復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1ppt課件

1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性全微分形式不變性7.4 7.4 多元復(fù)合函數(shù)的多元復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則)證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 1.)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可導(dǎo)可導(dǎo)都在點(diǎn)都在點(diǎn)及及如果函數(shù)如果函數(shù)ttvtu ),(),(vuvufz在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) ,)(),(可導(dǎo)可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)tttfz 且且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算: tzdd處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

2、， tuuzdd.ddtvvz z tz,ddtutu ,ddtvtv 由于函數(shù)由于函數(shù)),(),(vuvufz在點(diǎn)在點(diǎn) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) vvzuuz,21vu ,0, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t0, 0 vu tzt0lim多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 tuuzddtvvzdd tzdd例例 設(shè)設(shè) 求求dzdzdtdt解：解： dzdzdtdtzxyt23,sin ,xyzext yt2xye3226sin(cost )ttetdxdxdtdtzxd dy yd dt tzy多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

3、法則tcost22xye23t復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情況復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情況.定理推廣定理推廣 tzdduvwtz變量樹圖變量樹圖 三個(gè)中間變量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則tt項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)問問:每一項(xiàng)每一項(xiàng)中間變量中間變量函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對(duì)其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)該中間變量對(duì)其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)或?qū)?shù)).的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). 函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu)),(wvufz 如如)(),(),(tww

4、tvvtuu 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則),(),(),(yxvyxuvufz 兩個(gè)中間變量 兩個(gè)自變量2.的情形的情形. xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv uv),(),(yxyxfz 解解 xz uzxu vzxv sinuev23223 sin()cos().xyeyxyxy yz uzyu vzyv 3sincosuuev xev23323 sin()cos().xyexxyxy多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例例 23sin ,uzev

5、 uxy vxy.yzxz 和和求求ycosuev2 ,xz yz 解解xfxuufxz zuxyxy)sin(yxeu 例例多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則y 求求而而,),sin(xyuyxezu )cos(yxeu )sin(),(yxeyxufzu記),(),(yxuyxufz 其中其中3.的情形的情形. sin()cos()xyeyxyxy 已知已知f(t)可微可微,證明證明 滿足方程滿足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 為中間變量為中間變量, x, y 為自變量為自變量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(12

6、2tftfytfyz 引入中間變量引入中間變量,那么那么,22yxt 令令多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、一階全微分形式不變性二、一階全微分形式不變性),(vufz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxvyxu 則有全微分則有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 一階全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)一階全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd

7、)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已已知知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù)通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比鏈比鏈導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則思考題思考題即即次齊次函數(shù)次齊次函數(shù)是是設(shè)設(shè),),(kzyxf),(),(zyxfttztytxfk 則結(jié)論則結(jié)論為某一常數(shù)為某一常數(shù), );,()(zyxfkzfzyfyxfxA );,()(zyxfzfzyfyxfxBk );,()(zyxkfzfzyfyxfxC ).,()(zyxfzfzyfyxfxD C多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確的選項(xiàng)是正確的選項(xiàng)是( ).思考題解答思考題解答),(),(zyxfttztytxfk 令令,txu ,tyv ,tzw 那么那么),(),(zyxfttztytxfk ),(),(zyxftwvufk 兩邊對(duì)兩邊對(duì)t求導(dǎo)求導(dǎo),得得 tuuf tvvftwwf ),(1zyxfktk