隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解答

1、第二章隨機(jī)變量及其分布1、解:設(shè)公司賠付金額為 X ,那么X的可能值為；投保一年因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年沒有死亡：0,概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以X的分布律為：0250P .000200.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以 X表示取出的三只球中的最大，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律為P(X 3)P(X 4)P(X 5)P（一球?yàn)?#,兩球?yàn)?,2號）1 C2C3P（一球?yàn)?號，再在1,2,3中任取兩球）P（一球?yàn)?號

2、，再在1,2,3,4中任取兩球）1101 C2C31 C2C3310670.word.zl.也可列為下表X：P:3、3,110設(shè)在放回抽樣，以4, 53610,1015只同類型零件中有 2X表示取出次品的只數(shù)，解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不1求X的分布律，2畫出分布律的圖形。X可能為0, 1, 2個(gè)。P(X0)P(X1)C33C135 c22235C23P(X2)C；5C22 C；3C1351235135再列為下表X： 0, 1,P.22 1235 , 351354、進(jìn)展重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為 q =1 p(0<p<

3、;1)1將實(shí)驗(yàn)進(jìn)展到出現(xiàn)一次成功為止，以 X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求 X的分布 律。此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。2將實(shí)驗(yàn)進(jìn)展到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。此時(shí)稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。3一籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算 X取偶數(shù)的概率。解：1P (X=k尸qk1pk=1,2,2Y=r+n= 最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n 1次有n次失敗，且最后一次成功 P(Y r n) Cnn 1qnpr1p Cnndpr, n 0,1,2,，其中 q=1p,或記 r+n=k，那么 PY=k= C 1 pr(1 p

4、)k r, k r ,r 1,3P (X=k) = (0.55)k 10.45k=1,2 P (X取偶數(shù)尸P(X 2k)k 12k 1(0.55)10.45k 111315、 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是翻開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。1以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。2戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，飛飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。3求試飛次數(shù) X小于Y的概率；求試飛次

5、數(shù) Y小于X的概率。解：1X的可能取值為1, 2, 3,，n,P X=n=P 前n 1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去= (3)n1 1ni 2,2Y的可能取值為1, 2, 31P Y=1= P 第1次飛了出去= 1 3P Y=2= P 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去2=3P Y= 3= P第 1,2!=3!31 1232次飛向了另1萬2扇窗子，第3次飛了出去(3) PX Y PY kPXk 13PY kPXY|YY|Y全概率公式并注意到旦 PX Y|Y 1 0PY kPX k注息到X,Y蟲立即k 21111213 3333PX Y |Y k827 PX k同上，PX YPY

6、 k 1kPXPYk 1kPXkY|Y k214? 3 271981故 PY X 1 PXY PXY)3881t每個(gè)設(shè)備使用的概6、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查說明在任一時(shí)刻率為0.1,問在同一時(shí)刻1恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X 2) C；p2q52 C2 (0.1)2 (0.9)3 0.07292至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X 3) C； (0.1)3 (0.9)2 C54 (0.1)4 (0.9) C； (0.1)5 0.008563至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？0514223P(X 3) C；(0.9)5c50.1 (0.9)4C；(0.1)2(0.9)3

7、_ 3_3_2C53 (0.1)3 (0.9)2 0.999544至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.59049 0.409517、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號。1進(jìn)展了 5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率。2進(jìn)展了 7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)X為A發(fā)生的次數(shù)。那么 X B 0.3,n . n=5 , 70.1632P X00.353B: “指示等發(fā)出信號5 P B P X 3C：0.3k0.75 kk 37 PBPX3 P X K 1k 31 0.77 G1 0.3 0.76 G20.3

8、2 0.750.6, 0.7,令各投三次。求8、甲、乙二人投籃，投中的概率各為 1二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P (X=Y)=P (X=0, Y= 0)+ P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y= 3)=(0.4)3x (0.3f+ C3 0.6 (0.4)2 C；0.7 (0.3)2C32 (0.6)2 0.4 C32 (0.7)2 .3 (0.6)3(0.7)

9、3 0.321 2 甲比乙投中次數(shù)多的概率。P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P(Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)123228= C31 0.6 (0.4)2 (0.3)3 C32(0.6)2 0.4 (0.3)8C32 (0.6)2 0.4 C31 0.7 (0.3)2 (0.

10、6)3(0.3)3 (0.6)3 C31 0.7 (0.3)2 (0.6) 3 22C32(0.7)2 0.3 0.2439、 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10 件，經(jīng)歷收無次品承受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2 拒收；否那么作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5 件，僅當(dāng) 5 件中無次品時(shí)承受這批產(chǎn)品，假設(shè)產(chǎn)品的次品率為10%，求 1 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能承受的概率 2 需作第二次檢驗(yàn)的概率 3 這批產(chǎn)品按第2 次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被承受的概率 4 這批產(chǎn)品在第1 次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率 5 這批產(chǎn)品被承受的概率解： X 表示 10 件中次品的個(gè)數(shù)， Y 表示

11、5 件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X B 10， 0.1 ， YB 5， 0.1 近似服從1P X=0=0.9 10 0.3492P X<2=P X=2+ PX=1= C1200.120.98 C100.1 0.99 0.5813P Y=0=0.9 5P 0.5904P 0< X<2, Y=0(0< XW2與 Y=2獨(dú)立)=P 0< X<2P Y= 0= 0.581 X 0.5900.3435P X=0+ P 0<X<2, Y=0 0.349+0.343=0.69210 、 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4 杯。如果從中挑4 杯，能

12、將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。 1 某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？2某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10 次，成功 3 次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。 解：1P （一次成功）=702P （連續(xù)t驗(yàn)10次，成功3次尸 （'（且9）7 一。此概率太小，按 707010000?實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。11 .盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個(gè)任意角是不可能的。但每年總有一些“創(chuàng)造者撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫 此類文章的篇數(shù) X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概

13、率。解：X 6.6_61P X 0 e 6 = 0.0025 6 e12 . 一交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求1每分鐘恰X 449er 9 r!有8次呼喚的概率。2某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率。481P X0.0511342PX8 e r 8 r!0.021363 0.0297713 PX 4 0.56653013 .某一公安局在長度為t的時(shí)間間隔收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為1/2t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)時(shí)間以小時(shí)計(jì)1求某一天中午12時(shí)至下午2求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率。5時(shí)至少收到1次緊急呼救的概率。解:3P23e 2 0.22

14、315214、解：2.5ke1 k!(2t)1、t10分鐘時(shí)t2.50.918k!1-e310.23882、 P0 2t,2t eX 00.5 故0.5 t 0.34657小時(shí)所以 t 0.34657*6020.79分鐘15、解：5000 k0.00150.110 5000kP X 100.00151k 0 kP X 100.8622n 1000,p 0.0001, np16、解：P X 21 P X 0 P X 101ee1 1 0.9953 0.00470!1!17、解： k1 k設(shè)X服從0-1分布，其分布率為 P X kpk 1 p ,k 0,1,求X的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：X0

15、1pk1 ppX 0,1X的分布函數(shù)為：0x 0F x 1 p 0 x 11x 1如圖:18.在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù)。解：當(dāng)X 0時(shí)。X x是不可能事件，F(xiàn) X P X x 0當(dāng)0xa時(shí)，P 0 X x kx 而 0Xa是必然事件1P 0 X x ka 1 k -axP 0 X x kx a那么F xP X x P X 0 P 0 X x.word.zl.當(dāng)x a時(shí)，X x是必然事件，有F x P X0 x 0 xF x 0 x aa1 x a19、以X表示某商店從早晨開場營業(yè)起

16、直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間以分計(jì)X的分布函數(shù)是Fx (x)求下述概率:1P至多3分鐘;2P 至少4分鐘;3P3分鐘至4分鐘之間;4P至多3分鐘或至少4分鐘;5P恰好2.5分鐘解：1P(至多 3分鐘= PXW3 = Fx(3) 1 e 1.2234P 至少 4 分鐘 P (X >4) = 1Fx(4) e e eP3分鐘至4分鐘之間= P3< X<4= Fx (4) FxP至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘1.21.6=1 e e5P恰好 2.5 分鐘= P (X=2.5)=00,x 1,20、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx (x) ln x,

17、1 x e,1, x e.求1P (X<2), P 0<X<3, P (2<X<%);2求概率密度 fx (x). 解：1P (Xw2)=Fx(2)= ln2, P(0<X<3)= Fx一Fx(0)=1,P(2 X 2 Fx(2) Fx(2) ln-2 ln2 ln,1 1 x e2f (x) F'(x) x" x e, 0,其它21、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為2 21 x 1 x 11 f (x)其它x0x12f (x)2x1x20 其他求X的分布函數(shù)F(x),并作出2中的f (x)與F(x)的圖形。 解：1當(dāng)一1wxw 1

18、時(shí)：1F(x) 0dx41x2- dx汽1.arcsin x2 ° x,1 n2121.arcsin x 2當(dāng) 1<x 時(shí)：F(x)0 dx1 22 .11支x2dxx0dx11.一 arcsin x 汽故分布函數(shù)為：0F(x) x ,1汽1解:2F(x)P(Xx)f(t)dt0時(shí)，F(xiàn)(x)0 dtx 1時(shí)，F(xiàn)(x)0dtx 2時(shí)，F(xiàn)(x)xtdt01x時(shí)，F(xiàn)(x)0dt0dttdtt dt2 x 萬x1(2(2t)dtt)dt2xx0dt 12故分布函數(shù)為02 xF (x)22、由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知， 分子運(yùn)動(dòng)速度的絕對值 其概率密度為X服從邁克斯韋爾（Maxwell）分布,2 x

19、2f Ax e b x0其中 b m/2kT , k 為 Boltzmann 常數(shù)，定常數(shù)Aox 0其它T為絕對溫度， m是分子的質(zhì)量。試確x dx 1dxAx2xb dxAb2xe2 x TdAbxd (e2 x E)Ab xe2|0Ab2e bdxAb22xe bdxAb1Te.2 xT7bxAb2u22 du當(dāng)t0時(shí),當(dāng)t 0時(shí),FtFtdt 0dtFt0,e 0 241x菊出FtP 50100100 P50 F 100F 5050241100241e e或 P 50 T 1005023、某種型號的電子的壽命100f t dt100 1e50 241t50100司dte西eX以小時(shí)計(jì)具有

20、以下的概率密度:f(x)10002x0x 1000其它現(xiàn)有一大批此種管子設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于 1500小時(shí)的概率為P(X 1500) 1 P(X 1500) 115001000粵dx1 1000() (1 -)-13， 3令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)。那么YB(5,|),1 51 21 4P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)1(-)C5 (-)(-)3331 5 2112321 1 -324324324、設(shè)顧客在某銀行的窗口等

21、待效勞的時(shí)間X以分計(jì)服從指數(shù)分布，其概率密度為：Fx(x)5e?，x 00,其它某顧客在窗口等待效勞，假設(shè)超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月他未等到效勞而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求 P丫1。解：該顧客“一次等待效勞未成而離去的概率為 xxP(X 10)10 fx (x)dx 1 10 e 5dx e"。 e2因此 Y B(5,e 2).即 P(Y k) 5 e 2k(1 e2)5k,(k 1,2,3,4,5 kP(Y 1) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e 2)5 1 (1 y)5 1 (1 0.1353363)5 1 0.86775

22、 1 0.4833 0.5167.2 0有實(shí)根的概率25、設(shè)K在0, 5上服從均勻分布，求方程 4x2 4xKK的分布密度為:f (K)0 K 5其他要方程有根，就是要 K滿足(4K)24X 4X (K+2) O解不等式，得K>2時(shí)，方程有實(shí)根。_5 13 P(K 2) f(x)dx-dx0 dxe22 55526、設(shè) X N3.221求 P (2<X<5), P( 4)<XW10), P|X|>2, P (X> 3)假設(shè) XN小利，那么 P 3 )= £(T(T.P (2<X<5) = (f) -5y3(f) -2-y3 =巾)M 0

23、.5)=0.8413 0.3085=0.532810 34 3P ( 4<X< 10) = j 4 3 j 4 3 =©3.5)(X 3.5)=0.99980.0002=0.9996P(|X|>2)=1 P(|X<2)= 1 -P(-2< P<2 )2 32 3=1 22=1 © 0.5) + 4 2.5)=1 - 0.3085+0.0062=0.69773 3P (X>3)=1 -P (X< 3)=1 -()=1 -0.5=0.52決定 C 使得 P (X > C )=P (XWC). P (X > C )=1

24、- P (X< C)= P (X<C)，r一一 1得P (X<C)= -1=0.5又P (XwC)= e C2旦0.5,查表可得 &2亞 0 - -C =327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓收縮區(qū)，以 mm-Hg計(jì)服從N(11Q122)在該地區(qū)任選一 18歲女青年，測量她的血壓 X。求1P (X< 105) ,P (100<X < 120).2確定最小的 X 使 P (X>x) & 0.05.解：(1) P(X 105)(105 110)( 0.4167) 1(0.4167) 1 0.6616 0.3384P(100 X 120)(120

25、12110)(10012110)(6)( 5)2 (-|) 1 2 (0.8333) 1 2 0.7976 1 0.5952 _x 110x 110(2) P(X x) 1 P(X x) 1(7110) 0.05(TT0) 0.95.查表得 x 1101.645.x 110 19.74 129.74.故最小的 X 129.74.1228、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度cm服從參數(shù)為科=10.05,產(chǎn)0.06的正態(tài)分布。規(guī).word.zl.定長度在圍10.05± 0.12為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少?設(shè)螺栓長度為XPX 不屬于(10.05 0.12, 10.05+0.12)=1 P

26、(10.05 0.12<X<10.05+0.12)=1(10.05 0.12) 10.050.06(10.05 0.12) 10.050.06.word.zl.=1 焰一網(wǎng)2)=1 0.9772 0.0228 =0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X以小時(shí)計(jì)服從參數(shù)為科=160,未知)的正態(tài)分布，假設(shè)要求 P(120< XW 200= =0.80,允許b最大為多少?200 160120 160.P(120<X<200)=-(T(T又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有()(x)=1 (j)(x)上式變?yōu)椤? 竺0.80 (T(T解出 以便彳導(dǎo):也0.9(J(J再查表，得 40

27、1.281 (T 40T 31.25g1.28130、解：VN(12022)X V ；20N(0,1)則p=PV 118,122 PV 118 V 12240(T40(T0.802P 1 X 2(1 0.8413) 0.3174P2(1P)30.320431、解:0,x0F(x)0.20.8x/30,0x301,x3032、解：- f(x) 0, g(x) 0,0 a 1af (x) (1 a)g(x) 0g(x)dx a (1 a) 1且 af(x) (1 a)g(x) dx a f (x)dx (1 a)所以af(x) (1 a)g(x)為概率密度函數(shù)33、X：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:P:

28、2,1 5，1151130求Y=X 2的分布律. Y=X 2: (-2)21 1 1 1 11P: (-1)2(0)2(1)2(3)25 6 5 15 30再把X 2的取值一樣的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù)Y的分布律為:Y:P:1工工u15 5 3034、設(shè)隨機(jī)變量X在0,1求Y=eX的分布密度們上服從均勻分布,X的分布密度為：f (x)10 x 10x為其他y為其他Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h (Y)=lnY,反函數(shù)存在且a = ming (0), g (1)=min(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= e .Y 的分布密度為：”y) fh

29、(y) |h'(y)|2求Y= 2lnX的概率密度。Y= g (X)= 2lnX 是單調(diào)減函數(shù)YX h(Y) e 2反函數(shù)存在。=ming(0), g(1)=min(+8,0 )=0=ma¥g (0), g (1)= max(+ 8,0 )= + 00Y的分布密度為：Uy)fh(y) |h'(y)l_y萬y為其他35、設(shè) X N0, 11求Y=eX的概率密度X的概率密度是f(x)x22Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在a = ming (00 ), g (+°°)= min(0, + 00)=03= max

30、g ( 00), g(+ oo)= max(o, + oo)= + ooY的分布密度為：1 叱1小)fh(y)|h'(y)|,2, e 2 飛 0 y0y為其他2求Y= 2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+8, -oo)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是Fyy,那么Fy (y)= P (Y< y)= P (2X2+1 & y)y2 1當(dāng) y<1 時(shí)：Fy (y)=0當(dāng) yn 1 時(shí)：Fy(y) P J?2X2 dx故Y的分布密度少(y)是：當(dāng) yw 1 時(shí)："y尸F(xiàn)y (則'=(0)' =0y 12當(dāng) y>

31、;1 時(shí)，mv)=Fy (y)'=y 1-22X2 dx2 J My 1)3求Y=| X |的概率密度。Y 的分布函數(shù)為Fy (y)= P (Y< y )=P ( | X | <y)當(dāng) y<0 時(shí)，F(xiàn)y (y)=0當(dāng) y>0 時(shí)，F(xiàn)y (y)=P (| X | <y )=P (-y< X< y)=2X2 dxY的概率密度為：當(dāng) yw 0 時(shí)："y尸F(xiàn)y (y)' = (0)'=0y當(dāng) y>0 時(shí)：My)= Fy (y)' = ey .2n36、 1設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),求Y = X 3的概

32、率密度。. Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，1又 X=h (Y) = Y、，反函數(shù)存在，且 a = ming (8), g (+oo)= min(0, +oo)= _oo3= maxg (- 00 ), g (+ °°)= max(0, + 8)= + ooY的分布密度為：y ，但 y 0二 12My尸f h (h ) I h' ( y)l = f(y3) y 33(0) 02設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,法一： X的分布密度為:Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) x<0時(shí) y=x當(dāng) x<0時(shí) y=x,2,2fY(y)=1f(2 二J，2-y-e求 Y=X 2的概率密度。f(x)yy反函數(shù)是xx , y.y)( , y)0法二:y00YFY(y)P(Y y)P(、,yX ,y) P(X