A11(51.22750 5056 xA =1.972，代回求得，a - 3.071, b = 0.5056,故方程為 y=3.071e，9.用最小二乘法求形如 y =a bx2的經(jīng)驗公式，使它擬合以下數(shù)據(jù)。Xi1925313844yi19.032.34

32、9.073.397.8解：先將y二a bx2線性化，設 X =x2，則原式變?yōu)?y = a bX，這里m = 4， n = 1，4"戸，* 1（X）二X，代入公式得仲0化）=送皿0仗化仗）=5，'i =044（化°1）=y °）=送化/化氐）=5327，（° »1戶遲怕出仗丸仗戸277699，''i z0'i z044伸 0f 戶皿沖 0（Xi）yi=271.4，（* 巴戶頭化（Xi 九（Xi ）=369321.5，i 0所以可以得到以下方程組: 5,5327門=；271.4 15327,7277699占一占69

33、321.5_解得：a =0.05004，b =0.97258，所求方程為：y =0.97258 0.05004X2。第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分本章的學習要求(1) 會求各種插值型求積公式。(2) 會應用求積公式分析代數(shù)精度。(3) 掌握梯形公式，辛甫生公式及其誤差余項。(4) 掌握復化梯形公式，復化辛甫生公式及其誤差余項。本章應掌握的重點公式(2)辛甫生公式:(1)梯形公式:f x dxb -a2_f a f b 。af xdx:詈f a 4f f b。(3)復化梯形公式:h -nTf a4'f Xk f b 。-心(4)復化辛甫生公式:Xk 2 f b 。hn丄nSn=2 fa 2、f

34、 Xk 4' f2 -kz!K 土(5) 梯形公式的誤差余項：Rt (x-a 3?！?a,b)ba(6) 復化梯形公式的誤差余項：Rt Xh2f11。 a,b12三本章習題解析1.用復化梯形公式和復化 Simps on公式計算下列積分。(1)1 二取 n=8 ； (2)丁4sin2xdx，取 n=6解:( 1 )代入復化梯形公式可得 丁8=丄f o ' f Xk f 1 =0.1114024，（2）代入梯復化形公式可得：t6ff x6f =1.03562 ,72 y16丿同理，分別代入復化 Simpson公式可得：S8 =0.1115724 , & =1.03577。2

35、.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構造的求積公式所具 有的代數(shù)精度。(1)hJ xdx:A°f -h A1f 0 A2f h(2)10 f X dx ：A0f 0 AfA2f 1(3)2h2hf xdx:A°f 比Af 0A2f h(4)h上 f x dx:A。f -hA f X1解：（1）設f x =1，x，x2，求積公式準確成立,代入（1）式可得:2h = A。* A1 + A?0=A。h + A2 h232訥=(A° + A2)h解得：民二民A =4h，3 3代入原式整理得：h141f xdxf -h -h f 0- h f h，3

36、33對于f xi；=x3，代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f X = X4，代入上式驗證,左邊=右邊，即所構造的求積公式具有 3次代數(shù)精度。（2）設f x =1，x，x2，求積公式準確成立，代入（2 ）式可得:仁A0+A + A21 ,?=A° x+A212丄G = Ax +2A2121解得：民=A；， A ， xl632代入原式整理得：f x dx ：、1 f 0 - f 111 f 1 ，力6312丿6對于f x =x3，代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f x = x4，代入上式驗證，左邊=右邊，即所構造的求積公式具有3次代數(shù)精度。2（3）設f x=1 , x , x ,求積公式

37、準確成立,代入（3）式可得:4h = A0 A1 A20 = - A h ： A h16 32h = Ao A2 h84解得：A（）= A2h, Ah,332h848代入原式整理得：二h f x dx h f -hh f Xih f h ，333對于f x = x3，代入上式驗證，左邊=右邊，繼續(xù)令f x = x4，代入上式驗證,左邊=右邊，即所構造的求積公式具有3次代數(shù)精度。f 2h = A + A（4）設f X =1，x，求積公式準確成立，代入（4）式可得f °0 = _A（）h + A%解得：xi，Ao，Aih,323hh3i'h '代入原式整理得：f x d

38、f - h i亠一 h f i - ，丄2213 .丿23對于f X二X，代入上式驗證，左邊=右邊。繼續(xù)令f X二X，代入上式驗證,左邊=右邊，即所構造的求積公式具有3次代數(shù)精度。1 1 _ 1 _3.證明：o f x d - |J 0 f 1f 1 f1 0 具有3次代數(shù)精度。證明：當f x=1時，AA左邊=1，右邊=1 1，一 0 一0 =1，左邊=右邊。2 12當f x =x時，左邊=_，右邊=1 0 1,丄11丨-1，左邊=右邊。2 2 12 2當f x =x2時，左邊二1，右邊=1 10 C-丄（2 -0 J -1，左邊=右邊。3 2123當f x =x3時，11左邊=-，右邊=-，

39、左邊=右邊。4 4當f x = x4時，11左邊二-，右邊二-，左邊=右邊。5 6故所求積公式具有 3次代數(shù)精度。4.用復化Simpson公式Sn計算積分2sinxdx，要使誤差不超過 1 10-，問應將區(qū)間0 2。，2分為多少等份？若改用復化梯形公式時要達到同樣精度問應將區(qū)間為多少等份?解:復化Simpson公式的余項的絕對值為:JI z化為R(壇'maxsi nx 4n丿0空呼同理若應用復化梯形公式，則有Ttb -aV22fhfI' (n)<212肚I由此可將原問題轉(zhuǎn)5"92 4 10衛(wèi)解得：“一6。max前x弓10色解得：n 255。15.求積公式o f

40、x dx ：、A°f o廠aJ 1 r- a2 f1 o，已知其余項表達式為R f = kf111 。試確定求積公式中的待定參數(shù) Ao，A1，A2，使其代數(shù)精度盡量高，并指出求積公式所具有的代數(shù)精度及余項表達式。解:設 f X =1， X，X2求積公式準確成立，代入原式可得:仁 Ao A A2 丄=o 2A A?1打A_1八 _1，A肓，A二飛，1 2 1 1 I°f xdx：；f 0;f 1 訂 0 ,33611當f x =x3 *時，代入原式，左邊 二一，右邊二一，左邊=右邊，43IIIIII彳-1 =k f ： j且 f x =3! =6，所以求得 k = - ，37

41、2解得：廿|所以原式變?yōu)?由題意知誤差為丄41即 Rf2fIH為所求，上式求積公式具有 3次代數(shù)精度。6.點上的函數(shù)值?解：f1 x = -4exsinx,在這里取復化Simpson公式余項的絕對值180 2代入已知條件得:進行放縮得："山 180“max4esinx2,解得：心6。Rs f 二3 _12 180 2n4e"Sin -7.推導下列三種矩形求積公式，其中一三i a,bb1 I2（1）。彳 xdx 二 ba f a f b-ab1 I2（2）f x dx 二 b -a f b - f maa2bf a + b、 13（3）f x dx 二 b - a ff11

42、L i b - a右比廠 f 2 J 24r證明：（1）將f x在f a處展開成一階泰勒公式，即：f x = f a f V .1： x-a上式兩邊在 a,b 1積分，得：f x dx f a dx亠i f1 ： x - a dxa a2 avb=f a b-aa f x-adx，bb這里我們應用廣義積分中值定理：f x g x d I I f x dx， a,b，a avvbb于是上式中第二項就化簡為如下形式：a f1x-a dx = f1 L x-a dx ,a,b，tb1.2積分整理得到：f x dx = b-a f a fTb-a 。a 2(2)將f x在f b處展開成一階泰勒公式，即

43、：f x = f b f x-b上式兩邊在la,b 1積分，得：f x dx f b dx亠i f1 ： xb dx"a"a"a工bi工=f b b - a亠 i f i ： 1 x - b dx，-a上式中第二項應用廣義積分中值定理化簡代入即可得：b12a f X dx 二 b-a f b -2f 1 b -a。(3)將f x在fI -_b j處展開成二階泰勒公式，即:.2上式兩邊在la,b 1積分得:2dx，dx abUbb a _bb If x dx fdx 亠 | f1 Ia-a2ab_由廣義積分中值定理a f x g x dx = g L i i f x

44、 dx，三a, b ，a bx.2 , 2b代入上式第三項化簡，然后對上式整體積分即可得：ba b 1 II3a f x dx 二 b-a f24 f b-a。38.對積分J。f(xdx構造一個至少具有三次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式。解：將0,3 三等分，即取節(jié)點 0，1，2，3.構造求積公式：3n230 f X dx 二 Aof 0 Aif 1 A?f 2 Asf 3，令 f X 日，x，x，x 求積公式準確成立，代入公式得:'3=A°+A+A2+A39廠o+A+2A2+3A32解得:27§=0 + A1+4A2+9A381N=0+A+8A2+27A33At9A飛9A

45、飛3 A飛9.所以所構造的求積公式至少具有三次代數(shù)精度，即:3 一83390 f x dx 蔦 f 0- f 18 8用高斯-勒讓德求積公式，取 n=2計算定積分x2exdx。0分析：基于本題內(nèi)容為教材中的選講部分，考試不做任何要求。故只給出習題結(jié)果，有興趣的同學可自行解答，代入高斯勒讓德求積公式:bnQ x dx =a心AkQ Xk即可求出:2 x(x e dx =0.7119418。10.用龍貝格求積公式計算定積分解：代入復化梯形遞推化公式，求得:31dx。0 x31 一4Ti =邁 ILf 1 f 3 =3，1314T2 匕二-f5 匕，T4二T2 2丨24_4413-13)T8T4 T

46、 f 88 7詣喘，12小49，ST4796_16=405，C2 =15 S4179921216 1C1 二亦S2 -15 s_63丄 _Rl _64C2 64C1 一 89302515241-3方，S4 飛128548q = ?15214175:2.01473867。1898""945 '11.若f11 x 0，證明用梯形公式計算積分ba f X dx所得的結(jié)果比準確值大，并說明其幾何意義。證明：已知梯形公式為I _打=盡f ，II312由已知f11 X 0及余項公式 R ff ;：0，也就是I - In ”： 0即I n I造成結(jié)果比準確值大。幾何意義：由f11

47、 X 0可知曲線為向下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。第五章常微分方程的數(shù)值解法本章的學習要求（1）能夠熟練的應用歐拉公式求初值問題。（2）掌握龍格庫塔方法。本章應掌握的重點公式（"歐拉公式：yniyn "f Xn，yn。（2） 后退的歐拉公式：ynyn hf Xn1，yn1。（3） 梯形公式：廠yn十打（XnJn ）十f （ X+ yn J。三本章習題解析改進的歐拉1.對初值問題 y 0，在Q1 1區(qū)間內(nèi)取步長h =0.1，分別用歐拉公式、 "（0）=1公式及經(jīng)典的四階 Runge-Kutta公式作數(shù)值計算。解:（ 1）由歐拉公式可知：yn 廣 ynf Xn，

48、yn 二 丫.91 一丫.=0.9丫（2）由改進的歐拉公式可知:yyn hf Xn，ynV廣yn+hf（xn 卅,yp）1ym 石 yp yc將已知代入化簡可得:Yp 二 yn Z -yn "9yn，廣yn °1-Yp 491yn，1Yn1 丁 °.9Yn °.91Yn。(3)由經(jīng)典的四階 Runge-Kutta公式可知:kfk1 = f Xn，Ynhh2, yn k1hhn 2，Yn *kf xn h，yn hk3h公式為： yn = yn +石(& +2k2 +2k3+ k4)記為(1)，所以有： & = yn，k2=-Yn0.05%

49、 ,k3-yn亠0.05yn-0.0025yn,k4 二-yn - 0-1 - yn 0.05yn - 0.0025yn ,代入到(1)得:YnYn 60 -5.70975 =0.9048375%。602.用歐拉公式解初值問題總"XT，證明其整體截斷誤差為y(xn)-y Janh2。y 0 -0n 2證明：將已知代入歐拉公式Y(jié)n 廣 Yn Xn，Yn，化簡為 Yn 廣 Yn ' h aXn b，展開得：yn + = yn+haxn+hb，應用遞推關系可得:Yn 二 YnJhaXnjhb，以此類推： y3 =y2+hax2+hb，yy/ hax1 hb，丫1 二 y° hax° hb，然后迭代得： y =_ ah2 + nbh，n 2由題可知，對原定解問題積分得：y x =1 ax2 bx，故可得y xn =axn2 bnh，所以有y Xn -yn =anh2成立。23.用歐拉公式計算積分Xet dt在X=0.5，1，1.5，2點的近似值。 x2f x 的定 .f 0 -0七DX丄解：設 f x =.0 et2r Ix2dt，則f x二e，且f0=0，故原問題轉(zhuǎn)化為解條件在Xo ， x 0.5， X2=1，X3=1.5， X4 = 2時的定解問題。由歐拉公式J.廣 f f XnVn，可知：丫廠丫。0.%0"5，1 44y2 = y