第4講高斯隨機(jī)過(guò)程、高斯白噪聲和帶限白噪聲ppt課件

1、通訊原理電子教案通訊原理電子教案廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院2019年年9月月電子教案電子教案 授課班級(jí)：通訊授課班級(jí)：通訊1103班、通訊班、通訊1104班班 授課教師：廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院授課教師：廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院 梁能梁能第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.4 2.4 高斯過(guò)程高斯過(guò)程2.4.1 2.4.1 根本概念根本概念 1. 1.定義定義 一隨機(jī)過(guò)程一隨機(jī)過(guò)程(t)(t)，假設(shè)它的恣意，假設(shè)它的恣意n n維概率密度維概率密度呈正態(tài)分布，那么稱(chēng)其為高斯過(guò)程。又稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)呈正態(tài)分布，那么稱(chēng)其為高斯過(guò)程。又稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。過(guò)程。 數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式2.5

2、.12.5.1。 一維時(shí)：一維時(shí)：21111211()1( , )exp22xaf x t第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.2.性質(zhì)由定義可分析出性質(zhì)由定義可分析出1 1高斯過(guò)程假設(shè)廣義平穩(wěn)，那么必狹義平穩(wěn)高斯過(guò)程假設(shè)廣義平穩(wěn)，那么必狹義平穩(wěn) 。2 2高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量(t1)(t1)、(t2)(t2)、(t3)(t3)、之之間假設(shè)不相關(guān)，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。間假設(shè)不相關(guān)，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 fn fnx1x1，x2x2，.，xnxn；t1t1，t2t2，.，tntn f1f1x1x1，t1t1f2f2x2x2，t2t2.，fnfnxnxn，tntn

3、2.5.32.5.33 3假設(shè)干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程。假設(shè)干個(gè)高斯過(guò)程之和仍是高斯過(guò)程。從信號(hào)角度。從信號(hào)角度。4 4高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過(guò)程。從系統(tǒng)高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過(guò)程。從系統(tǒng)線性系統(tǒng)角度。線性系統(tǒng)角度。第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理221()( )exp(2.5.4)22xafx 那么稱(chēng)那么稱(chēng)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量那么稱(chēng)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量那么稱(chēng)為為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 2.4.2 2.4.2 高斯過(guò)程中的一維分布隨機(jī)變量研高斯過(guò)程中的一維分布隨機(jī)變量研討討1.1.一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù)1 1高斯隨機(jī)變量高斯隨

4、機(jī)變量 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可表示成的概率密度函數(shù)可表示成第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2 2性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)于直線對(duì)稱(chēng)于直線x=a; 2在在 內(nèi)單調(diào)上升，內(nèi)單調(diào)上升，在在 內(nèi)單調(diào)下降，且內(nèi)單調(diào)下降，且在在a點(diǎn)處到達(dá)極大值點(diǎn)處到達(dá)極大值;),(a),( a1( )1( )( )2aaf x dxf x dxf x dx，3 4a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定時(shí)，一定時(shí)，。5當(dāng)當(dāng)a0 ， 時(shí)，相應(yīng)的正態(tài)分布稱(chēng)為規(guī)范化正態(tài)分時(shí)，相應(yīng)的正態(tài)分布稱(chēng)為規(guī)范化正態(tài)分布：布： 121( )exp()22xf x第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

5、通信原理2.2.正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)1 1普通表示式普通表示式知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為： 22222/ 21()exp221()exp( )( )221(2.5.8 )2xxxatxzadzzazadFxztdtdzedtfzadz ， 令， 則這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函數(shù)可查這個(gè)積分不易計(jì)算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函數(shù)可查表來(lái)表述。表來(lái)表述。第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2 2用概率積分函數(shù)表示用概率積分函數(shù)表示 定義概率積分函數(shù)定義概率積分函數(shù)( (簡(jiǎn)稱(chēng)概率積分簡(jiǎn)稱(chēng)概率積分) )

6、為：為：2/ 21( )(2.5.9)2xzxedz22/ 221()1exp( )( )222xxaxtzadzeF xf z dzdt那么正態(tài)分布函數(shù)可表示為：那么正態(tài)分布函數(shù)可表示為： ( )(2.5.8)xaF x （）第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理3) 3) 用誤差函數(shù)表示用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)絡(luò)的方式。正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)絡(luò)的方式。 1 1誤差函數(shù)定義誤差函數(shù)定義20( )2xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(誤差函數(shù)：誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：22/221()1exp( )( )222x

7、x axtzadzeF xf z dzdt第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2 2誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)的性質(zhì)誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)： )()(xerfxerf1)(erf)(1)(xerfcxerfc0)(erfc11)(2xexxerfcx，互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：互補(bǔ)誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：202( )xzerf xedzxzdzexerfxerfc22)(1)(第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理ffS()-fc 0 fc f (a)s(t)緩慢變化的包絡(luò)a(t)頻率近似為fc(b)t圖2-4 窄帶波

8、形的頻譜及示意波形2.5 2.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶過(guò)程窄帶過(guò)程2.5.1 2.5.1 窄帶隨機(jī)過(guò)程的概念窄帶隨機(jī)過(guò)程的概念1.1.什么叫窄帶隨機(jī)過(guò)程？什么叫窄帶隨機(jī)過(guò)程？ 頻譜頻譜: : 所占頻帶較窄，滿足所占頻帶較窄，滿足f fcf fc的隨機(jī)的隨機(jī)過(guò)程叫窄帶隨機(jī)過(guò)程。過(guò)程叫窄帶隨機(jī)過(guò)程。 時(shí)域：用示波器察看，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形時(shí)域：用示波器察看，看到某個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。幅度和相位隨機(jī)緩慢變化的近似正弦。第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理221( )=a ( ) cos( )(t)(t)=a ( )sin( )(t)( )( )( )(t)( )

9、(t)cscssctttttatttttg 同相分量正交的的分量隨機(jī)包絡(luò)的的隨機(jī)相位( )( )cos(t),0( )cos(t)sin(2.6.1/2) cccsctattattt2. 2. 表達(dá)式兩種！表達(dá)式兩種！第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.5.2 知知(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求的統(tǒng)計(jì)特性，求c(t)、s(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論結(jié)論1假設(shè)假設(shè)(t)：均值為：均值為0、方差為、方差為2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過(guò)、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機(jī)過(guò)程。程。那么：那么：1c(t)、s(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程；同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程；2 E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值一樣均值一樣(都

10、為都為0)； 3c2=s2=2=2方差一樣，同于方差一樣，同于(t) ；4在同一時(shí)辰即在同一時(shí)辰即=0上得到的上得到的c及及s相互關(guān)函數(shù)為相互關(guān)函數(shù)為0，即即c與與s互不相關(guān)，或說(shuō)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立?；ゲ幌嚓P(guān)，或說(shuō)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。(0)=0,(,)= ()()cscscsRfff( )( )cos(t)sinccsctttt第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.5.3 知知(t)的統(tǒng)計(jì)特性，求的統(tǒng)計(jì)特性，求 a(t)、(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性 結(jié)論結(jié)論2假設(shè)假設(shè)(t)：均值為：均值為0、方差為、方差為2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。、窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程。那么：那么： 1其包絡(luò)其包絡(luò)a(t)的一維分布呈瑞利

11、分布；的一維分布呈瑞利分布；2其相位其相位(t)的一維分布呈均勻分布；的一維分布呈均勻分布；3 a(t)與與(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。222222()=exp,02.6.201(),(, )(2.6.21) 21(,)=exp()() ()2aaf aafaaf af a f ( )( )cos(t),0cta tta第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.6 寬帶隨機(jī)過(guò)程2.6.1 白噪聲 1.定義：凡功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱(chēng)為白噪聲。即： 雙邊譜密度： 單邊譜密度：( )()2onnP ( )(0)noPn其中：其中：n0為常數(shù)，為常數(shù)，W/Hz。普通默許白噪聲為平

12、穩(wěn)的。普通默許白噪聲為平穩(wěn)的。第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.2.自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)據(jù)：功率信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏據(jù)：功率信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏變換對(duì)。變換對(duì)。 2)(2)(00nRnPnn圖圖2-5 2-5 白噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)白噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù) 結(jié)論：對(duì)白噪聲而言，只需當(dāng)結(jié)論：對(duì)白噪聲而言，只需當(dāng)=0時(shí)同一時(shí)辰才相關(guān)，而時(shí)同一時(shí)辰才相關(guān)，而在在0的任何兩個(gè)時(shí)辰上的隨機(jī)變量，皆不相關(guān)。的任何兩個(gè)時(shí)辰上的隨機(jī)變量，皆不相關(guān)。問(wèn)：高斯白噪聲？問(wèn)：高斯白噪聲？第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理000,(,)( )20,nff

13、P其它2.6.2 2.6.2 帶限白噪聲帶限白噪聲1.1.定義定義 白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器(-f0(-f0，f0)f0)后而構(gòu)成后而構(gòu)成的噪聲，被稱(chēng)為帶限白噪聲，即其功率譜密度為：的噪聲，被稱(chēng)為帶限白噪聲，即其功率譜密度為：第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.自相關(guān)函數(shù)000000000()( )1( )2212fjfPRnRednSanf Sa 據(jù) ：（）（）N-噪聲平均功率，噪聲平均功率，取決于取決于n 0 f0 -P()的面積。的面積。 00(0)Rn fN特別：第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理結(jié)論：按抽樣定理對(duì)帶限白噪聲抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)結(jié)論

14、：按抽樣定理對(duì)帶限白噪聲抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量( (各抽樣點(diǎn)處的隨機(jī)變量是互不相關(guān)的各抽樣點(diǎn)處的隨機(jī)變量是互不相關(guān)的) )。問(wèn)：窄帶、高斯、白噪聲的含義。問(wèn)：窄帶、高斯、白噪聲的含義。第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.7 2.7 正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲2.7.1 2.7.1 合成信號(hào)表達(dá)式合成信號(hào)表達(dá)式正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲后的合成信號(hào)可表示為：正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲后的合成信號(hào)可表示為：cos()cAt其中：其中：( )cos()( )(2.7.1)cr tAtn t( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt-正弦載波正

15、弦載波: :假定假定A A、cc為常數(shù)為常數(shù);為隨機(jī)變量，其一為隨機(jī)變量，其一維維pdf pdf 均勻分布，即：均勻分布，即： f()=1/(2) f()=1/(2)， 0202-窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程: nc(t)-n(t): nc(t)-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。( )( )cos( )sinccscttttt第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理代入，整理：代入，整理： cos()( )coscossinsin( )cos( )sincos( )( )co( ) cos sin( )ss( )sincosincc

16、cccscccsccscccAtn tAtAtn ttn ttAn ttAr tz ttz ttz tttn tt221( )( )(, )( )( )(2)csscz tztztztttgzt ，z0,合成波包絡(luò)-合成波相位，0其中：其中：-r(t)-r( )c(os( )( )s n( )t)icccsz tAn tz tAn t合成同相分量波的；合成波的正交分量；第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理合成信號(hào)振幅合成信號(hào)振幅z(t)和相位和相位 (t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性可以證明，正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲所構(gòu)成的合成信號(hào)具有如可以證明，正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲所構(gòu)成的合成信號(hào)具有如下統(tǒng)計(jì)特

17、性：下統(tǒng)計(jì)特性： 1隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布也稱(chēng)萊斯隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布也稱(chēng)萊斯Rice分布分布-(2.7-3)。 2隨機(jī)相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分布了。隨機(jī)相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分布了。當(dāng)信噪比很小時(shí)，它接近于均勻分布。當(dāng)信噪比很小時(shí)，它接近于均勻分布。 圖圖2-6 正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布 第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理2.8 2.8 隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)2.8.1 2.8.1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)-復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊呼應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊呼應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)

18、函數(shù)分別為 ：h(t)h(t)、H()H()，那么：，那么：H()h(t)H()h(t)。0( )( )*( )( ) ()2.8.1iivtv th thv td周知：線性系統(tǒng)呼應(yīng)周知：線性系統(tǒng)呼應(yīng)v0(t)等于輸入信號(hào)等于輸入信號(hào)vi(t)與沖擊呼應(yīng)與沖擊呼應(yīng)h(t)的卷積，的卷積，即：即：第第2 2章章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通信原理系統(tǒng)滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件系統(tǒng)滿足物理可實(shí)現(xiàn)條件: h(t)=0，t0；輸入有界滿足；輸入有界滿足狄里赫利條件。那么有：狄里赫利條件。那么有：00( )( ) ()( ) ()iiv thv tdhv td00( )( )()2.8.4ithtd 了解：上式對(duì)于確知信號(hào)是沒(méi)有問(wèn)題的。了解：上式對(duì)于確知信號(hào)是沒(méi)有問(wèn)題的。當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程 (t)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)i1(t)隨機(jī)函隨機(jī)函數(shù)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程數(shù)時(shí)，便有輸出隨機(jī)過(guò)程o1(t)。進(jìn)一步：當(dāng)輸入是隨機(jī)過(guò)程進(jìn)一步：當(dāng)輸入是